Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Коэффициент пропорциональности: = 2 (κ21 + 12 − 21 1 ) ,квадрат собственного значения:2 = −32 ((12 − 1 1 ) 2 + (1 3 − 1 3 ) 2 )5. Семейство 5. В этом пункте мы будем считать, что 2 ≠ 0, потому что все точки из семейства 5, удовлетворяющие условию 2 = 0,либо имеют ранг 0, либо принадлежат семейству 6. Коэффициентпропорциональности: = 2(κ21 − 12 + 22 ) +Если при этом 1 ≠κ21 +12 −22,212 =41 2 (1 − κ1 ) ,2то квадрат собственного значения:162 2 ,2 (κ21 + 12 − 22 − 21 1 )148где = (1 1 22 − 1 (1 − κ1 ) (12 − 22 − 1 1 ) − 2 2 (κ21 + 12 − 22 − 21 1 )) .1 −2Если 1 = κ1 +, то либо 2 =21случае = 0, во втором2221 21 ,1 +2либо 2 = ± κ1 −. В первом212222 = −3222 (κ21 + (1 ∓ 2 ) 2 )6.
Семейство 6. Коэффициент пропорциональности: = 2 (κ21 − 22 − 21 1 ) ,квадрат собственного значения:2 = −3221 (κ22 + 21 + 23 ) .Замечание 31. Для семейства 2, если обозначить = 32 + 1 1 , то21 2 21 = 16( 2 − ) ((2κ − )2 − (2 − 4κ2 )) .κ 2Поэтому для этой серии нулевой спектр могут иметь только точки в прообразе точки возврата кривой (4.2.1) и точек касания этой кривой с параболами(4.2.2) и (4.2.3).Замечание 32. Для семейства 5 ненулевые координаты векторного поля имеют вид{3 , } = 21 2 ,{3 , } = 21 2 − 22 1 + 2κ1 2 ,а ненулевые координаты векторного поля равны{3 , } = −81 1 2 1 + 41 12 2 − 41 22 2 + 8κ21 1 2 − 4κ31 2{3 , } = 413 2 + 41 22 2 − 423 1 − 412 2 1 − 81 2 21 − 81 2 22 +4κ1 23 + 4κ1 12 2 + 12κ21 2 1 − 4κ21 1 2 − 4κ 2 31 2Это позволяет найти коэффициент пропорциональности в этом случае.149Замечание 33.
Для семейства 5, если = 0, то, с учётом исходных уравнений, задающих семейство 5, мы получаем, что2 (21 1 − κ21 − 12 + 22 ) (2 2 (21 1 + 22 − κ21 ) + 1 (22 + 1 1 ) (1 − κ1 )) = 0.Если 2 ≠ 0, то мы можем однозначно выразить 2 и получить, что31 13 (1 − κ1 ) 2 (κ22 + 21 )= 0.22 (21 1 − κ21 + 22 ) 2После этого проверка невырожденности делается простым перебором.Доказательство леммы 21. Для доказательства невырожденности точекранга 1 мы воспользуемся утверждением 46.
Коэффициенты пропорциональности и спектры соответствующих операторов указаны в утверждении 48.После этого проверка невырожденности осуществляется простым перебором. Лемма 21 доказана.4.3.2Типы бифуркационных диаграмм. (Случай ≠ 0)В этом разделе мы покажем, что кривые из леммы 19 расположены друготносительно друга так, как это показано на рисунках 4.3–4.21 (для соответствующих значений параметров и ).
Тем самым мы фактически опишем все возможные бифуркационные диаграммы отображения момента. Впервую очередь нас будут интересовать особые точки бифуркационных диаграмм, т.е. точки пересечения, точки касания и точки возврата этих кривых.Прежде всего, очевидно, что для любых значений параметров и параболы (4.2.2) и (4.2.3) пересекаются с прямой = 0 в точках⌋︂⌋︂2 − 4κ22 − 4κ222ℎ = κ1 + −,иℎ = κ1 + +κκκκсоответственно, и пересекаются друг с другом в точкеℎ = κ21 +,κ=2 − 4κ2.κ2(4.3.11)Таким образом, остаётся описать, как расположена относительно прямой = 0 и парабол (4.2.2), (4.2.3) кривая (4.2.1).150В этом разделе мы вначале опишем эту кривую (4.2.1) (см.
утверждение49), затем определим количество её точек пересечения с описанными вышепараболами (см. утверждение 50) и прямой = 0 (см. утверждение 51). Послеэтого оставшаяся часть раздела будет посвящена исследованию взаимногорасположения найденных “особых” точек.
Итоговый результат может бытьсформулирован следующим образом.Лемма 24. Функции , , , и , заданные формулами (4.2.4), (4.2.5),⌋︂(4.2.6), (4.2.7) и (4.2.8) соответственно, делят область { > 0, > 2 κ}на 9 областей. В каждой из этих областей точки пересечения, точки касания и точки возврата прямой = 0, парабол (4.2.2), (4.2.3) и кривой (4.2.1)расположены на этих четырёх кривых в таком порядке, как это указанона рис. 4.3–4.21.Начнём с описания кривой (4.2.1).Утверждение 49. Пусть κ ≠ 0 . Тогда для любых , ∈ R, ≠ 0, кривая(4.2.1) содержит одну точку возврата⌉︂cusp = 3 2 21(4.3.12)и две точки экстремума⋃︀⋃︀+ext = ⌋︂κи⋃︀⋃︀-ext = − ⌋︂ .κ(4.3.13)Точка -ext является локальным минимумом для любых значений и.
Если > κ 3⇑2 21 , то точка +ext является локальным максимумом. Если же < κ 3⇑2 21 , то точка +ext является локальным минимумом. (Если = κ 3⇑2 21 , то точка +ext совпадает с точкой возврата cusp .) Иными словами, функция () монотонно возрастает между точками +ext и cusp ,и монотонно убывает на остальных участках луча > 0.График соответствующей функции является выпуклым вверх при <cusp и выпуклым вниз при > cusp .При / ± ∞ кривая (4.2.1) асимптотически стремится к прямой = −2κ21 ℎ + (421 κ 2 41 ).151Кроме того, при к +∞, причём/ ±0обе функции ℎ() и () одновременно стремятся()Ð→ 1.ℎ2 () →±0Опишем теперь точки пересечения кривой (4.2.1) с остальными кривыми:с параболами (4.2.2) и (4.2.3) и прямой = 0.
Начнём с точек пересечения спараболами. Доказательство следующего утверждения проводится прямымвычислением.Утверждение 50. Пусть κ ≠ 0 и ≠ 0. Тогда у кривой (4.2.1) и левойпараболы (4.2.2) две точки пересечения и одна точка касания. Соответствующие значения параметра + и − точек пересечения задаются соотношением⌋︂2 − 4κ2 2+(4.3.14)1 .2 =2Точка касания соответствует значению параметра⌋︂ − 2 − 4κ2 =.(4.3.15)2κАналогично, у кривой (4.2.1) и правой параболы (4.2.3) две точки пересечения, при этом соответствующие значения параметра + и − задаются соотношением⌋︂−2 − 4κ2 22 =1 ,(4.3.16)2и одна точка касания, соответствующая значению параметра⌋︂ + 2 − 4κ2 =(4.3.17)2κЗамечание 34.
В утверждении 50 (и далее) мы считаем, что + > 0 и + > 0.Как следствие, − < 0 и − < 0.Найдём теперь количество точек пересечения прямой = 0 и кривой(4.2.1).Утверждение 51. Пусть κ > 0. Тогда количество точек пересечения прямой = 0 и кривой (4.2.1) следующим образом зависит от параметров и152. Рассмотрим функцию34⇑3 + 6κ2⇑3 1 − κ 2 14⇑3 () =2⇑3418⇑3.1.
Пусть > κ 3⇑2 21 . Тогда, если > (), то у прямой = 0 и кривой(4.2.1) ровно 3 точки пересечения. Если же < (), то будет 1 точка пересечения, а если = (), то точек пересечения ровно 2.2. Пусть 0 < < κ 3⇑2 21 . Тогда, если < (), то у прямой = 0 икривой (4.2.1) ровно 3 точки пересечения. Если же > (), то будет1 точка пересечения, а если = (), то точек пересечения ровно 2.3. Если = κ 3⇑2 21 , то при любом значении параметра у прямой = 0 икривой (4.2.1) ровно 1 точка пересечения.0 < 2 < κ 3 412 = κ 3 412 > κ 3 41123111321 > () = () < ()Таблица 4.2: Количество пересечений кривой (4.2.1) с прямой = 0.Результаты утверждения 51 собраны воедино в таблице 4.2Доказательство. Ясно, что при < 0 пересечений нет, так как2() =421− 4κ21 2 2142 21−+ ( 2 − κ21 ) > 0.Из утверждения 49 следует, что при > 0 у функции () будет два локальных экстремума:+ext = ⌋︂κи⌉︂cusp = 3 2 21 .Остаётся посмотреть, как расположены эти экстремумы, и сравнить значения функции () в них с нулём.
Утверждение 51 доказано.153Таким образом, на кривой (4.2.1) были найдены точки cusp , ±ext , ± , ± , и , заданные формулами (4.3.12), (4.3.13), (4.3.14), (4.3.15), (4.3.16) и(4.3.17) соответственно. Установим теперь, в каком порядке следуют эти точки на оси . Очевидно, что− < -ext < − < 0,и что значения параметра для остальных описанных точек больше нуля.Введём следующие функции () =4⇑32⇑31+ κ2⇑3 12⇑32 () = 2 + κ 2 21κ1Следующее утверждение доказывается прямым вычислением.Утверждение 52.
Пусть κ > 0. Тогда, в зависимости от значений параметров и точки cusp , +ext , + , + , и (описанные в утверждениях49 и 50) располагаются на луче > 0 так, как это описано в таблице 4.3. > () = () () < < () = () < ()0 < 2 < κ 3 412 > κ 3 41 > + > cusp > +ext > + > = + > cusp > +ext = + > + > > cusp > + > +ext > + > = cusp = + > +ext > + > + > cusp > > +ext > > + > +ext > cusp > + > > + = +ext > cusp > + = > +ext > + > cusp > > + > +ext > + = cusp = > + > +ext > > cusp > + > +Таблица 4.3: Взаиморасположение точек кривой (4.2.1).Опишем теперь, когда три кривые пересекаются в одной точке.Утверждение 53. Пусть κ > 0, ≠ 0 и 2 − 4κ2 > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
