Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для этого/ 0 в уравнениях для кривых (4.2.1) идостаточно перейти к пределу κ(4.2.2) (правая парабола (4.2.3) при стремлении κ / 0 “сдвигается вправона бесконечность”, поэтому у неё нет предельных точек при κ = 0).Лемма 26. Пусть κ = 0 и ≠ 0. Тогда для любой неособой орбиты ,(то есть для любой такой орбиты, что > 0) бифуркационная диаграммаΣℎ, интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5) иинтегралом (4.1.6) содержится в объединении следующих трёх семейств171кривых на плоскости R2 (ℎ, ):1.
Прямая = 0:2. Параметрическая кривая,2 21ℎ() = 2 + 2,где ∈ R − {0};() =42142 21 4 41−+ 4 ,(4.4.3)3. Парабола22 2 = (ℎ −) .Аналогично при = 0 мы получаем следующее утверждение.(4.4.4)Лемма 27. Пусть κ = 0 и = 0. Тогда для любой неособой орбиты ,0(т.е. для тех орбит, для которых > 0) бифуркационная диаграмма Σℎ,интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5) и интегралом (4.1.6) содержится в объединении следующих трёх семейств кривых на плоскости R2 (ℎ, ):1. Прямая = 0;2. Объединение параболы = ℎ2 + 421(4.4.5)и касательной к этой параболе в точке ℎ = 0 = 421 ;(4.4.6) = ℎ2 .(4.4.7)3. ПараболаВыясним теперь, какие из областей, описанных в теоремах 42 и 45, выживают при стремлении κ / 0. Несложно проверить, что при этом предельномпереходе кривые , , и , заданные формулами (4.2.4), (4.2.5), (4.2.7), и(4.2.8) соответственно, переходят в кривые=3 4⇑3,4 2⇑31=4⇑3=,2⇑311 4⇑322⇑3 2⇑31172и=0соответственно.
(При фиксированном ≠ 0 кривая () не имеет предель/ 0.) Найденныеных точек в области { > 0, > 0} при стремлении κкривые делят область { > 0, > 0} на 4 части, которые мы в этой работебудем обозначать следующим образом:1. Область I′ : это область {κ = 0,2. Область II′ : {κ = 0,0 < ,3. Область III′ : {κ = 0,0 < ,4.
Область IV′ : {κ = 0,0 < ,0 < ,0<<1 4⇑32⇑31<<3 4⇑34 2⇑3 };3 4⇑34 2⇑3<<4⇑32⇑3 };122⇑314⇑32⇑311 4⇑32⇑3 };122⇑31< }.Если κ = 0, то все кривые , , и пересекаются только в началекоординат, поэтому в этом случае мы будем рассматривать только одну дополнительную область прямой = 0:1. Область V′ : {κ = 0, = 0,0 < }.Замечание 36. При κ = 0 без ограничения общности можно считать, что = 1 (остальные орбиты получаются из случая = 1 подходящей заменойпеременных). Несложно проверить, что прямая = 1 пересекает области I′ –V′ по следующим подмножествам: первые четыре области она пересекает поинтервалам 2 < 2 , (4⇑3)3⇑2 < 2 < 2, 1 < 2 < (4⇑3)3⇑2 и 0 < 2 < 1 (интервалыперечислены в порядке возрастания номера области), а область V′ — поодной точке = 0.Теперь несложно понять, какой вид должны иметь бифуркационные диаграммы для классического случая Ковалевской: неформально говоря, онидолжны получаться из диаграмм, изображенных на рис.
4.3–4.14 (или нарис. 4.22 при = 0) выбрасыванием всех “правых дуг”, т.е. всех дуг, принадлежащих правой параболе (4.2.3), и дуги 1 2 . А именно, верны следующиедве теоремы.Теорема 46 (М. П. Харламов, [31]). Пусть κ = 0 и > 0. Кривые=4⇑3,2⇑31=3 4⇑34 2⇑31173и =1 4⇑322⇑3 2⇑31делят область > 0, > 0 на 4 области. На рисунках 4.27– 4.30 для каждойиз этих областей указана соответствующая бифуркационная диаграммаотображения момента для интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5) и интегралом (4.1.6) на орбите , алгебры Лиe(3).
При этом увеличенные фрагмента на рис. 4.27, 4.28, 4.29 и 4.30 имеют тот же вид, что и на рис. 4.14, 4.11, 4.8 и 4.5 соответственно.Замечание 37. На рис. 4.27–4.30 дуги 1 2 , 2 3 , 3 5 , 2 7 , 7 8 , 1 12 , 12 13и 13 8 принадлежат параболе (4.4.4). Остальные дуги очевидным образомраспределяются между кривой (4.4.3) и прямой = 0.Теорема 47 (М. П. Харламов, [31]). Бифуркационная диаграмма для интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5) и интегралом (4.1.6) на орбите ,0 алгебры Ли e(3) (т.е в случае κ = 0, = 0, > 0)изображена на рисунке 4.26. В данном случае бифуркационная диаграммасостоит из двух частей парабол1 = {(ℎ, ) ⋃︀ = ℎ2 + 421 , 0 ≤ ℎ}⌉︂22 = {(ℎ, ) ⋃︀ = ℎ , −2 21 ≤ ℎ}и двух лучей1 = {(ℎ, ) ⋃︀ =421 ,2 = {(ℎ, ) ⋃︀ = 0,⌉︂−2 21 ≤ ℎ}0 ≤ ℎ}Доказательство теорем 46 и 47.
Прежде всего необходимо проверить невырожденность критических точек для случая κ = 0, потому что при изменении параметров критические точки, вообще говоря, могут вырождаться (например, для рассматриваемой интегрируемой системы на алгебре Ли so(4)это происходит при переходе из одной области значения параметров , вдругую). Тем не менее, все вычисления, проделанные в разделах 4.3.1 и 4.3.3для точек ранга 1 и 0 соответственно, остаются верными и для случая κ = 0,поэтому несложно проверить, что всем неособым точкам бифуркационнойдиаграммы соответствуют невырожденные критические точки ранга 1, и что174все критические точки ранга 0 также невырождены и имеют тот же тип, тои соответствующие критические точки ранга 0 для алгебры Ли so(4).Далее, из соображений непрерывности, в прообразе каждой регулярнойточки образа отображения момента для алгебры Ли e(3) должно быть столько же торов, сколько и в прообразе регулярной точки из соответствующейобласти для алгебры Ли so(4).
Аналогично, должно совпадать количествокритических окружностей в прообразах неособых точек бифуркационныхдиаграмм. (Количество критических окружностей не уменьшается, потомучто все особенности невырождены. При малом шевелении параметра сложная особенность может распасться на несколько простых, но в данном случаеэтого не происходит — это следует из явного вида бифуркационной диаграммы. Количество критических окружностей не увеличивается из тех же соображений, что и при доказательстве в лемме 25 того факта, что в окрестностирегулярной точки не может быть точек бифуркационных диаграмм).Теперь, зная типы критических точек ранга 0, количества торов и критических окружностей, мы можем восстановить все перестройки торов Лиувилля практически однозначно.
Нам остаётся воспользоваться стабильностью перестроек , и ∗ и соображениями непрерывности, чтобы избавиться от неоднозначности для некоторых дуг. Например, для случаяκ = 0, = 0 дуге 1 соответствует перестройка типа 2 , а не 2∗ , потомучто дуге 3 5 соответствует перестройка типа 2 .1754.5Рисунки к главе 4afmVfrIVIIIafkMftIIIVflfmVIIVINftfrflMVIIIIXbfkbРис. 4.2: Увеличенный фрагмент рис.
4.1Рис. 4.1: Разбиение области параметровkz42A*BAy1Ay8ABz3y12z22A2Ay13 y102AhРис. 4.3: Область I: κ 3 41 < 2 , ()z1Рис. 4.4: Область I: увеличенный фрагментрис. 4.3 () < <176ky8Ay1 z42BAy12A2A2Ay13y104AhРис. 4.5: Область I: увеличенный фрагментрис. 4.4Рис. 4.6: Область II: κ 3 41 < 2 , () () < <z3y8B2AB2By7*y8 2A4Ay7z22AB2Ay2 y11 y102Bz1y22AРис. 4.7: Область II: увеличенный фрагмент рис. 4.62A2B2Ay114Ay10Рис. 4.8: Область II: увеличенный фрагмент рис. 4.7177kAy1z3z42ABAA2A*y8z2y7B2Ay9y2Рис.
4.9: Область III: κ 3 41 < 2 , ()z12AhРис. 4.10: Область III: увеличенный фрагмент рис. 4.9 () < <kz4y82BAy1By7A2AA2By9z3By22AРис. 4.11: Область III: увеличенный фрагмент рис. 4.102AРис. 4.12: Область IV: κ 3 41 < 2 , < ()178z2hz1 () <Bz3y52AAy6C2y32A*z2y3y62ABz1Рис.
4.13: Область IV: увеличенный фрагмент рис. 4.12Рис. 4.14: Область IV: увеличенный фрагмент рис. 4.13kz4Ay1Az6 2AAC2y6Az52ABy3B2A*y22Az2z1Рис. 4.15: Область V: () < 1792AhkAy1 z4AAz11Az10B2Ay2z12AhРис. 4.16: Область VI:κ 3 41 , () < < ()<02Рис. 4.17: Область VI: увеличенный фрагмент рис. 4.16<kky1y1AAz4Ay6z4AAAz6z11A2AABz8 Az10By22Az92Az1Рис. 4.18: Область VII: 0 < 2κ 3 41 , max( (), ()) < < ()hh<Рис. 4.19: Область VIII: 0 <κ 3 41 , () < < min( (), ())1802<ky1z4Ay6AAz62Az4y6Bz6Az8Az8z9hРис.
4.20: Область IX:κ 3 41 , () < < ()0<2Рис. 4.21: Область IX: увеличенный фрагмент рис. 4.20<kky1z7y1A2Ay4A2Az5y4C22A2ABABz7A2ABy3B*2Ay2z22Az12Ay2h2AРис. 4.22: Область X: = 0,κ 2 21z8 Az10Рис. 4.23: Область XI: = 0,κ 2 21<1812Aκ 2 214z1h< <ky1y42AAz7y42ABz7Az8Az8z9Рис. 4.24: Область XII: = 0,0<<hРис. 4.25: Область XII: увеличенный фрагмент рис. 4.24κ 2 214kkB2Ay5C2Ay1Ay4y3BA2A*y1By6hy2BAy22AРис. 4.26: Классический случай Ковалевской: κ = 0, = 0y32A*h2AРис. 4.27: Классический случай Ковалевской: κ = 0, = 1, 0 < 2 < 1182kkAAy1y1BBAAy82A*hy2y22AРис.
4.28: Классический случай Ковалевской: κ = 0, = 1, 1 < 2 < (4⇑3)3⇑22A*h2AРис. 4.29: Классический случай Ковалевской: κ = 0, = 1, (4⇑3)3⇑2 < 2 < 2kQAy1By12Ay8P y13 y10y12y8y13 y102A*z2 Rz1h2AРис. 4.31: Область I: Дополнительный графикРис. 4.30: Классический случай Ковалевской: κ = 0, = 1, 2 < 2183y1r=0AAAr=0r=0By2Ay4C2 r=0y8r=0A∗BBr= 12r=0Ar=1/2r= 12y9AAy10BAr=0Ar=0y5AC2r=∞r=∞Br=∞ABr=∞Bдваждыr=∞дваждыAAr=0AAr=∞AAr=0Ar=∞Ar=∞дваждыr=∞r=∞y12Br=∞Ar=∞r=0y13BAA∗r=∞AAy6r=0AAr=0r =0r=0r=∞BABr=0r=∞By11r=0BBA∗r=0Ar=0r=0r=0r=0Br=0Ar=0y3By7r=0B r=0 r=0r=0r=0AдваждыТаблица 4.4: Круговые молекулы, классический случай Ковалевской.1184Ar=0Ar=0AAr=0A∗r=1/2Ar=0A∗r=1/2z1z2Ar=∞z3Ar=∞AAAAr=0z7AABr=0AAr=∞AAr=0AAr=0Ar=0AAAr=0z9Ar=0Ar=∞ r=∞A z10 Ar=∞ r=∞Ar=∞r=∞AABr=∞A z11Ar=0C2z5Bz8r=∞z4z6Ar=0AAТаблица 4.5: Круговые молекулыдля точек 1 –11 .1185Литература[1] А.
В. Болсинов, “Критерий полноты семейства функций в инволюции,построенного методом сдвига аргумента”, Доклады АН СССР, 301:5(1988), 1037–1040.[2] А. В. Болсинов, “Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции”, Изв. АН СССР. Сер. матем.,55:1 (1991), 68–92.[3] А. В. Болсинов, А. М. Изосимов, А. Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
