Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Это легко вытекает из анализа типа критическихточек в случае () < < () и следует в случае > () из соображений непрерывности. Отметим, что при > () на кривой 3 2 перестройкаимеет тип 2∗ , потому что критическая точка ранга 0 в прообразе точки 5имеет тип центр-седло, и поэтому перестройка на кривой 3 5 должна бытьориентируемой.Из соображений непрерывности, перестройки на кривой 8 2 существуюти в случаях < (). Опишем последний переход поподробнее. С однойстороны, перестройки типа ∗ являются устойчивыми, поэтому они должны выживать при малом шевелении параметров и . Поэтому множествоточек , для которых перестройки на кривой 8 2 существуют и имеюттип 2∗ является открытым множеством.
С другой стороны, множество точек, где гамильтоновы векторные поля и линейно зависимы, является замкнутым подмножеством R7 = R7 (J, x, κ). Поэтому, так как орбитыso(4) компактны, образ всех критических точек с κ > 0 при отображении(, , , , κ) ∶ R7 (J, x, κ) / R5 является замкнутым множеством. Поэтомумножество точек , для которых перестройки на кривой 8 2 существуют,является замкнутым подмножеством. Отсюда следует, что эти перестройки⌋︂существуют и имеют тип 2∗ при любом значении параметра > 2 κ (и2 > κ 3 41 ).Докажем наконец, что дуге 8 13 соответствует перестройка типа 2. Дуга 8 13 принадлежит бифуркационной диаграмме, потому что в области“снизу” от неё лежат 4 тора, а в области “сверху” — 2. Количество торовв областях также несложно найти, внимательно посмотрев на типы критических точек ранга 0.
Например, в области “сверху” лежат 2 тора, потомучто точка 12 — это образ одной точки типа центр-седло, а следовательноперестройка на кривой 12 3 имеет тип (т.е. один тор перестраивается вдва).167Заметим далее, что дуге 8 13 соответствуют две одинаковые перестройки.Более того, верно следующее утверждение.Утверждение 59. Прообраз достаточно малой окрестности особой точки 8 состоит из двух компонент связности, при этом симметрия 3 ∶(3 , 3 ) / (−3 , −3 ) переводит эти компоненты друг в друга.Доказательство утверждения 59. Прообраз достаточно маленького вертикального отрезка справа от точки 8 (т.е.
при чуть больших значениях гамильтониана ) несвязен. Это следует из уже доказанного факта о том, чтоперестройки на дуге 8 2 имеют тип 2∗ . В прообразе малой окрестноститочки 8 нет особых точек, в которых гамильтоново векторное обращалось бы в ноль (в прообразе малой окрестности этой точки все критическиеточки имеют ранг 1), поэтому при сдвиге маленького вертикального отрезкавдоль оси в этой окрестности, топологический тип прообраза не меняется.Поэтому прообраз точки 8 состоит из двух компонент, и симметрия переводит их друг в друга. Отсюда следует утверждение 59.Таким образом, дуге 8 13 соответствуют две одинаковые перестройки,которые переводят два тора в четыре. То, что это две перестройки типа следует из соображений непрерывности, так же, как и ранее для перестройки 2∗ : при > () дуге 7 8 соответствует перестройка типа 2 (круговаямолекула точки типа седло-седло в прообразе точки 7 однозначно определяется тем, что в одной из соседних областей лежат 4 тора).Таким образом, были найдены все необходимые перестройки.
Теоремы 42и 43 доказаны.Доказательство теоремы 44. Устройство круговых молекул для невырожденных особенностей ранга 0 хорошо известно и подробно описано в книге [6].Остаётся доказать теорему 44 для образов вырожденных особых точек ранга 1. Так как количество торов во всех областях и перестройки известны,то почти во всех случаях круговые молекулы (без меток) для вырожденныхособых точек определяются однозначно. Неоднозначность при построении168круговой молекулы для точек 8 и 9 несложно разрешить, воспользовавшись тем, что этим точкам должны соответствовать две одинаковые круговые молекулы (см. утверждение 59).
Метки у вырожденных молекул находятся стандартными методами (“правила сложения меток”, соображениянепрерывности), описанными, например, в [6] или [18].4.4Классический случай Ковалевской (κ = 0)В этом разделе мы покажем, что бифуркационные диаграммы для классического случая Ковалевской, заданного на алгебре Ли e(3) при помощигамильтониана = 12 + 22 + 232 + 21 ,(4.4.1)и интеграла = (12 − 22 − 21 )2 + (21 2 − 22 )2 ,(4.4.2)получается в результате предельного перехода κ / 0 из бифуркационныхдиаграмм интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5)и первым интегралом (4.1.6) (где 1 = 1) на алгебре Ли so(4).
При этомпредельном переходе κ / 0 сохраняются типы критических точек ранга 0,перестройки торов Лиувилля и круговые молекулы особых точек отображения момента.Устройство бифуркационных диаграмм для классического случая Ковалевской было подробно описано М. П. Харламовым [31] (см. также [6]). Однако в этом разделе мы не просто сравним ответы, но и покажем, как, используя полученную информацию о случае Ковалевской на алгебре Ли so(4),построить бифуркационную диаграмму для классического случая Ковалевской и вычислить некоторые его инварианты, прибегнув при этом по возможности к наименьшим дополнительным вычислениям.В этом разделе через Σ(, , κ) мы будем обозначать бифуркационнуюдиаграмму для орбиты , алгебры Ли, для которой значение параметрапучка равно κ.169Лемма 25.
Рассмотрим произвольные , ∈ R, где > 0. Тогда точка принадлежит бифуркационной диаграмме Σ(, , 0) тогда и только тогда,когда существует последовательность точек ∈ Σ( , , κ ) такая, чтоlim / ∞ ( , , κ ) = (, , 0).Доказательство. В одну сторону, из утверждения 42 следует, что у любойкритической точки на алгебре Ли e(3) (т.е. для точки со значением параметра κ = 0) существует сходящаяся к ней последовательность критическихточек на алгебре Ли so(4) (т.е. со значением параметра κ > 0). Поэтомуобраз точки является пределом образов точек .В другую сторону, доказательство от противного.
Пусть точка ∈ R2— регулярная, т.е. ∈⇑ Σ(, , 0), но существует последовательность ∈/ и ( , , κ )/ (, , 0) при κ/ 0. ДляΣ( , , κ ) такая, что того, чтобы прийти к противоречию, выберем у каждой точки точку в прообразе и докажем, что у последовательности существует сходящаяся подпоследовательность. Для этого покажем, что последовательность содержится в некотором компактном множестве ⊂ R7 (J, x, κ).Рассмотрим два небольших замкнутых диска 1 и 2 ⊂ R2 , содержащиеточки и (, ) соответственно, а также небольшой отрезок (︀0, ⌋︀ ⊂ R. Тогдамножество = {(J, x, κ)⋃︀(, , 1 , 2 , κ)(J, x, κ) ⊂ 1 × 2 × (︀0, ⌋︀}компактно.
Действительно, ⊂ R7 — замкнутое множество, так как 1 ×2 × (︀0, ⌋︀ — замкнутое подмножество R5 , и отображение (, , 1 , 2 , κ) ∶R7 (J, x, κ) / R5 непрерывно. Остаётся показать, что множество ограничено. Для этого заметим, что множество чисел (1 , 2 , 3 ) ограничено, таккак интеграл 1 = κJ2 + x2 ограничен сверху и снизу некоторыми константами. Остаётся заметить, что множество чисел (1 , 2 , 3 ) тоже ограничено,так как12 + 22 + 232 = − 21 1 ,и правая часть ограничена, так как (, ) ∈ 1 для всех точек из .
Лемма25 доказана.170Замечание 35. Во-первых, в данном случае утверждение леммы 25 можноусилить: вместо произвольной последовательности точек можно рассматривать только последовательности с фиксированными значениями параметров (, ). Иными словами, для последовательности из леммы 25 можносчитать, что = и = . В общем случае, для произвольного семействаинтегрируемых гамильтоновых систем, подобный переход требует отдельного доказательства — нужно строго показать, что для любой критическойточки ∈ ,,0 существует сходящаяся к ней последовательность критических точек ∈ ,,κ .Во-вторых, при доказательстве достаточности наличия сходящейся подпоследовательности мы существенно воспользовались видом данной интегрируемой гамильтоновой системы.
Если бы мы рассматривали семействоинтегрируемых гамильтоновых систем, заданных на компактных многообразиях, то доказательство достаточности можно было бы немного упростить:прообраз замкнутой окрестности множества параметров 1 × 2 × (︀0, ⌋︀ былбы компактом, как замкнутое подмножество компактного множества.В-третьих, также для построения бифуркационной диаграммы можновоспользоваться следующим соображением — число точек в прообразе регулярной точки не меняется при малом шевелении параметров. Зная это,можно легко найти количество торов, соответствующее каждой области приκ = 0. Области с разным количеством торов должны разделяться дугой бифуркационной диаграммы.Несложно получить точные уравнения для кривых, которые содержатбифуркационную диаграмму отображения момента при κ = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
