Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда для функции = + 2 спектроператора состоит из 4 нулей и⟨}︂⌋︂ ⧸︂⧸︂ 4κ2 − 2 ⎛ 2 − 2κ212 − 4κ2 ⎞⧸︂⟩±4 2+.κ2κκ2⎝⎠Теперь несложно проверить, что все указанные в леммах 20 и 23 точкидействительно являются невырожденными. (Отметим, что вырождения точек происходят на границах областей плоскости R2 (, ) и связаны с тем, чтов окрестности точки происходит перестройка бифуркационной диаграммы.)Типы критических точек легко находятся при помощи утверждений 56 и57. Леммы 20 и 23 доказаны.1624.3.4Доказательство теорем 42, 43 и 44Теоремы 42, 43 и 44 легко следуют из уже доказанных лемм 19, 20, 22, 23 иследующих простых геометрических соображений.1. Во-первых, мы воспользуемся тем, что орбиты коприсоединённого представления , алгебры Ли so(4) компактны. В частности, так как образкомпактного множества компактен, это позволит нам при построениибифуркационных диаграмм отбросить все неограниченные области.2.
Во-вторых, мы воспользуемся некоторыми известными утверждениямиоб устройстве невырожденных особенностей. Необходимые нам утверждения описаны в теореме 8 (подробнее об устройстве невырожденныхособенностей см. [6]).3. В-третьих, так как мы рассматриваем двухпараметрическое семействоорбит , , мы воспользуемся тем, что некоторые инварианты системынепрерывно зависят от параметров и (например, при малом шевелении параметров не может измениться количество торов в прообразерегулярных точек из “одной и той же области”).Также мы воспользуемся стабильностью перестроек , и ∗ .В этом разделе мы не будем рассматривать классический случай Ковалевской (κ = 0), потому что он был разобран ранее в работе [31] и подробно описан в книге [6].
Также мы не будем подробно рассматривать случай = 0: доказательство утверждений в этом случае аналогично доказательствув случае ≠ 0.Доказательство теорем 42 и 43 . Ранее было показано, что искомые бифуркационные диаграммы отображения момента содержатся в объединениикривых, описанных в лемме 19. Поэтому для доказательства теорем остаётсявыкинуть из описанных кривых некоторые их части и определить перестройки для оставшихся дуг.
Покажем, как это может быть сделано, используяполученную ранее информацию о типах критических точек ранга 0 (см. леммы 20 и 23).163Мы докажем теоремы 42 и 43 для значений параметров и из области⌋︂, т.е. для случая ⋃︀⋃︀ > κ 3⇑2 21 , 2 κ < < () (где функция () заданаформулой (4.2.7)). Остальные случаи разбираются аналогично.Бифуркационная диаграмма отображения момента в этом случае должнаиметь вид, указанный на рис. 4.3, 4.4, 4.5. Кроме того, для удобства изложения, на рисунке 4.31 изображен ещё один увеличенный фрагмент рис.
4.3(чуть более крупный, чем фрагмент на рис. 4.4), на котором выброшенныекривые изображены пунктиром. На рис. 4.31 точками , и обозначенысоответственно левая точка пересечения кривой (4.2.1) и прямой = 0, точка пересечения парабол (4.2.2) и (4.2.3), а также точка пересечения правойпараболы (4.2.3) и прямой = 0.Прежде всего, отбросим все неограниченные области (т.к. орбиты so(4)компактны) и все области, лежащие ниже прямой = 0 (очевидно, что ≥ 0).Заметим далее, что образу отображения момента не принадлежат “криволинейные треугольники” 12 13 и 1 2 .
Действительно, точка 1 являетсясамой правой точкой в образе орбит коприсоединенного представления, потому что все точки в прообразе самой правой точки на прямой = 0 должныбыть точками типа центр-центр, а правее точки 1 нет образов критическихточек ранга 0. Аналогично, если бы точка принадлежала образу отображения момента, то она была бы самой левой и самой нижней точкой внекоторой своей окрестности. Поэтому в её прообразе должны были бы лежать точки ранга 0, что неверно.Далее, зная типы всех точек ранга 0, мы можем легко определить перестройки, соответствующие всем дугам, которые содержат образ одной изэтих особых точек ранга 0.
Единственная неоднозначность в данном случаевозникает для точки 10 . Эта точка является образом двух точек типа центрцентр, поэтому a priori возможны 3 варианта: в прообразе камеры слева отточки 10 лежит либо 4 тора, либо 2 тора, либо 0 торов. Покажем, что реализуется только первый случай. При увеличении параметра — в случае () < < () — возникает точка 7 типа седло-седло, поэтому в прообразе точек из соседней с ней камеры должно быть 4 тора. Из соображенийнепрерывности в рассматриваемом случае < () в камере слева от точки16410 тоже должно быть 4 тора.Остаётся определить, принадлежат ли бифуркационной диаграмме “криволинейный треугольник” 8 2 и дуга 8 13 , а также какие перестройкисоответствуют их дугам.
Кривая 8 не принадлежит бифуркационной диаграмме, а кривая 2 принадлежит, потому что в рассматриваемом случаев прообразе точки нет особых точек ранга 0. Здесь мы используем следующее несложное утверждение.Утверждение 58. Пусть ( 4 , ) — компактное симплектическое многообразие, , — две коммутирующие (относительно скобки Пуассона)функции на 4 , независимые почти всюду. Пусть в окрестности точки ∈ R2 бифуркационная диаграмма устроена так же, как и для особых точек ранга 0 типа центр-центр (т.е. две дуги на границе образа отображения момента пересекаются трансверсально) или типа центр-седло (т.е.гладкую дугу на границе образа отображения момента трансверсально пересекает другая дуга).
Тогда в прообразе точки существует особая точкаранга 0.Доказательство. Случай “типа центр-центр” очевиден. Разберём второйслучай, когда дуга трансверсально пересекает дугу границы в точке .Рассмотрим последовательность точек на кривой , сходящуюся к точке. Для каждой точки выберем произвольную особую точку в прообразе. Так как орбиты компактны, из последовательности можно выбратьсходящуюся подпоследовательность . Обозначим lim / ∞ = . Тогдаℱ() = lim / ∞ ℱ( ) = , где ℱ = (, ) — отображение момента. Каждойточке соответствует одномерное подпространство R2 — образ дифференциала отображения момента Im (ℱ).
Очевидно, что это подпространствоIm (ℱ) совпадает с касательным пространством к дуге . У последовательности подпространств Im (ℱ⋃︀ ), очевидно, существует предел при / ∞— касательное пространства . Тогда в точке дифференциал отображения момента обращается в нуль сразу на двух линейно подпространствах: содной стороны, это пространство , а, с другой, — касательное пространство , потому что — граница образа отображения момента. Дуги и165 пересекаются трансверсально, поэтому эти два подпространства линейнонезависимы.
Поэтому точка является особой точкой ранга 0. Утверждение58 доказано.Аналогичным образом можно показать, что в диаграмме не могут присутствовать отдельные куски какой-либо дуги — “свободный” конец такойдуги, не принадлежащий никакой другой дуге, обязан содержать в прообразе критическую точку ранга 0.Остаётся показать, что дуги 13 8 и 8 2 принадлежат бифуркационнойдиаграмме, и что им соответствуют перестройки 2 и 2∗ соответственно.Начнём с дуги 8 2 . Нам уже известно (см. утверждение 44), что в прообразеточек на этой дуге либо нет критических точек, либо лежат две критическиеокружности, при этом в последнем случае симметрия (3 , 3 ) / (−3 , −3 )переводит эти окружности друг в друга.
Для начала покажем, что, еслив прообразе лежат две критические окружности, то каждая из них задаётперестройку ∗ . Поскольку окружностей две, и они задают перестройки,переводящие два тора в два, и система обладает симметрией, то, кроме перестройки 2∗ , это может быть только перестройка 2 . Чтобы показать, чтопоследний случай невозможен, рассмотрим изоэнергетические поверхности2 2 = const при значениях энергии близкой к ℎ0 = 21 + 2 , где задаётся формулой (4.3.17) (это значение энергии соответствует точке касанияправой параболы (4.2.3) и параметрической кривой (4.2.1)). Так как при значениях близких к ℎ0 нет точек, в которых гамильтоново векторное поле обращается в ноль, то тип изоэнергетической поверхности не меняется вокрестности значения ℎ0 . Однако при увеличении параметра энергии > ℎ0изоэнергетическая поверхность, очевидно, несвязна: её грубая молекула состоит из двух экземпляров − . Поэтому она несвязна и при меньшемзначении .
Однако, если бы перестройка на кривой 8 2 имела тип 2 , тоизоэнергетическая поверхность была бы связна. Поэтому кривой 8 2 можетсоответствовать только перестройка типа 2∗ .Покажем теперь, что эти перестройки на кривой 8 2 действительно существуют. Для этого вначале заметим, что при достаточно больших значениях166параметра (точнее, при > ()) эти перестройки существуют (и имеюттип 2∗ ). Для этого достаточно показать, что круговая молекула точки 3имеет вид, указанный в таблице 4.4. Это так, потому что в прообразе точек из области “слева” от точки 3 лежит один тор, а в прообразе точек изобласти “справа” — два.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
