Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 21
Текст из файла (страница 21)
краткое описание этих атомов в главе 1).Теорема 43. На рисунках 4.3–4.30 для каждой бифуркационной диаграммыотображения момента указаны перестройки торов Лиувилля, соответствующие различным частям бифуркационных диаграмм, а также отмечены все особые точки этих бифуркационных диаграмм.134Особые точки бифуркационных диаграмм обозначены 1 –13 и 1 –11 . Онисоответствуют точкам возврата, точкам пересечения и точкам касания кривых, из которых состоит бифуркационная диаграмма отображения момента(напомним, что эти кривые описаны в лемме 19).Особые точки 1 , 3 , 7 , 10 –12 , 1 , 3 –7 и 9 –11 соответствуют невырож4/ R2 .
Точкам,денным особенностям отображения момента ℱ = (, ) ∶ ,отмеченным одинаковыми буквами, соответствуют невырожденные особенности одного и того же типа. Тип этих невырожденных особенностей указанв леммах 20 и 23.Точки 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 , 13 , 2 и 8 соответствуют вырожденным одномерным орбитам действия группы R2 , порождённого гамильтонианом (4.1.5) иинтегралом (4.1.6) на , . Следующее утверждение гарантирует, что особенности в прообразе остальных точек бифуркационных диаграмм являютсяневырожденными.Лемма 21. Рассматриваемые интегрируемые гамильтоновы системы сгамильтонианом (4.1.5) и интегралом (4.1.6) являются боттовскими навсех неособых орбитах , алгебр Ли so(4), e(3) и so(3, 1). Иными словами, для неособых значений параметров и все критические точки впрообразе неособых точек бифуркационных диаграмм (т.е.
точек, не являющихся точками пересечения, касания или излома гладких дуг бифуркационных диаграмм) являются невырожденными точками ранга 1.Доказательство леммы 21 содержится в разделе 4.3.1. Подчеркнём, чтов этой работе боттовость систем доказана для всех неособых орбит пучкаso(4) − e(3) − so(3, 1).Замечание 24. Несложно понять, как устроены бифуркационные диаграммы для остальных неособых орбит, не изображённых на рис. 4.3–4.30. Например, при = (), κ > 0 параметрическая кривая (4.2.1) пересекает прямую = 0 в точке возврата. Не приходится сомневаться, что критические точкиранга 0, в которых происходит перестройка бифуркационных диаграмм, вырождаются.
В разделе 4.3.3 при доказательстве леммы 19 мы фактическидокажем более общее утверждение, что оставшиеся точки — в окрестности135которых бифуркационная диаграмма не перестраивается при переходе изодной области плоскости R2 (, ) в другую — остаются невырожденными, иих тип не меняется.Теорема 44. В таблицах 4.4 и 4.5 указаны круговые молекулы всех особых точек бифуркационных диаграмм, изображенных на рисунках 4.3–4.30.Особым точкам диаграмм, отмеченным одинаковыми буквами, соответствуют одни и те же круговые молекулы.Замечание 25. Для точек, лежащих на границе бифуркационных диаграмм круговая молекула в таблицах 4.4 и 4.5 обходится против часовойстрелки. Хотя единственная неоднозначность в данном случае может возникнуть только для точки 2 .
Для этой точки круговая молекула должна состоять из двух одинаковых молекул, каждая из которых имеет такой же вид,как и для вырожденной особенности типа эллиптическая бифуркация удвоения периода. (Подробнее о вырожденных особенностях, см., например, [6].)Подчеркнём, что в теоремах 43 и 44 рассмотрен не только случай κ >0, ≠ 0, но и случаи κ > 0, = 0 и κ = 0. Отметим, что при κ = 0 полученные результаты полностью совпадают с уже известными результатами дляклассического случая Ковалевской (см., например, [6]).Замечание 26. В книге [6] в списке круговых молекул для случая Ковалевской допущена неточность: молекулы для точек 8 и 9 нужно повторитьдважды.4.2.1Случай κ > 0, = 0Опишем теперь результаты в случае, когда = 0. Так же, как и лемма 19,следующая лемма доказана в разделе 4.3.1.Лемма 22.
Пусть κ ≠ 0 и = 0. Тогда для любой неособой орбиты ,0(т.е. для тех орбит, для которых ≠ 0) бифуркационная диаграмма Σℎ,интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом (4.1.5) и интегралом (4.1.6) содержится в объединении следующих трёх семейств кривых на плоскости R2 (ℎ, ):1361. Прямая = 0;2. Объединение параболы = (ℎ − κ21 )2 + 421(4.2.9)и касательной к этой параболе в точке ℎ = 0 = −2κ21 ℎ + (421 + κ 2 41 )(4.2.10)3. Объединение двух парабол2 = (ℎ − κ21 ) ;и=(ℎ − κ212 2− ) .κ(4.2.11)(4.2.12)Так же, как и лемма 19, лемма 22 верна как для алгебры Ли so(4), так идля алгебры Ли so(3, 1).Теперь для построения бифуркационных диаграмм отображения момента, остаётся выкинуть из кривых, описанных в лемме 22, некоторые их части.Точное описание бифуркационных диаграмм дано в теореме 45 (см.
такжерисунки 4.22–4.25).Опишем теперь критические точки ранга 0. Так же, как и лемма 20, следующая лемма доказана в разделе 4.3.3.Лемма 23. Пусть κ > 0 и = 0. Тогда образы критических точек ранга 0лежат в объединении следующих трёх семейств точек:1. Точка пересечения парабол (4.2.11) и (4.2.12) (точка 5 на рис. 4.22).Эта точка имеет координаты2, = 2.κκ22Если > κ 1 , то в прообразе этой точки на орбите ,0 лежатℎ = κ21 +ровно две критические точки ранга 0.
Если = κ 2 21 , то в прообразеодна критическая точка ранга 0, а если < κ 2 21 , то в прообразе неткритических точек ранга 0. Если > κ 2 21 , то все критические точкииз этой серии являются невырожденными особыми точками типацентр-седло.1372. Точки пересечения верхней параболы (4.2.9) и касательной (4.2.10) спараболами (4.2.11) и (4.2.12).Для любого > 0 у прямой (4.2.10) и левой параболы (4.2.11) две точкипересечения с координатами⌋︂ℎ = ±2 1 ,⌋︂ = (±2 1 − κ 2 21 )2 ,и в прообразе каждой из этих точек на орбите ,0 лежит по однойкритической точке ранга 0.(a) Критическая точка в прообразе верхней точки пересечения (т.е.точки 1 на рис. 4.22 - 4.25) является невырожденной особой точкой типа центр-центр.(b) Если > κ 2 21 , то критическая точка в прообразе нижней точкипересечения (т.е.
точки 3 на рис. 4.22, 10 на рис. 4.23 и 9 на рис.4.24, 4.25) является невырожденной особой точкой типа седло2 2седло. Если κ 41 < < κ 2 21 , то — невырожденная особая точкатипа центр-седло, а если <точка типа центр-центр.κ 2 214 ,то — невырожденная особая(c) В прообразе точки пересечения верхней параболы (4.2.9) с правойпараболой (4.2.12) (точка 7 на рис.
4.22–4.25)ℎ = , = ( − κ21 )2 + 421κκна каждой орбите ,0 (где > 0) лежат ровно две критическиеточки ранга 0, и обе эти точки являются невырожденными особыми точками типа центр-центр.3. Точка пересечения прямой = 0 и касательной (4.2.10) (точки 1 нарис. 4.22 и 4.23). Эта точка имеет координатыκ21 2ℎ=+ ,2κ = 0.2 2Если > κ 41 , то в прообразе этой точки пересечения на орбите ,0лежат две невырожденные критические точки ранга 0 типа центрцентр.
Если =κ 2 214 ,то в прообразе лежит одна критическая точка138ранга 0, а если <κ 2 214 ,то в прообразе нет критических точек ранга0.В случае, когда κ > 0 и = 0, будет три качественно различных типабифуркационных диаграмм. Это связано с тем, что функции , , , и ,заданные формулами (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6), (4.2.7) и (4.2.8) соответственно,делят луч { = 0, ≥ 0} на 3 части.Теорема 45. В случае, когда κ > 0 и = 0, вид бифуркационной диаграммызависит от значения параметра . В следующих трёх случаях получаютсякачественно различные диаграммы:1.
0 < <2.κ 2 214κ 2 214 ,< < κ 2 21 ,3. κ 2 21 < .Соответствующие бифуркационные диаграммы приведены на рис. 4.22–4.25, где формулы для прямых и парабол указаны в лемме 22.Замечание 27. На рис. 4.22–4.25 дуги 2 1 , 8 9 и 8 10 принадлежат прямой(4.2.10), а дуга 4 7 — верхней параболе (4.2.9). Остальные дуги очевиднымобразом распределяются между кривыми.Замечание 28. Бифуркационные диаграммы из теоремы 45 можно описатьявно. Во всех трёх случаях бифуркационная диаграмма содержит следующие две части парабол:2 220 = {(ℎ, ) ⋃︀ =− ) ,≤ℎ≤ }κκκ1 = {(ℎ, ) ⋃︀ = (ℎ − κ21 )2 + 421 , 0 ≤ ℎ ≤ }κ(ℎ − κ21Если > κ 2 21 , то бифуркационной диаграмме также принадлежат следую-139щие два отрезка и часть параболы:⌉︂κ21 221 = {(ℎ, ) ⋃︀ =−2 1 ≤ ℎ ≤+ }2κ2κ22 = {(ℎ, ) ⋃︀ = 0, κ21 ≤ ℎ ≤ 1 + }κ⌉︂ 222 = {(ℎ, ) ⋃︀ = (ℎ − κ21 ) , −2 21 ≤ ℎ ≤ κ21 + }κ−2κ21 ℎ + (421Еслиκ 2 214+ κ 2 41 ),< < κ 2 21 , то кроме частей парабол 0 и 1 бифуркационной диа-грамме принадлежат отрезки 1 и 2 , а также следующая часть параболы:⌉︂⌉︂2 223 = {(ℎ, ) ⋃︀ = (ℎ − κ1 ) , −2 1 ≤ ℎ ≤ 2 21 }2 2В случае же < κ 41 бифуркационная диаграмма состоит из частей парабол0 , 1 , 3 и следующего отрезка 3 :⌉︂⌉︂222 423 = {(ℎ, ) ⋃︀ = −2κ1 ℎ + (41 + κ 1 ), −2 1 ≤ ℎ ≤ 2 21 }Замечание 29.
Отметим, что при = κ 2 21 касательная (4.2.10) проходит2 2через точку пересечения парабол (4.2.11) и (4.2.12), а при < κ 41 касательная (4.2.10) проходит через точку пересечения параболы (4.2.11) и прямой = 0.Перестройки торов Лиувилля и круговые молекулы особых точек описаны ранее в теоремах 43 и 44 соответственно.4.34.3.1Доказательство основных утвержденийКритические точки ранга 1В этом разделе мы докажем леммы 19 и 22 о том, что бифуркационныедиаграммы содержатся в описанных в этих леммах кривых. Для этого мывначале опишем в утверждении 42 все критические точки отображения момента, а затем рассмотрим их образ при отображении момента. Отметим,что все эти критические точки, кроме точек из утверждения 55, являютсякритическими точками ранга 1.Подчеркнём, что в этом разделе мы не налагаем ограничений на параметры κ и (т.е.
κ, ∈ R, если не оговорено противное).140Утверждение 42. Множество точек, где гамильтоновы векторные поля,соответствующие гамильтониану (4.1.5) и интегралу (4.1.6), линейно зависимы, является объединением следующих шести семейств. Первые трисемейства четырёхпараметрические, а последние три — трёхпараметрические.Четырёхпараметрические семейства:1. 1 =κ21 +12 −22,212. 2 = 0,3 =2 =1 211 313. 1 = κ1 + (1 − 1 33 ) 22 ,где 2 3 ≠ 0.1 3 )(1 3 −1 3 )+2 3 32 = 2 (1 3 −κ,(1 3 −1 3 )2 + 2 2223Трёхпараметрические семейства:4. 2 = 0,2 = 0,1 3 − 3 1 = 05.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
