Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть и — две кососимметрические билинейные формы на конечномерном векторном пространстве над полем K. Если поле K алгебраически замкнуто, то существуеттакой базис пространства , что матрицы обеих форм и одновременно приводятся к блочно-диагональному виду:⎛1=⎜⎜⎝⎞⎛1⎟ =⎜⎟⎜⎠⎝2⋱2⋱⎞⎟⎟ ⎠(3.1.1)где каждая пара соответствующих блоков и имеет один из следующих видов:1.
Жорданов блок с собственным значением ∈ K⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜ -⎜⎜ -1⎜⎜⎜⎜⎝0-⋱⋱-11⋱⋱0-⎞⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜ -1⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝110-1⋱0⋱-1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠2. Жорданов блок с собственным значением ∞⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜ -1⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝110-1⋱0⋱-1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠91⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜ 0⎜⎜ -1⎜⎜⎜⎜⎝000⋱⋱-110⋱⋱00⎞⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎟0 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠3. Кронекеров блок⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜ -1⎜⎜ 0⎜⎜⎜⎜⎝10⋱0⋱⋱⋱10-10⎞⎟⎟⎟0 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜ 0⎜⎜ -1⎜⎜⎜⎜⎝00⋱⋱1⋱⎞⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⋱000-1Каждый кронекеров блок — это (2 + 1) × (2 + 1) блок, где ≥ 0. Вчастности, если = 0, то и — это две 1 × 1 нулевые матрицы = (0) = (0)Доказательство теоремы 25 дано в разделе 3.2.2.Теорема 26 (Вещественная теорема Жордана–Кронекера).
Любые две кососимметрические билинейные формы и на вещественном конечномерном векторном пространстве можно одновременно привести к блочнодиагональному виду, при этом каждый блок будет либо кронекеровым блоком, либо жордановым блоком с собственным значением ∈ R ∪ {∞}, либовещественным жордановым блоком с комплексным собственным значением = + :⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜ -Λ⎜⎜ -⎜⎜⎜⎜⎝Λ0-Λ⋱⋱-Λ⋱⋱0-Λ⎞⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟Λ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜ -⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝Здесь Λ и — это 2 × 2 матрицы: Λ =0-⋱0⋱-⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛ − ⎞⎛1 0⎞и=.⎝ ⎠⎝0 1⎠Доказательство теоремы 26 дано в разделе 3.2.3.Пару блочно-диагональных матриц (3.1.1), состоящую из жордановых икронекеровых блоков, мы будем называть формой Жордана–Кронекера пары форм и . Форма Жордана–Кронекера пары форм и определенаоднозначно с точностью до перестановки блоков.Если одна из форм невырождена, то в форме Жордана-Кронекера неткронекеровых блоков.92Определение 29.
Пусть (0 , 1 ) — пара согласованных 2-форм на многообразии . Точку 0 ∈ мы будем называть регулярной, если в некоторой еёокрестности 0 постоянны следующие инварианты Жордана–Кронекера:∙ количество различных собственных значений операторов ∶ / ,∙ количество и размеры жордановых блоков, отвечающих каждому собственному значению .Регулярные точки можно также описать следующим образом. Напомним,что локальным репером называется набор векторных полей, заданных вокрестности некоторой точки многообразия, и линейно независимых в каждой точке этой окрестности.Замечание 8.
Точка 0 ∈ является регулярной тогда и только тогда,когда в окрестности этой точки существует локальный репер 1 (), . . . , ()такой, что матрицы обеих форм 0 и 1 имеют блочно-диагональный вид,как в теореме Жордана–Кронекера⎛1=⎜⎜⎝2⋱⎞⎛1⎟, = ⎜⎟⎜⎠⎝2⋱⎞⎟,⎟ ⎠но каждое собственное значение () зависит от точки многообразия:⎛( ()) ⎞0⎟, = ⎜⎝ - ( ())⎠0⎛ 0 ⎞⎟. = ⎜⎝ - 0 ⎠(3.1.2)Следующие две теоремы позволяют свести задачу к случаю одного собственного значения в комплексном случае или к случаям одного вещественного или двух комплексно-сопряжённых собственных значений в вещественном случае.Теорема 27 (Ф.
Туриэль, [57]). Пусть (0 , 1 ) — пара согласованных 2форм на многообразии . Тогда у любой регулярной точки 0 ∈ (, 0 , 1 )93существует окрестность изоморфная прямому произведению многообразий, с заданными на них парами согласованных 2-форм:(, 0 , 1 ) = ∏( , 0, , 1, ),где характеристический многочлен каждой пары форм (0, , 1, ) нельзяразложить в произведение двух нетривиальных взаимно-простых многочленов.Теорема 28. Пусть многообразие , с заданным парой согласованных 2форм (0 , 1 ) распадается в прямое произведение(, 0 , 1 ) = ( ′ , 0′ , 1′ ) × ( ′′ , 0′′ , 1′′ ),где (0′ , 1′ ) и (0′′ , 1′′ ) — пары согласованных 2-форм на ′ и ′′ соответственно.
Тогда, если характеристические многочлены ′ и ′′ пар форм(0′ , 1′ ) и (0′′ , 1′′ ) взаимно-просты (в каждой точке многообразия), то любое инвариантное распределение на является прямым произведениеминвариантных распределений ′ и ′′ на ′ и ′′ соответственно. Приэтом инвариантное распределение на интегрируемо тогда и толькотогда, когда интегрируемы соответствующие распределения ′ на ′ и ′′ на ′′ .Случай одного и двух комплексно-сопряжённых собственных значенийописывается следующей теоремой.Теорема 29.
Рассмотрим пару согласованных форм 0 , 1 на с однимсобственным значением или с одной парой комплексно-сопряжённых собственных значений ±. Пусть 0 — регулярная точка . Предположим,что в точке 0 соответствующее разложение Жордана–Кронекера пространства (0 , 0 , 1 ) состоит из жордановых 1 + 1, 2 , .
. . , блоков,где 1 ≥ 2 ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ . Тогда существует окрестность точки 0 , в которой все инвариантные распределения, кроме, может быть, Ker ( − )и Ker ( 2 − 2 + (2 + 2 )) , где > 1, являются интегрируемыми. Вслучае одного собственного значения , распределения Ker ( − ) , где > 1, являются интегрируемыми в точке 0 тогда и только тогда, когда94собственное значение постоянно в некоторой окрестности точки 0 .Аналогично, в случае пары комплексно-сопряжённых собственных значений ± , распределения Ker ( 2 − 2 + (2 + 2 )) , где > 1, являютсяинтегрируемыми в точке 0 тогда и только тогда, когда функции и постоянны в некоторой окрестности точки 0 .Доказательство теорем 28 и 29 приведено в разделе 3.5.Замечание 9.
Инвариантные распределения можно определить для произвольной пары согласованных скобок Пуассона. В этой работе мы рассматриваем только случай жордановых блоков, потому что наличие кронекеровыхблоков существенно усложняет устройство множества инвариантных подпространств.
Даже в случае, когда подпространство (, , ) состоит только из одного кронекерова блока, множество инвариантных подпространствне является дискретным. Подпространство ⊂ (, , ) инвариантно тогдаи только тогда, когда либо ⊂ , либо ⊂ , где = ⊕ Ker ( + ).∈K∧ и = ∧ распределение Ker ( + )Например, для скобок = является инвариантным, но не интегрируемым.3.2Доказательство теоремы Жордана-КронекераДля полноты изложения в этом разделе приведено доказательство теоремыЖордана-Кронекера о нормальной форме пары кососимметрических билинейных форм на конечномерном линейном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Доказательство теоремы Жордана–Кронекера можнонайти в [10] и [56] (отметим, что доказательство в [56] опирается на результаты из книги [8]). Приведём в этом разделе доказательство, опубликованноеранее в работе [64], отличное от доказательств, описанных в работах [10]и [56].Все рассматриваемые линейные пространства конечномерны.
В случае,когда характеристика поля равна 2, мы будем формально считать, что95форма на пространстве кососимметрична тогда и только тогда, когда(, ) = 0 для любого вектора ∈ .3.2.1Самосопряжённые операторы в симплектическомпространствеВначале рассмотрим случай, когда одна из форм невырождена. (Без ограничения общности можно считать, что это форма ). Переформулируемзадачу.Для простоты в этом разделе, если специально не оговорено противное,мы будем считать, что char K ≠ 2 (по поводу случая char K = 2 см. замечание11)./ K задаёт отобраНапомним, что любая билинейная форма ∶ × жение ∶ /∗по формуле∐︀, ̃︀ = (, ),где ∐︀, ̃︀ — это значение ковектора на векторе .
Если билинейнаяформа невырождена, т.е. Ker = 0, то описанное отображение являетсяизоморфизмом ≃ ∗ ./ , заданный формулойРассмотрим оператор = −1 ∶ (, ) = (, ).Оператор самосопряжён относительно обеих форм и :( , ) = (, ),( , ) = (, )В дальнейшем нам потребуются следующие простые утверждения.Утверждение 30. Если оператор , действующий в симплектическомпространстве (, ), самосопряжён, то ортогональное дополнение к любому инвариантному подпространству ⊂ также инвариантно. Тоесть ⊂ ⇒ ⊥ ⊂ ⊥96Доказательство.
Для любого ∈ ⊥ и любого ∈ имеем (, ) =( , ) = 0, так как ∈ .Утверждение 31. Пусть — самосопряжённый оператор в симплектическом пространстве (, ) над полем K, характеристика которого неравна 2. Тогда для любого вектора ∈ все вектора , , . . . , , . . . попарно ортогональны.Доказательство. Действительно, ( , ) = ( + , ) = (, + ) =0.Замечание 10. В случае char K = 2 утверждение 31 останется верным, еслидополнительно потребовать, что (, ) = 0 для всех векторов ∈ .
Действительно, ( , ) = ( , ) = 0, если + = 2, и ( , ) =( , ( )) = 0, если + = 2 + 1.Теорема 25 теперь может быть переформулирована следующим образом.Теорема 30. Для любого самосопряжённого оператора ∶ 2 / 2 , действующего на симплектическом пространстве ( 2 , ) над алгебраическизамкнутым полем K, характеристика которого не равна 2, существуеттакой базис 2 , что матрицы оператора и формы одновременно приводятся к блочно-диагональному виду⎛ 1⎜⎜ =⎜⎜⎜⎝2⋱⎞⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎛ 1⎜⎜=⎜⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠2⋱При этом каждая пара блоков и имеет вид⎛ ⎜ 1⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⋱⋱1001⋱⋱⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟1 ⎟⎟ ⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ = ⎜⎜⎜ -1⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝110-1⋱0⋱-1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Доказательство теоремы 30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
