Диссертация (1102884), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Тогда проекция волновоговектора в (1.13)имеет вид = (0 + Ω/) sin( + ∆). Подставляя этосоотношение в (1.13), получим следующее выражение для дифракционногопараметра :(︂)︂Ω(1.14)tg .(∆, Ω) = 2 sin 2 ∆ +0Условие нетривиальности решения системы (1.12) приводит к квадратному уравнению относительно искомой величины , корни которого имеютследующий вид:]︁1 [︁221/21,2 = ± ( + 4 ℎ −ℎ ).(1.15)40Эти два действительных корня существуют только при условии || ≤2|ℎ |, которое после преобразования в физические термины выглядитследующим образом [57]:0 |ℎ |(1.16)∆ <22 где ∆ - спектральная область сильного дифракционного взаимодействия,называемая спектральной брэгговской шириной. Эта область определяетграницы применимости двухволнового приближения (условие 2). Брэгговская ширина увеличивается с уменьшением угла Брэгга с ростом величины модуляции показателя преломления ФК и достигает максимума при = 0.5, то есть в случае, когда физические толщины слоев ФК равны.Условие (1.16) накладывает ограничения применимости теории нетолько на углы падения: согласно условию Брэгга = 2 sin , ограниченными оказываются и допустимые частоты света.

Например, если импульспадает на ФК под точным брэгговским углом (∆ = 0), его спектральная ширина должна полностью укладываться в брэгговскую ширину. Оце-23ним максимально допустимую спектральную ширину импульса ∆: пусть = 30 , 1 = 1.3, 2 = 1.5 тогда из условия (1.16) имеем:∆ · <= 0.09(1.17)0что для импульса со средней длиной волны 0 = 800 нм означает максимально допустимую ширину спектра ∆ = 70 нм или минимальную длительность 0 = 23 фс.В случае превышения спектральной ширины импульса максимальнодопустимой величины двухволновое приближение теории более неприменимо.Из первого уравнения (1.12) следует, что амплитуды проходящихи дифрагированных волн в ФК связаны простым соотношением: ℎ = 0 , где = 20 /−ℎ = 1, 2).С учетом зеркального отражения от входной поверхности ФК с амплитудой граничные условия непрерывности электрического и магнитного полей в плоскости = 0 для -поляризации имеют следующий вид: + = 0 + 02 ,(1)(2) ( − ) = 0 01 + 0 02 ,1 01 + 2 02 = 0,(1.18)()где 0 = (0 + ), а величины определены соотношениями (1.14) и(1.15).В итоге из (1.9) и (1.18) получим следующее выражение для спектральных компонент полей в (1.8) в произвольной точке в глубине ФК: (⃗, ) = (Ω) (⃗, ),(1.19)где = 0, ℎ; 0 и ℎ - амплитудные коэффициенты прохождения и дифракционного отражения соответственно:∑︁() (⃗, ) = +0 .(1.20)=1,2Здесь 0 = , ℎ = − ℎ,22 ,21 02 = −,ℎ = 0 ,(2)(1) = 1 ( + 0 ) − 2 ( + 0 )01 = −(1.21)24Окончательные выражения для полей (⃗, ) на глубине в момент времени имеют следующий интегральный вид:∫︁∞ (⃗, ) = (Ω) (⃗, )− ,(1.22)−∞что также можно представить в виде волновых пакетов, аналогичных (1.4): (⃗, ) = (⃗, ) +0 0 −0 .(1.23)Здесь 0 = 0 sin , ℎ = 0 − ℎ, а огибающие волновых пакетов∫︀∞∑︀ (Ω) (Ω) Ω,−∞)︀(︀=1,2 (∆, Ω) = + Ω ( sin + 0 ) − Ω, (⃗, ) =(1.24)где — комплексные фазы волн в случае поглощающей среды.Интенсивности проходящих ( = 0) и дифрагированных ( = ℎ)импульсов на произвольной глубине ФК определяются как (, ) =|0 (, )|2 и (, ) = |ℎ (, )|2 , соответственно.Из выражения (1.24) видно, что форма импульсов на выходе из ФКсущественно зависит от соотношения между спектральной шириной ∆Ω0амплитуды (Ω) падающего импульса и брэгговской шириной ∆Ω .

Вслучае, например, импульса с гауссовой огибающей () = [−(/0 )2 ],где 0 — характерная длительность импульса, спектральная ширина ∆Ω0 =2/0 .Из соотношения (1.20) следует, что как проходящая, так и дифрагированная волны в ФК представляют собой суперпозиции двух волн.Вследствие различной решёточной дисперсии для мод фотонного кристалла эти волны распространяются в ФК с разными эффективными показателями преломления = Re(0 + ), = 1, 2 (рис.

1.6), а значит, и сразными групповыми скоростями. Данное явление названо авторами статьи [56] дифракционным делением лазерного импульса (diffraction inducedpulse splitting, DIPS).Легко оценить расстояние 0 , на котором эти импульсы разойдутсяна временной интервал между ними, равный 20 . Если выполняется точноеусловие Брэгга = 0, то из (1.15) следует, что0 =20 0.|ℎ |(1.25)25m1Re(γ0)m11.6.1.5m21.4-10Ω/∆ΩΒ(отн.ед.)1.Рис. 1.6 : Зависимость эффективных показателей преломления 1 , 2 от нормированнойчастоты в сравнении со средним показателем преломления ФК Re(0 ) [7].Это расстояние становится меньше с уменьшением длительности импульсаи с увеличением глубины модуляции показателя преломления в ФК.Приближенная формула для оценки времени деления выглядит следующим образом:0 ∆12 =(1.26) 1 2Ясно также, что расстояние 0 не должно сильно превышать длинупоглощения = 1/[20 (0 )].На рис.

1.7 представлена пространственно-временная динамика прохождения импульсов через различные сечения ФК [7]. Графики изображены в зависимости от координаты = − 0 /, жестко связаннойс проходящим импульсом в однородной среде с максимумом при = 0.Видно, что при малых толщинах < 0 импульсы еще не успевают разделиться, однако с увеличением они раздваиваются, причем временнойинтервал между ними растет с увеличением пройденного расстояния .На начальном этапе эволюции импульса в кристалле (рис. 1.7) имеетместо упомянутый ранее маятниковый эффект: происходит периодическаяперекачка энергии из прошедшей волны в дифрагировавшую, и обратно.Полупериод перекачки выражается следующим образом:Λ=0 0,2|ℎ |(1.27)26-0.40tz(пс)Рис.

1.7 :0.450,0045,45-0.3 0 0.3tz(пс)00.540,9136,3631,821IT(z,tz) 0.020(б)z (мм)0.041020.06z (мм)2(a)27,2722,73IR(z,tz)13,649,0914,5450-0.40tz(пс)0.40.2518,180-0.3 0 0.3tz(пс)Пространственно-временная динамика прохождения импульсов через ФК.

(, ) = |0 (, )|2 (а) и (, ) = |ℎ (, )|2 (б) — соответственно, интенсивности проходящего и дифрагировавшего импульсов (отн.ед.). (, ) вычислено по (1.22). [7]Следовательно, в достаточно тонком кристалле, толщина которогократна целому или полуцелому числу периодов перекачки, будет происходить перераспределение энергии падающего импульса соответственно полностью в прошедший или дифрагировавший импульсы. Данный эффектназывается маятниковым решениемСледует отметить, что в силу симметрии задачи при ∆ = 0 амплитуды и формы разделившихся импульсов при > 0 полностью совпадают.Из-за особенностей эффективной частотной дисперсии показателей преломления (Ω) скорость распространения импульсов по-разному зависитот величины периода , т.е. от угла падения .

Так, расчеты [7] показывают, что при малом угле падения = 7.7° один из пары импульсовопережает импульс в сплошной среде, а второй запаздывает. С увеличением угла падения = 30° оба импульса распространяются быстрее, чемимпульс в однородной среде.Следует отметить, что материальная дисперсия 1,2 / в даннойтеории не учитывается. Материальная дисперсия показателей преломления ФК, как правило, более чем на порядок меньше решёточной дисперсии / эффективных показателей преломления и не оказывает существенного влияния на процесс распространения импульсов в тонких фотонныхкристаллах.На рис.

1.8 показано пространственное распределение амплитуды поля внутри ФК в момент разделения импульсов. Данный график - результатчисленного расчета [7] по формуле (1.22). Хорошо видно, что поле распределено сильно неравномерно. Поля разных импульсов локализованы в раз-27ных слоях ФК. Поле первого импульса локализовано главным образом вслоях с низким показателем преломления, и именно поэтому импульс движется быстрее, тогда как поле второго импульса находится в оптическиболее плотных слоях и потому импульс движется медленнее.1.50.40,40000,3500z (мм)0,30000,25001.40,20000.20,15000,100000,050001.3n(x)02.4032.406x (мм)2.409Рис.

1.8 : Пространственное распределение модуля амплитуды поля (отн.ед.) внутри ФК.Кусочно-постоянный график внизу изображает пространственный профиль показателя преломления [7].По причине перераспределения полей импульсов каждый импульсраспространяется в своей эффективной среде, а, следовательно, параметры каждого импульса (амплитуда, ширина, скорость, поляризация) однозначным образом зависят от оптических свойств (дисперсия, анизотропия,нелинейность) соответствующего слоя.

Например, если слой с большим показателем преломления изготовить из нелинейного материала, а с меньшим— из линейного, то медленный импульс проявит нелинейные свойства, абыстрый останется линейным.Проведем оценки времени деления импульсов для различных волнв периодических средах. Эффект временного деления будем считать обнаруженным при времени деления 12 , равном длительности изначальногоимпульса 0 .

Соответствующую длину кристалла 0 , на которой будет наблюдаться временное деление согласно условию 12 > 0 , будем называтьдлиной деления .1. Рентгеновский лазерный импульс в обычном кристалле.Типичный показатель преломления для рентгеновского излучения в веществе отличается от единицы на 10−6 [13, 14].

Наиболее короткий когерентный импульс рентгеновского излучения может быть получен на лазере насвободных электронах. Например, Стэнфордский лазер LCLS [28] имеет28Периодическая структураСсылка∆ −4Керровская нелинейность[59, 60] 6 · 1050 см10 см−3Акустооптическая решетка[61]1040 см2.5 смЛазерная модификация SiO2[62]2 · 10−320 см1.1 смФотополимерная матрица[63, 64]0.121 мм0.2 ммИскусственный опал- с иммерсией[65]0.11200 мкм 500 мкм- без иммерсии[66]0.5200 мкм 100 мкмКоллоидные кристаллы[67, 68]0.1500 мкм1 смПористый кремний[69]0.5100 мкм1 смДиэлектрическое зеркало[70, 32]150 мкм10 смТаблица 1.1: Оценка длины дифракционного деления импульса титан-сапфирового лазера начальной длительностью 0 = 100 фс в фотонных кристаллах, изготовленных различнымиспособами. Δ - типичный контраст показателя преломления, - технологически доступная длина образца.длительность импульса 0 = 100 фс на длине волны 0.15 нм.

Время деления, равное длительности импульса, будет достигнуто при прохождениисквозь кристалл толщиной = 34 м. Монокристалл такого размераочень сложен в изготовлении: производимые промышленностью монокристаллы кремния имеют длину порядка 3 м [58]. В рентгеновском диапазоненаблюдение временного деления затруднительно.2. Импульс оптического излучения в фотонном кристалле.Одномерные ФК могут быть созданы на основе напыленных диэлектрических покрытий, фотополимеров, коллоидных кристаллов, акустооптических модуляторов, фоторефрактивных сред и др. В качестве источникаможет быть выбран наиболее употребительный на данный момент оптический импульсный лазер - титан-сапфировый, его длительность импульса 0порядка 100 фс на длине волны 800 нм.Типичные значения ∆ и соответствующих оценок длины деленияприведены в таблице 1.1.

Также в таблице приведены максимально технически достижимые линейные размеры фотонных кристаллов по состоянию на 2011 год.Как видно из таблицы 1.1, большинство современных способов изготовления фотонных кристаллов плохо подходят для наблюдения временного деления: нужны одновременно и высокий контраст показателя преломления, и большая длина образца, но для многих технологий достижимотолько одно из этих требований.29Искусственные опалы обладают достаточно большим контрастом показателя преломления, однако в них наблюдаются ростовые дефекты, какв объёме, так и на поверхности [53], поэтому их использование при наблюдении временного деления затруднительно.Рассмотрим далее три технологии изготовления фотонных кристаллов: вакуумное напыление диэлектрических покрытий, коллоидные кристаллы, пористый кремний.Напыленные диэлектрические плёнки [70] и полученные центрифугированием коллоидные кристаллы [68] имеют сравнительно малую поперечную ширину, не более 10-15 периодов.

Характеристики

Список файлов диссертации