Диссертация (1102884), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ширина этого запрещённого диапазона ∆, ∆ может быть оценена следующим образом: [15]∆ ∆ 2 ∆≈≈,(1.2)00 т.е. ширина ФЗЗ прямо пропорциональна разнице показателей преломления слоев. Кроме того, существуют зоны высших порядков, соответствую-16щие интерференции кратных частот: 0 = 0 , где - натуральное число. В случае строгого соблюдения условия 1 1 /4 = 2 2 /4 наблюдаютсязоны только нечётных порядков: чётные гармоники в центросимметричных средах запрещены. При его нарушении, даже незначительном, чётныегармоники становятся видны в спектре [15]. При этом зоны нечётных порядков изменяются незначительно: в случае (полу)бесконечного фотонногокристалла важна лишь его периодичность.Свет, попадающий в запрещённую зону, быстро затухает в фотонномкристалле: на практике достаточно 7-10 пар слоёв диэлектрического зеркала.
С уменьшением контраста показателя преломления толщину фотонногокристалла необходимо увеличивать.Аналитическое вычисление зонной структуры фотонного кристалла,как правило, проводят в терминах физики конденсированного состояниясогласно теореме Флоке-Блоха (см. напр.
[42]), впервые сформулированнойдля эволюции волновых функций электронов в периодическом потенциалекристалла и описывающей распространение любых волн в периодическомпотенциале, нормальные моды электрического поля выглядят следующимобразом:E = Ek (r)−kr ,(1.3)где k – волновой вектор, Ek (x) - периодическая функция амплитудыэлектрического поля: Ek (r) = Ek (x+h). Нормальные моды поля имеют характерную дисперсионную зависимость и плотность состояний [43], и наиболее интересные их особенности находятся вблизи ФЗЗ. Область вблизикраёв ФЗЗ обладает сильной дисперсией, выражающейся в большой зависимости параметров распространения света от направления и модуля волнового вектора. Роль структуры фотонного кристалла следует отличатьот факторов, обусловленных свойствами материалов, из которых состоитфотонный кристалл.
Например, высокая дисперсия может наблюдаться вмакроскопически однородных средах вблизи резонансов. Для разграничения данных понятий используется термин решёточная дисперсия, обозначающий дисперсионные свойства, обусловленные структурой ФК.Наличие ФЗЗ, кроме эффективного отражения от структуры, приводит также к возникновению различных эффектов, связанных с изменением плотности фотонных мод. Так, уменьшение числа фотонных мод взапрещённой зоне может приводить к подавлению спонтанных излучатель-17ных переходов [44].
Обратное явление наблюдается вблизи края ФЗЗ, гдеплотность мод увеличена: скорость спонтанного излучения должна бытьповышена в области с повышенным числом мод [45, 46], что и было продемонстрировано экспериментально [47, 48]Интересным представляется также рассмотрение апериодических фотонных кристаллов с медленно меняющимся периодом. Так например, вфотонных кристаллах с экспоненциально изменяющимся периодом теоретически предсказана фокусировка лазерных пучков [49, 50], а в фотонныхкристаллах с параболической модуляцией периода предсказано явление оптического эха [51] - периодического восстановления формы фемтосекундного волнового пакета.1.2.2.Брэгговская дифракция в искусственных опалахБрэгговская дифракция света в фотонных кристаллах наблюдаласьтакже в искусственных опалах - структурах, состоящих из сферическихчастиц оксида кремния, уложенных в решетку в виде гексагональной плотнейшей упаковки (ГПУ) [52, 53].Рис.
1.4 :Визуализация ФЗЗ в искусственных опалах. (a)-(o) - дифракционные картиныдля трех значений длин волн и различных углов поворота образца, (p),(r) - вычисленныедифракционные картины для направлений [211] и [110] соответственно. (q) - схематическоеизображение гексагональной структуры и направлений падающего пучка. [54]18В статье [55] рассмотрена теория брэгговской дифракции света в искусственных опалах по аналогии с дифракцией рентгеновских лучей.
Экспериментально получены дифракционные картины для дифракции в опалах монохроматического света видимого диапазона и белого цвета. Изучены спектрально-угловые характеристики - зависимости углового положения дифракционных максимумов от длины волны дифрагировавшегоизлучения. Рассмотрено влияние дефектов роста структуры на дифракционную картину: удвоение дифракционных максимумов, вызванное совместным формированием двух различных ГЦК-решеток; уширение дифракционных максимумов, вызванное отклонением нормали к плоскостям кристалла от усредненного направления роста кристалла.В работе [54] дифракционные картины для монохроматического света различных длин волн на синтетических опалах используются для визуализации структуры фотонной запрещенной зоны (рис.
1.4). Механизмнаглядной визуализации ФЗЗ состоит в том, что цвет дифракционного максимума однозначно определяет энергию запрещенной зоны, а направлениедифракционного максимума - соответствующий волновой вектор.1.2.3.Дифракция коротких импульсов в геометрии ЛауэТеоретическое рассмотрение дифракции световых пучков и короткихимпульсов в фотонном кристалле в схеме Лауэ было проведено в [56].Был рассмотрен одномерный фотонный кристалл с периодически чередующимися слоями толщиной 1 , 2 и показателями преломления 1 , 2 .Период структуры равен = 1 +2 .
Слои располагаются перпендикулярноповерхности ФК (рис. 1.5).ФКx12TzRРис. 1.5 : Схема дифракционного деления падающего на ФК лазерного импульса. T и R —прошедшая и дифрагированная пара импульсов.Основные приближения данной теории:191. Вычисления начинаются с волнового уравнения в форме (1.6), справедливого для изотропной однородной негиротропной диэлектрической среды.2. Используется двухволновое приближение (1.9), справедливое приблизости всех спектрально-угловых компонент импульса к Брэгговскому условию (точное условие применимости будет получено далее).3. Модуляция показателя преломления полагается малой, поэтому впространственном Фурье-разложении диэлектрической проницаемости выделяются только нулевая и первая гармоники (1.10).Как следствие из условия 3, фотонный кристалл рассматривается какбесконечная периодическая структура с гармонической модуляцией ():используемый здесь меандр, как и любая другая периодическая зависимость модуляции показателя преломления, будет аппроксимирована синусоидой.Пусть на ФК под углом к нормали падает импульс, представимыйв виде волнового пакета:⃗ (⃗, ) = ⃗ ( − /)⃗0⃗−0 ,(1.4)где — медленно меняющаясяамплитуда электрического поля, 0 – сред⃒ ⃒⃒⃗ ⃒няя частота, 0 = ⃒0 ⃒ = 0 / = 2/0 , 0 – средняя длина волны, –скорость света в вакууме, – проекция радиус-вектора ⃗ на направлениераспространения.
Ось направлена вдоль поверхности ФК, ось направлена вглубь ФК по нормали к поверхности.Показатель преломления двухслойной периодической структуры фотонного кристалла можно представить в виде:() = + ∆(),(1.5)где = (1 1 + 2 2 )/ – средний показатель преломления, ∆() - меняющаяся в пространстве часть, = 2 − 1 .{︃(1 − ), для слоя с толщиной 1∆() =−,для слоя с толщиной 2 .где введено обозначение = 1 /. Поле внутри кристалла подчиняетсяволновому уравнению:20⃗() 2 ⃗∆(⃗, ) − 2=0(1.6) 2где () = 2 () - комплексная диэлектрическая проницаемость.Поле (1.4) падающего волнового пакета может быть представлено ввиде интеграла Фурье, т.е.
в виде спектрального разложения по наборуплоских монохроматических волн со спектральными амплитудами (Ω),частотами = 0 + Ω и волновыми векторами = /:⃗ (⃗, ) = ⃗∫︁∞⃗ (Ω)⃗− ,(1.7)−∞где частотный спектр огибающей импульса1 (Ω) =2∫︁∞ ()Ω ,−∞⃗ , ) внутри ФК также можно представить в виде спектральПоле (⃗ного разложения⃗ , ) =(⃗∫︁∞⃗ , )− ,(⃗(1.8)−∞Из соображений простоты будет использоваться приближение малойвеличины модуляции показателя преломления ( ≪ ). Дифракция света рассматривается в двухволновом приближении, когда в кристалле существуют две волны: проходящая (0 ) и дифрагированная (ℎ ). В этом⃗ , ) для каждой спектральной компоненты в (1.7) можнослучае поле (⃗представить в следующем виде:⃗ , ) = ⃗ 0 ()⃗0⃗ + ⃗ ℎ ()⃗ℎ⃗(⃗(1.9)где ⃗ℎ = ⃗0 + ⃗ℎ, ⃗ℎ — вектор обратной решетки, |⃗ℎ| = 2/.
В нашем симметричном случае ℎ = −ℎ, ℎ = 0.Амплитуды полей 0,ℎ и волновые векторы 0 и ℎ в (1.9) находятся изуравнения (1.6) и граничных условий. Из условия непрерывности тангенциальных проекций волновых векторов в вакууме и в среде для -проекции0 можно записать 0 = = sin . Проекция на ось , 0 = (0 + ),где 0 = (2 − 2 )1/2 , а подлежащая определению величина описывает21вызванное брэгговской дифракцией изменение волнового вектора ⃗0 вдольнормали к поверхности.Пространственная зависимость диэлектрической проницаемости фотонного кристалла будет охарактеризована только первой пространственной гармоникой:() = 0 + ℎ −ℎ + −ℎ ℎ(1.10)Фурье-компоненты диэлектрической проницаемости 0 ,ℎ ,−ℎ определяются соотношением:1 =∫︁() (1.11)0где = 0, ℎ, −ℎ.
Аппроксимируя периодическую зависимость диэлектрической проницаемости () = [ + ∆()]2 ≈ 2 + 2 ∆(), получаемФурье-компоненты в явном виде:0 = 2)︀(︀ℎ = 1 − 2)︀(︀−ℎ = − 1 − −2Очевидно, что в среде без поглощения (ℎ )* = −ℎ . Подставим теперь (1.8),(1.9) и (1.10) в волновое уравнение (1.6) и приравняем выражения с одинаковыми экспонентами. В итоге получим следующую систему уравненийдля скалярных амплитуд проходящих (0 ) и дифрагированных (ℎ ) волн:20 0 − −ℎ ℎ = 0,(20 − )ℎ − ℎ 0 = 0,(1.12)где поляризационный фактор = 1 и = cos 2 для - и поляризованного излучений соответственно.
Величина - независимая переменная, и её нужно определить. Система (1.12) получена в предположении, что ≪ 0 , которое справедливо в случае слабой модуляции показателя преломления (1.5). Величина во втором уравнении (1.12) определяетотклонение частоты и угла падения от точного дифракционного условия = 0, гдеℎ(2 − ℎ) 2 − (⃗ + ⃗ℎ)2=(1.13)=22Система (1.12) по виду совпадает с известной в рентгеновской оптике системой уравнений динамической теории дифракции [4], полученной для22плоской монохроматической волны, где параметр определяется отстройкой угла падения волны от угла Брэгга. В нашем же случае система (1.12)описывает дифракцию импульса с произвольной временной зависимостью,а величина параметра определяется, с одной стороны, отстройкой частоты излучения от так называемой брэгговской частоты, с другой стороны,угловой отстройкой от угла Брэгга.Определим для излучения с центральной частотой 0 угол Брэгга = с помощью соотношения Брэгга 0 = 2 sin Пусть теперь спектральная компонента поля (1.7) с частотой = 0 + Ω, где Ω ≪ 0 , падаетна ФК под углом = + ∆, где ∆ ≪ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
