Диссертация (1102877), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Декартова сетка G , состоящая из N  I  J  K узлов. Каждый узел xi , y j , zk  пронумерован индексами i  1, , I , j  1, , J , k  1, , K вдоль осей x , y , z .28Область  разбивается на конечное число непересекающихся ячеек (тетераэдральных,гексаэдральных и др.), каждая из которых содержит в себе информацию о пространственныхпеременных. Разбиение производится при помощи расчетных сеток. Это могут быть как декартовы сетки, так и любые другие координатные сетки, ортогональные и неортогональные. Такжеможет применяться локальное измельчение координатных сеток для корректного моделирования областей сложной конфигурации [50].Рис.1.14. Схема расположения ячейки первичной сетки (1) относительноячейки вторичной сетки (2).Для простоты остановимся на декартовой сетке с гексаэдральными ячейками.

После разбиения области  декартовой сеткой G , которую называют первичной, строится вторичная~или двойная сетка G , ортогональная первичной сетке. Вторичная сетка смещена относительнопервичной на половину ячейки, то есть вершины ячеек одной сетки лежат в центрах ячеек другой (Рис.1.14). Пространственная дискретизация уравнений Максвелла производится на этихдвух ортогональных сетках.Обозначим:e Er,tdl, hLrdj Hr,tdl,~Lr D r , t ds , b  Br,tds,~SrSr Er,tdl, q  r , t dV ,~~Sr(1.27)Vr~где Lr и S r – длина сторон и площадь граней каждой ячейки первичной сетки G , Lr ,~~~S r и Vr – длина сторон, площадь граней и объем каждой ячейки вторичной сетки G .

Таким29образом, электрические и магнитные напряжения интегрируются вдоль сторон ячеек первичнойи вторичной сеток соответственно. Аналогично магнитные и электрические потоки интегрируются на гранях первичной и вторичной сеток соответственно.Рис.1.15.

Ячейка Vi , j , k 1 первичной сетки G :1 – к расчету первого уравнения системы (1.Х),2 – к расчету второго уравнения системы (1.Х)Введем дискретные координаты первичной сетки i  1, , I , j  1, , J , k  1, , Kвдоль осей x , y , z соответственно. Всего поучим N  I  J  K узлов и M  I  1J  1K  1ячеек. Рассмотрим отдельную ячейку Vi, j , k 1 первичной сетки G . Тогда согласно рис. 1.Х(ячейка слева) первое уравнение системы (1.25) для грани ячейки Vi, j , k 1 может быть переписано как:ex i, j, k   e y i  1, j, k   ex i, j  1, k   e y i, j, k   dbz i, j, k .dt(1.28)Такие же выражения можно получить для всех граней ячеек первичной сетки. При этомэлектрические напряжения ex i, j, k  , e y i, j, k  , ez i, j , k  и магнитные потоки bx i, j, k  ,by i, j, k  , bz i, j , k  можно сгруппировать в отдельные вектора-столбцы e и b в лексикогра-фическом порядке.

Тогда уравнение (1.25) для всех ячеек первичной сетки может быть записано в матричном виде:... ... ... 1 ... 1 ...  1 ...  1... ... ...C ex 0, 0, 0  bx 0, 0, 0 d  .dt  e  I , J , K bz I , J , K z    e30b(1.29)Матрица С представляет собой дискретный оператор ротора на первичной сетке. Элементы матрицы принимают целые значения Сij   1, 0, 1.Если рассмотреть ячейку справа на Рис. 1.15, можно записать bx i, j, k   bx i  1, j, k   by i, j, k   by i, j  1, k   bz i, j, k   bz i, j, k  1  0.(1.30)Запишем (1.30) в матричном виде для всех ячеек: bx i, j , k   b i  1, j , k  x  by i, j , k   ...

 1 1  1 1  1 1 ...   0.bi,j1,ky  bz i, j , k  S bz i, j , k  1  (1.31)bМатрица S представляет собой дискретный оператор дивергенции на первичной сетке.Элементы матрицы принимают целые значения S ij   1, 0, 1. Уравнение (1.31) представляетсобой дискретную запись четвертого уравнения системы (1.25).Для дискретизации второго и третьего уравнений системы (1.25) используется такая жесхема, как и для дискретизации первого и четвертого уравнений, примененная к вторичной ор-~тогональной сетке G .

В итоге уравнения Максвелла переписываются следующим образом:  Сebt С~ h   d  jt S b  0~ S d  q(1.32)Систему уравнений (1.32) называют системой сеточных уравнений Максвелла.~~Матрицы С и S представляют собой дискретные операторы ротора и дивергенции на вторичной сетке.Материальные уравнения после дискретизации примут следующий вид:   d  M  e , b  M  h , j  M e  js ,31(1.33)где M  , M  и M – матрицы диэлектрической проницаемости, магнитной проницаемости и проводимости соответственно.Для того, чтобы проследить эволюцию электромагнитных полей, входящих в системусеточных уравнений Максвелла, можно воспользоваться методом конечных интегралов как вовременной, так и в частотной области [77]. Остановимся на первом варианте.

Данный алгоритмдискретизации также называют схемой с перешагиванием (leapfrog scheme) [78].Рис.1.16. Вычислительная схема с перешагиванием.Для расчета электрического поля на временном шаге n  1 2 используется электрическоеполе временного шага n  1 2 и магнитное поле на шаге n (Рис.1.16): ~e n 1 / 2  e n 1 / 2  tM 1 СM 1b n  j n .~b n 1  b n  tС e n 1 / 2 ,(1.34)На границе области вычислений задаются поглощающие граничные условия или,например, идеально согласованные слои, чтобы смоделировать уход волн на бесконечность.Реализация этой схемы позволяет найти распределение полей внутри расчетной области.§1.5.2 Метод «частица в ячейке»Метод «частица в ячейке» – один из широкого спектра методов крупных частиц, используемых для трехмерного моделирования электронных потоков [51].

В рамках этого методаэлектронный пучок представляется как совокупность большого количества модельных (крупных) частиц, движущихся в самосогласованном электромагнитном поле. Каждая модельная частица описывает движение многих электронов пучка и обладает своим набором характеристик:заряд, импульс, масса и т. д.Метод «частица в ячейке» используется, как говорилось ранее, для численного решениядля системы уравнений Власова [79], образованной уравнением Власова-Пуассона для функцийраспределения заряженных частиц:32 fp f  p   ff r , p, t    q E   B    0 ,t m rm p(1.35) и уравнениями Максвелла с самосогласованными полями. Здесь f r , p, t  – функция распределения заряженных частиц, q – заряд частицы, m – масса частицы, r – радиус-вектор частицы, p– вектор импульса.Как и в §1.5.1, область моделирования разбивается координатной сеткой.

Модельные частицы помещаются в некоторые из ячеек сетки, причем каждая модельная частица занимаетровно одну ячейку. Данный способ разбиения позволяет избежать прямого решения уравнения(1.35) и сводится к интегрированию уравнений движения [51]:dr dv  v,m F  q E v B ,dtdt(1.36)где F – сила Лоренца в нерелятивистском варианте написания.Рис.1.17. Вычислительная схема метода «частица в ячейке».Вычислительная схема метода «частица в сетке» на каждой итерации заключаетв себе 4 основных этапа (Рис.1.17):1) Интегрирование уравнений Максвелла.В начальный момент времени t  0 известны скорости v и координаты r частиц. Значит, можно вычислить величины плотности тока j и заряда  в фазовом пространствеv и r , а затем связать полевые величины с v и r .

Интегрирование уравнений Максвелла можно производить методом конечных интегралов (в этом случае можно отка-33заться от вычисления  ) согласно схеме с перешагиванием, описываемой уравнениями(1.34). В момент времени t n  nt в узлах декартовой первичной сетки получаем значения электрического поля e n 1 2 i, j , k  , в узлах вторичной – значения магнитногополя b n 1 i, j , k  .2) Интерполяция электромагнитных полей в точках нахождения модельных частиц.После определения полей в узлах сетки, необходимо провести интерполяцию полей вточках нахождения каждой из крупных частиц.

Значения полей в точках нахождениячастиц интерполируются по значениям полей в узлах сетки.Рис.1.18. Различные весовые функции: 1 – интерполяция первого порядка,2 – интерполяция второго порядка, 3 – интерполяция третьего порядка.34Для отдельной ячейки декартовой координатной сетки имеемep bp 8 emW (rm  rp ),m 1(1.37) bmW (rm  r p ) ,8m 1где e p и b p – значения электрического и магнитного полей для крупной частицы синдексом p  1,  , M , em и bm – значения электрического и магнитного полей в узлах отдельной ячейки, r p – радиус-вектор крупной частицы, rm – радиус-вектор узлаотдельной ячейки, W (rm  rp ) – весовая (интерполяционная) функция.На практике чаще используются интерполяции нулевого (Near Grid Point), первого(Cloud in Cell) и второго (Triangle Shaped Cloud) порядков.

Характеристики

Список файлов диссертации