Диссертация (1102782), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Из уравнения (3.2.8) видно, что существованиеостаточных (стационарных) полей возможно, если при t  T интеграл перестает зависетьот времени, что реализуется при условииH  H  0.x y y x(3.2.10)Условие (3.2.10) означает, что скорость стационарного вихревого течения направленастрого вдоль изобат, т.е. вихревое течение должно быть адаптировано к рельефу дна[Зырянов, 1995; Носов и др., 2011]. Заметим, что в стационарных условиях, когдапотенциальные движения прекратились, а вихревые установились, уравнение (3.2.7)принимает следующий вид:g T  f  T  0 .(3.2.11)Из формулы (3.2.11) видно, что существование остаточного вихревого поля требуетненулевого остаточного смещения свободной поверхности.Из уравнений (3.2.9) и (3.2.11) следует любопытное свойство: остаточное смещениесвободной поверхности T , функция тока  T и потенциал смещения  T оказываютсяпропорциональными. Подчеркнем, что такое свойство справедливо только в случаеустановившихся остаточных полей.3.3.Динамика формирования остаточных полей в океане постояннойглубиныДалее для простоты ограничимся случаем океана постоянной глубины ( H  const ).Это упрощение позволит нам в дальнейшем получить аналитическое решение задачи.Заметим, что при этом условии на неограниченной плоскости 0ху остаточные полябезусловно существуют.

При H  const из уравнений (3.2.5)-(3.2.7) после несложныхпреобразований получаем систему уравнений линейной теории длинных волн впеременных потенциал-функция тока-смещение свободной поверхности.  H  0 ,t t(3.3.1) f ,t(3.3.2)63  g  f .t(3.3.3)Продифференцируем первое уравнение по времени 2  2 2 H 0.2ttt(3.3.4)К уравнениям (3.3.2), (3.3.3) применим оператор Лапласа и умножим на HH fH ,t(3.3.5)H  gH  fH .t(3.3.6)Из уравнения (3.3.1) выразим H и, помножив на f , подставим в правую частьуравнения (3.3.5)H  f().tt t(3.3.7)Проинтегрируем по времени уравнение (3.3.7)H  f (    ) .(3.3.8)После подстановки выражения (3.3.8) в уравнение (3.3.6) получаемH  gH  f 2 (    ) .t(3.3.9)В итоге, подставляя (3.3.9) в (3.3.4) имеем 2 22gHf f 2 .22tt(3.3.10)Уравнение (3.3.10) представляет собой известное в математической физикеуравнение Клейна-Гордона [Полянин, 2001].Аналогичные уравнения можно вывести в терминах  и  .

Для полученияуравнения в терминах  продифференцируем уравнение (3.3.3) по времени 2 gf.2tttВыражая(3.3.11)из уравнения (3.3.1) ииз уравнения (3.3.2), подставим эти величины вttуравнение (3.3.11). Полученное в итоге выражение 2  g( H )  f 2 .2tt(3.3.12)представляет собой уравнение Клейна-Гордона, записанное относительно потенциаласкорости течения:64 2 gH  f 2   g.2tt(3.3.13)Для вывода уравнения на функцию тока  продифференцируем по времениуравнение (3.3.2) 2 f.2ttИз уравнения (3.3.3) выразим(3.3.14)и подставим в (3.3.14)t 2 f (  g  f )   gf  f 2 .2t(3.3.15)Из уравнения (3.3.8) выразим величину f и подставим ее в уравнение (3.3.15). Врезультате имеем: 2 Hg  f 2   fg .2t(3.3.16)Уравнения (3.3.10), (3.3.13) и (3.3.16) являются неоднородными уравнениямиКлейна-Гордона.

Видно, что они имеют одинаковую структуру, но функция источника вкаждом случае представлена по-разному: либо смещением поверхности дна, либо егопроизводной по времени, либо комбинацией смещения и его второй производной повремени.Заметим, что если выражение (3.3.13) проинтегрировать по времени от 0 до T , томожно получить следующее уравнение: 2 gH  f 2   g ,2t(3.3.17)Тгде     dt – потенциал смещений.

Градиент от этой величины определяет вектор0смещения частиц воды в горизонтальном направлении в момент времени T :   D .Уравнение (3.3.17) в целом аналогично уравнению (3.3.16), за исключением того, чтоисточник (неоднородность уравнения) отличается множителем f . Отсюда следует, чтоформирующееся вихревое и потенциально поля однозначно связаны друг с другом.Приведем уравнения (3.3.10), (3.3.13), (3.3.16) и (3.3.17) к безразмерному виду. Замасштаб длины примем характерный размер источника цунами R , а за масштаб времени– время, за которое длинная волна преодолеет это расстояние R / gH .

В безразмерныхпеременных уравнения (3.3.10), (3.3.13, (3.3.16) и (3.3.17) принимают вид65 2 22  2 ,22tt(3.3.18) 2g     2   ,2f tt(3.3.19) 222 g,ft 2(3.3.20) 2t2    2    2gf2(3.3.21)где   R / R0 – квадрат отношения горизонтального размера источника цунами R кбаротропному радиусу деформации Россби R0  gH / f . Если функции, описывающиеисточник (неоднородность уравнений), рассматривать отдельно, то параметр  – этоединственная безразмерная величина, которая явно входит в уравнения (3.3.18)-(3.3.21) иопределяет характер решения уравнения Клейна-Гордона.В пределе, при малых значениях параметра  , уравнение Клейна-Гордонапереходит в классическое волновое уравнение, а при больших значениях параметра  – вуравнение колебаний.

Это означает, что в первом случае решением уравнения КлейнаГордона будут обычные длинные волны, распространяющиеся со скоростьюgH . Вовтором случае решением уравнения будут колебания, происходящие с циклическойчастотой, равной параметру Кориолиса f (инерционная частота). При промежуточныхзначениях параметра должна наблюдаться суперпозиция волн и колебаний синерционной частотой.РешениеуравненияКлейна-Гордонаснулевыминачальнымиусловиямиопределяется следующей известной интегральной формулой [Полянин, 2001]:t cos  ( t   ) 2   2  1dS ( x , y , )d xd y,2 0  (t  )( t   )2   2(3.3.22)где   ( x  x )2  ( y  y )2 .Для уравнений (3.3.17)-(3.3.10) функции источника  имеют видS  2  2 ,2tS   g ,f tS    2g,fS    2g.f2Интегралы в формуле (3.3.22) в дальнейшем рассчитывались численно.

Очевидно, чторасчет для четвертого источника не было необходимости проводить отдельно: достаточнобыло результат расчета для третьего источника поделить на параметр f .663.4.Осесимметричная динамическая задачаВ качестве источника волн и вихрей выберем осесимметричную деформацию дна спространственным распределением гауссовой формы и плавной временной частью,обеспечивающей возможность двойного дифференцирования по времени,t 00, ( x, y )  0 exp  ( x  y ) / R 0.51  cos( t /  ), 0  t  1,t  ,222где  0 – амплитуда деформации дна, – продолжительность деформации, R –горизонтальный размер источника.Рис. 3.4.1.

Эволюция возмущения свободной поверхности воды, вызванного осесимметричной деформациейдна во вращающемся океане.Основной параметр задачи  в природных условиях варьируются от  min  0 вэкваториальной зоне до  max ~ 1 (высокие широты, протяженный очаг, шельфовые67глубины). Типичное значение параметра составляет  ~ 10 1 (при f ~ 10 4 c 1 , R ~ 10 5 м ,H ~ 10 3 м ). Для представления результатов мы выбрали два фиксированных значенияпараметра   0.1 и   1 , которые позволяют продемонстрировать наиболее интересныеособенности решения. Как уже отмечалось выше при   0 уравнение Клейна-Гордонапереходит в обычное волновое уравнение, решением которого в рассматриваемом случаеявляется кольцевая волна с известными свойствами (см., например [Пелиновский, 1996]),на которых мы здесь останавливаться не будем.В реальном диапазоне продолжительностей деформации дна в очаге цунами ~ 10 0  10 2 cникакой существенной зависимости параметров волн цунами иливихревых структур от величины не наблюдается.

Связано это с тем, что величина всегда существенно уступает как времени распространения волны на расстояние, равноеразмеру очага цунами R / gH , так и инерционному периоду 2 / f . Для дальнейшихрасчетов мы выбрали деформацию дна с продолжительностью   0.1  R / gH , что вцелом соответствует реальным природным условиям.На Рис. 3.4.1 показана динамика отклонения поверхности воды, вызванногоподвижкой дна во вращающемся океане. Расчеты были выполнены для центра источника( r  0 ) и для точки, находящейся на значительном удалении от источника ( r  10 R ). Изрисунка видно, каким образом происходит геострофическая адаптация водного слоя,возмущенного быстрой деформацией дна.

В центре источника, вне зависимости отзначения параметра  , вначале наблюдается быстрое поднятие, повторяющее движениедна. Затем формируется гравитационная волна, после ухода которой остаетсястационарное возмущение водной поверхности – проявление геострофического вихря,возникающего в области источника.

Характеристики

Список файлов диссертации