Диссертация (1102782), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

нами было получено неоднородное 2D уравнение Гельмгольца, котороепозволяет по остаточной деформации дна океана фиксированной глубины рассчитатьстационарное смещение свободной поверхности воды в остаточном геострофическомвихре  R0 2       ,(2.1.4.1)где R02  gH / f 2 – квадрат баротропного радиуса деформации Россби.

Напомним, что вбезграничном океане фиксированной глубины остаточное смещение поверхности водыпропорционально функции тока    g / f(2.1.4.2)и потенциалу смещений   g  / f 2 .(2.1.4.3)Величины   и  позволяют рассчитать вектор скорости остаточного вихревого течения    U  ,x  y(2.1.4.4)и вектор остаточных смещений частиц воды в остаточном потенциальном поле39     .D  , x y (2.1.4.5)Перейдем в уравнении (2.1.4.1) к безразмерным пространственным переменным( x* , y* )  ( x / R , y / R ) ,(2.1.4.6)где под величиной R будем понимать характерный размер источника цунами (например,эту величину можно определить как квадратный корень из площади очага цунами).

Знак«*» в дальнейшем опустим.В безразмерных переменных уравнение (2.1.4.1) записывается в следующем виде:   2    2  ,(2.1.4.7)2где  2  R 2 / R0 . Определение параметра  осталось, по сути, без изменений посравнению с разделом 2.1.1, где анализировалась осесимметричная задача. Однако втекущем разделе нас будет интересовать уже не осесимметричный случай, а деформациядна произвольной формы, которая описывается функцией двух пространственныхкоординат   ( x , y ) .

Наша цель исследовать, как проявляется несимметричность функции  ( x , y ) в остаточных полях, и каким образом на эти проявления влияет основнойпараметр задачи  .Для решения уравнения (2.1.4.7) воспользуемся известной аналитическойинтегральной формулой [Полянин, 2001]: ( x, y ) 22  ( x̂ , ŷ ) K 0 (  )dx̂dŷ ,(2.1.4.8)  где   ( x  x̂ )  ( y  ŷ ) , K 0 - модифицированная функция Бесселя второго роданулевого порядка (функция Макдональда). В представленных ниже примерах интеграл вформуле (2.1.4.8) рассчитывался численно.Остаточную деформацию представим в виде композиции из двух гауссовых функций,описывающих поднятие и опускание дна: ( x  sx )2 y 2  ( x  sx )2 y 2    ( x , y )  A1 exp Aexp 2  ,2a2b 2 a2b (2.1.4.9)где A1 и A2 - амплитуды деформации дна, a и b - параметры, определяющиепротяженность источника в направлении осей 0x и 0y соответственно, sx - параметр,задающий разнесенность в пространстве областей поднятия и опускания дна.

Во всехрасчетах мы полагали, что R  ab . Параметры a , b и sx нормировались на величину R( ( a* ,b* , sx* )  ( a ,b , sx ) / R - аналогично координатам). Знак «*» мы далее опускаем.40Если в формуле (2.1.4.9) положить A2  0 и sx  0 , то приходим к простомуоднополярному возмущению гауссовой формы. Первая серия расчетов выполняласьименно для такого возмущения. Задавались следующие параметры возмущения: a  0.5 ,b  2 (1  ab ). Т.е. источник был вытянут вдоль оси 0y.  0.1 1 3Рис.

2.1.4.1 Остаточное смещение свободной поверхности (левая колонка, черные изолинии), скоростиостаточного вихревого течения (центральная колонка, стрелки) и остаточные горизонтальные смещениячастиц воды (правая колонка, стрелки) для различных значений параметра μ. Область деформации дна(поднятие) показана красными изолиниями41  0.1 1 3Рис. 2.1.4.2 Остаточное смещение свободной поверхности (левая колонка, черные изолинии), скоростиостаточного вихревого течения (центральная колонка, стрелки) и остаточные горизонтальные смещениячастиц воды (правая колонка, стрелки) для различных значений параметра μ.

Область деформации днапоказана красными (поднятие) и синими (опускание) изолиниямиРезультаты расчетов смещения свободной поверхности, выполненные по формуле(2.1.4.8) для разных значений параметра  представлены на Рис 2.1.4.1 чернымиизолиниями (    0 – пунктир,    0 – сплошная линия). На этом же рисунке чернымистрелками показаны соответствующие поля скорости остаточного вихревого течения U иостаточного горизонтального смещения частиц воды D , рассчитанные по формулам42(2.1.4.4) и (2.1.4.5).

Остаточная деформация дна показана цветными изолиниями (синие –опускание, красные – поднятие).Из рисунка видно, что при типичных «природных» значениях параметра   0.1асимметрия источника практически не проявляется в остаточных полях, т.е. итоговыевозмущения близки к осесимметричным. С увеличением параметра  форма источникавсе более четко начинает проявляться в остаточных полях. Напомним, что параметр представляет собой отношение размера очага цунами к баротропному радиусудеформацииРоссби.При  0.1 , т.е.R  R0 ,источникцунамифактическипредставляется точечным объектом, и особенности пространственного распределениядеформаций дна в нем не имеют никакого значения. Важна только величина вытесненногообъема воды.

Но при R ~ R0 (или R  R0 ) асимметрия источника уже становится заметной.Сделанные выше выводы можно подтвердить с использованием источника болеесложной формы, который сочетает в себе поднятие и опускание дна – типичную ситуациюдля очага цунами. Параметры источника - см. формулу (2.1.4.9) - были следующие:a  0.5 , b  2 , A1  5 , A2  2 , sx  0.5 . Результаты расчетов представлены на Рис. 2.1.4.2.При малых значениях параметра  асимметрия практически не заметна.

Более того,несмотря на биполярное возмущение, возникает только один антициклоническийостаточный вихрь (северное полушарие – вращение по часовой стрелке). Два связанныхвихря циклонический над областью опускания и антициклонический над областьюподнятия возникают только в том случае если размеры источника цунами порядка радиусадеформации Россби или больше его.Итак, видно, что в рассматриваемой задаче радиус деформации Россби выступаеткак своеобразный масштаб «естественного осреднения». Неоднородности источника,которые меньше этого масштаба, не проявляются в вихревом и потенциальномостаточных полях.

Заметим, что в природе (в условиях планеты Земля) в большинствеслучаев размер источника цунами оказывается меньше, чем баротропный радиусдеформации Россби. В этой связи следует ожидать формирование над источником цунамиодного вихря, направление вращения которого будет определяться знаком вытесненногообъемаводы(положительный–антициклоническийвихрь,отрицательный–циклонический вихрь).В силу того, что асимметрия источника слабо сказывается на остаточных полях,для типичных природных условий особое значение приобретает осесимметричная задача,рассмотренная выше.

Иными словами осесимметричная постановка задачи не являетсятакой уж идеализированной.432.1.5. Параметрыостаточныхгидродинамическихполейвзависимостиотмоментной магнитуды землетрясенияЦелью этого параграфа является оценка характеристик остаточных полей(остаточное горизонтальное смещение частиц воды, скорость вихревого течения и энергияостаточного геострофического вихря) для реальных условий. Воспользуемся полученнымвыше аналитическим решением и связями параметров очага цунами с моментноймагнитудой землетрясения, которые были установлены в работе [Bolshakova, Nosov,2011].lg0 ( м)  0.5 M W  3.4 ,(2.1.5.1)lg R( м)  0.5 M W  0.8 ,(2.1.5.2)где M W – моментная магнитуда землетрясения.Рассчитаем амплитуду смещения частиц в остаточном потенциальном поле D max ,скоростьвихревоготеченияV max ,полнуюэнергиюгеострофическоговихряWGV  (Wk  W p ) / W0 и энергию цунами W0 в зависимости от моментной магнитудыземлетрясения M W , подставляя в формулы (2.1.3.3), (2.1.3.4), (2.1.2.16) и (2.1.2.17) связи(2.1.5.1) и (2.1.5.2).

Кроме того, для сравнения нам потребуется оценка энергииземлетрясения. Для этого воспользуемся известной связью [Kanamori, 1977]lg WEQ ( Дж )  1.5 M w  4.8 .(2.1.5.3)Результаты расчетов представлены на Рис. 2.1.5.1-2.1.5.3. Параметры остаточныхполей зависят от глубины океана, поэтому приведены расчеты для четырех глубин,перекрывающих возможный диапазон изменения глубины океана в реальных условияхнашей планеты.На Рис. 2.1.5.1 представлена амплитуда горизонтального смещения частиц воды.Видно, что амплитуда экспоненциально растет с увеличением магнитуды.

Кроме того,амплитуда обратно пропорциональна глубине океана.В случае катастрофических землетрясений ( M W  9 ) даже в открытом океане( H  1 км ) амплитуда остаточных смещений достигает сотен метров. На шельфеамплитуда может превышать 1 км. Интересно, что даже относительно слабыеземлетрясения, которые имеют магнитуду, соответствующую порогу возбуждения цунами( M W  7 ), способы вызывать горизонтальные движения воды на шельфе с амплитудойдесятки метров.44Рис. 2.1.5.1. Амплитуда горизонтального смещения частиц воды в потенциальном остаточном поле какфункция моментной магнитуды землетрясения.

Расчет выполнен для глубин океана 10 м, 100 м, 1 км и 10км (цифры у кривых).Столь значительные амплитуды горизонтальных движений могут быть измерены вприродных условиях, например, при помощи дрифтеров, оборудованных системамиспутниковой навигации или акселерометрами. В 2004 году сейсмометр (акселерометр),установленный на айсберге в море Росса, успешно записал горизонтальные ивертикальные движения айсберга при прохождении цунами, вызванного землетрясением вИндонезии 26 декабря 2004 г [Okal, MacAyeal, 2006].Рис.

2.1.5.2. Скорость вихревого течения в остаточном вихревом поле как функция моментной магнитудыземлетрясения. Расчет выполнен для глубин океана 10 м, 100м, 1 км и 10 км (цифры у кривых).45На Рис. 2.1.5.2 показана зависимость амплитуды скорости в геострофическом вихреот моментной магнитуды землетрясения и глубины океана.

Видно, что скоростивихревого течения в открытом океане не превышают 0.1 м/c, а при слабых землетрясенияхони вообще оказываются на уровне 1 мм/с. Такие малые скорости, конечно, будетпрактически невозможно выделить на фоне иных океанических течений. И только прималых глубинах скорости течений могут достигать надежно измеряемой величиныпорядка 1 м/c.

Характеристики

Список файлов диссертации