Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах (1098013), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . , l1 − l2 − 2, l1 − l2 ).Точнее, в пространстве Vl1 ,l2 существует базис χj такой, что1F χj = jχj , D+ χj = (j − l1 − l2 − n + 3)(j − l1 + l2 )χj+2 ,(16)41D− χj = (j + l1 + l2 + n − 3)(j + l1 + l2 )χj−2 ,(17)4где χj = 0 для j 6∈ Ll1 −l2 .Из этих формул выводитсяПредложение 8.3. Существуют четыре серии общих собственных векторов операторов D02 , D1 , D2 в пространстве Vl1 ,l2 .1.
D02 χ0 = D3 χ0 = 0, D1 χ0 = D2 χ0 = −l1 (l1 + n − 2)χ0 , l1 = l2 ;2. D02 (χ1 +χ−1 ) = −(χ1 +χ−1 ), D2 (χ1 +χ−1) = −l1 (l1 +n−2)(χ1 +χ−1 ),D1 (χ1 + χ−1 ) = −l12 − (n −4)l1 + n − 3 (χ1 + χ−1 ),D3 (χ1 + χ−1 ) = i l1 + n2 − 32 (χ1 − χ−1 ), l2 = l1 − 1, l1 ∈ N3. D02 (χ1 −χ−1 ) = −(χ1 −χ−1 ), D1 (χ1 −χ−1) = −l1 (l1 +n−2)(χ1 −χ−1 ),D2 (χ1 − χ−1 ) = −l12 − (n − 4)l 1 + n − 3 (χ1 − χ−1 ),n3D3 (χ1 − χ−1 ) = −i l1 + 2 − 2 (χ1 + χ−1 ), l2 = l1 − 1, l1 ∈ N;4.
D02 (χ2 − χ−2 ) = −4(χ2 − χ−2 ), D3 (χ2 − χ−2 ) = −4i l1 + n2 − 32 χ0 ,D1 (χ2 − χ−2 ) = D2 (χ2 − χ−2 ) = −l12 − (n − 4)l1 + n − 3 (χ2 − χ−2 ),l2 = l1 − 2, l1 = 2, 3, 4, . . .Только первый из этих векторов является собственным для оператора D3 .Для n = 2, 3 справедливы аналогичные результаты с некоторымиотличиями, обусловленными тривиальностью группы SO(n − 1) приn = 2 и разложением so(4) = so(3) ⊕ so(3) при n = 3.34Первый и четвертый случаи предложения 8.3 соответствуют равенству a = c. В первом случае имеемa = c = l1 (l1 + n − 2)/8, b = 2a, l1 ∈ Z+ , массы частиц произвольны,а в четвертомa = c = (l12 + (n − 4)l1 − n + 3)/8, b = (l12 + (n − 4)l1 − n + 5)/4,l1 = 2, 3, .
. . , массы частиц одинаковы.Это завершает доказательство квазиточнорешаемости квантовомеханической задачи двух тел на сферах.В диссертации имеются также четыре приложения. Первое из нихсодержит технический материал, посвященный вычислению коммутационных соотношений для образующих алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер QS наддвухточечно-однородным пространством Q.
Остальные три приложения содержат некоторые известные факты, собранные вместе дляудобства ссылок. Во втором содержатся необходимые сведения о фуксовых дифференциальных уравнениях, в частности об уравнениях Римана и Гойна, используемые при явном решении спектральных задач.В третьем приложении собраны результаты, относящиеся к дифференциальной теории Галуа и используемые в §7.6. Четвертое приложениесодержит основные факты, относящиеся к ортогональным комплексным алгебрам Ли и их конечномерным неприводимым представлениям,используемые в гл.
8.Публикации автора по теме диссертации.1. Щепетилов А.В. Некоторые квантово-механические задачи в пространстве Лобачевского, Теор. и мат. физика. T. 109 (1996),c. 395-405.2. Щепетилов А.В. Квантово-механическая задача двух тел с центральным взаимодействием на односвязных поверхностях постоянной кривизны, Теор. и мат. физика. Т. 118 (1999), c. 248-263.3. Щепетилов А.В. Задача двух тел на пространствах постояннойкривизны.
I. Связь гамильтониана с группой симметрий и редукция классической задачи, Теор. и мат. физика, Т. 124 (2000),c. 249-264.354. Степанова И.Э., Щепетилов А.В. Задача двух тел на пространствах постоянной кривизны. II. Спектральные свойства гамильтониана, Теор.
и мат. физика, т. 124 (2000), с. 481-489.5. Щепетилов А.В. Редукция задачи двух тел с центральным взаимодействием на односвязных поверхностях постоянной кривизны,Фундаментальная и прикладная математика, Т. 6 (2000), 1, с. 249263.6. Shchepetilov A.V. Reduction of the two-body problem with centralinteraction on simply connected spaces of constant sectional curvature,J. Phys.
A: Math. Gen. V.31 (1998), pp. 6279-6291.7. Shchepetilov A.V. Classical and quantum mechanical two-body problem with central interaction on simply connected spaces of constantsectional curvature, Reports on mathematical physics, V. 44 (1999),N.
1/2, pp. 191-198.8. Shchepetilov A.V. Invariant treatment of the two-body problem withcentral interaction on simply connected spaces of constant sectionalcurvature, Reports on mathematical physics, V. 46 (2000), N. 1/2,pp. 245-252.9. Shchepetilov A. ”Invariant reduction of the two-body problem withcentral interaction on simply connected spaces of constant sectionalcurvature”, In ”Geometry, Integrability, and Quantization”, pp.
229240, Eds. I. Mladenov and G. Naber, Coral Press, Sofia, Bulgaria,2000.10. Shchepetilov A.V. Algebras of invariant differential operators on unitsphere bundles over two-point homogeneous Riemannian spaces, J.Phys. A: Math. Gen., V. 36 (2003), pp. 7361-7396.11. Shchepetilov A.V. Two-body problem on two-point homogeneousspaces, invariant differential operators and the mass centre concept,J.
Geom. Phys., V. 48 (2003), pp. 245-274.12. Shchepetilov A.V. A Comment on ”Central potentials on spaces ofconstant curvature: The Kepler problem on the two-dimensionalsphere S 2 and the hyperbolic plane H 2 ” [J. Math. Phys. 46, 052702(2005)], J. Math. Phys. V. 46 (2005), 114101.3613. Shchepetilov A.V. Two-body quantum mechanical problem onspheres, J. Phys. A: Math. Gen., V. 39 (2006), pp. 4011-4046;.14. Shchepetilov A.V. Nonintegrability of the two-body problem in constant curvature spaces, J. Phys.
A: Math. Gen. V. 39 (2006), pp. 57875806.15. Shchepetilov A.V. Calculus and Mechanics on Two-Point HomogenousRiemannian Spaces. Lecture Notes in Physics , Vol. 707, Springer Verlag, 2006. (Русский перевод: Щепетилов А.В. Анализ и механикана двухточечно-однородных римановых пространствах. МоскваИжевск: НИЦ ”Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевскийинститут компьютерных исследований, 2008.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
