Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах (1098013), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В силу (4), при n = 2 имеем C2 = 0.Пространство P2 (Ca).Дополнительные образующие суть D7 , D8 , D9 так, что deg D7 =deg D8 = 3, deg D9 = 4. Они связаны 45 коммутационными соотношениями:1[D0 , D1 ] = −D3 , [D0 , D2 ] = D3 , [D0 , D3 ] = (D1 − D2 ), [D0 , D4 ] = −2D6 ,2[D0 , D5 ] = 2D6 , [D0 , D6 ] = D4 − D5 , [D0 , D7 ] = −D8 , [D0 , D8 ] = D7 ,1[D0 , D9 ] = 0, [D1 , D2 ] = −{D0 , D3 } − 2D7 , [D1 , D3 ] = − {D0 , D1 } +2+ D8 + 10D0 , [D1 , D4 ] = 2D7 , [D1 , D5 ] = 0, [D1 , D6 ] = D8 ,113[D1 , D7 ] = {D1 , D2 − D4 } − D9 − {D3 , D6 } − D32 − 5D02 − D1 −223228319111D2 + D4 − D5 , [D1 , D8 ] = − {D3 , D5 } − {D1 , D6 } +−3222223511189{D0 , D3 } −+ 10D6 + D3 , [D1 , D9 ] = {D5 , D7 } − {D6 , D8 } −422321691D7 , [D2 , D3 ] = {D0 , D2 } + D8 − 10D0 , [D2 , D4 ] = −2D7 ,−162151[D2 , D5 ] = 0, [D2 , D6 ] = −D8 , [D2 , D7 ] = − {D2 , D1 − D4 } + D9 −232831911D1 − D4 + D5 ,− {D3 , D6 } + D32 + 5D02 + D2 +23232221135[D2 , D8 ] = {D2 , D6 } − {D3 , D5 } + D3 − 10D6 , [D2 , D9 ] =22411891691{D0 , D3 } +D7 , [D3 , D4 ] = 0,= − {D5 , D7 } + {D6 , D8 } +2232161[D3 , D5 ] = 2D8 , [D3 , D6 ] = D7 , [D3 , D7 ] = − {D1 + D2 , D6 } + 10D6 ,411[D3 , D8 ] = {D1 , D2 } − {D1 + D2 , D5 } − D9 − D32 − 5D02 −2414311911−(D1 + D2 ) − D4 + D5 , [D3 , D9 ] = {D4 , D8 } − {D6 , D7 } +322222189169+{D0 , D1 − D2 } −D8 , [D4 , D5 ] = −2{D0 , D6 }, [D4 , D6 ] =641613535= −{D0 , D4 } + D0 , [D4 , D7 ] = {D1 − D2 , D4 } + (D2 − D1 ),2241[D4 , D8 ] = {D1 − D2 , D6 } − {D0 , D7 }, [D4 , D9 ] = −9{D0 , D6 },235[D5 , D6 ] = {D0 , D5 } − D0 , [D5 , D7 ] = {D3 , D6 } + {D0 , D8 },235[D5 , D8 ] = {D3 , D5 } − D3 , [D5 , D9 ] = 9{D0 , D6 }, [D6 , D7 ] =211135= {D1 − D2 , D6 } + {D3 , D4 } + {D0 , D7 } − D3 , [D6 , D8 ] =422411135= {D1 − D2 , D5 } + {D3 , D6 } − {D0 , D8 } + (D2 − D1 ),4228911[D6 , D9 ] = {D0 , D4 − D5 }, [D7 , D8 ] = − {D0 , {D1 , D2 }} + {D0 , D32 } +242111283{D0 , D1 + D2 } −+ {D0 , D9 } + {D1 − D2 , D8 } + {D0 , D5 } +2446417511D0 − {D3 , D7 } + 5D03 + {D0 , D4 }, [D7 , D9 ] =−224111= {{D0 , D7 }, D6 } + {D2 − D1 , {D4 , D5 }} − {{D0 , D4 }, D8 } +4841125185{D1 − D2 , D4 } ++ {D1 − D2 , D62 } − {D0 , D8 } + {D3 , D6 } +4232641735 · 181(D2 − D1 ), [D8 , D9 ] =+ {D1 − D2 , D5 } +8128111= − {{D0 , D6 }, D8 } − {D3 , {D4 , D5 }} + {{D0 , D7 }, D5 } +4441611694537+ {D3 , D62 } +{D3 , D5 } + {D1 − D2 , D6 } + {D3 , D4 } +23264835 · 1775D3 .+ {D0 , D7 } −864Все центральные элементы данной алгебры степени 6 4 являютсялинейными комбинациями элементов C1 , C12 и C2 , гдеC1 = D02 + D1 + D2 + D4 + D5 ,11895C2 = {D4 , D5 } − D62 − 2D9 +(D1 + D2 ) + (D4 + D5 ).2164nПространство P (C).Тут, в силу dim p2λ = dim k2λ = 1, имеем deg D4 = deg D̄4 = deg D5 =deg D̄5 = 1.
Имеется одна дополнительная образующая степени 2.Коммутационные соотношения для алгебры Diff I (Pn (C)S ) имеютвид:1[D0 , D1 ] = −D3 , [D0 , D2 ] = D3 , [D0 , D3 ] = (D1 − D2 ), [D0 , D4 ] = −D5 ,2[D0 , D5 ] = D4 , [D0 , ] = 0, [D1 , D2 ] = −{D0 , D3 } − {, D4 },11(n − 1)2[D1 , D3 ] = − {D0 , D1 } + {, D5 } +D0 , [D1 , D4 ] = ,22411(n − 1)2[D1 , D5 ] = 0, [D1 , ] = − {D1 , D4 } − {D3 , D5 } +D4 ,22411(n − 1)2[D2 , D3 ] = {D0 , D2 } + {, D5 } −D0 , [D2 , D4 ] = −,22411(n − 1)2D4 ,[D2 , D5 ] = 0, [D2 , ] = {D2 , D4 } − {D3 , D5 } −2241(n − 1)2D5 ,[D3 , D4 ] = 0, [D3 , D5 ] = , [D3 , ] = − {D1 + D2 , D5 } +441[D4 , D5 ] = −D0 , [D4 , ] = (D1 − D2 ), [D5 , ] = D3 .2Для n > 2 некоммутационные соотношения отсутствуют. Для n = 2существует одно такое соотношение:11{D1 , D2 } − D32 − 2 − (D02 + D42 + D52 ) = 0.(5)24Оператор Казимира имеет вид C1 = D02 + D1 + D2 + D42 + D52 . Всеэлементы из ZDiff I (Pn (C)S ) степеней 6 4 являются линейными комбинациями элементов C1 , C12 , C2 и C3 , гдеC2 = {D1 − D2 , D5 } − 2{D3 , D4 } + 2{D0 , },171n2 − 2n − 1C3 = {D1 , D2 } − D32 − 2 −(D1 + D2 ).24В силу (5) в случае n = 2 имеем C1 = 4C3 .
Оператор C2 имеет степень3, а степень оператора C3 для n > 3 равна 4.Пространства Pn (R) и Sn .Тут набор образующих различен в случаях n = 2, n = 3 и n > 4.При n = 2 группа K0 тривиальна и мы имеем простоDiff G (G/K0 ) ∼= U (so(3)).При n > 3 в компактном случае образующие суть D0 , D1 , D2 , D3 ссоотношениями[D0 , D1 ] = −2D3 , [D0 , D2 ] = 2D3 , [D0 , D3 ] = D1 − D2 , [D1 , D2 ] =(n − 1)(n − 3)D0 ,= −2{D0 , D3 }, [D1 , D3 ] = −{D0 , D1 } +2(n − 1)(n − 3)[D2 , D3 ] = {D0 , D2 } −D0 .2При n = 3 дополнительная образующая степени 2 лежит в центреалгебры и имеется дополнительное соотношение1{D1 , D2 } − D02 = D32 + 2 .2В некомпактных случаях ситуация аналогична соответствующимкомпактным случаям.Все эти алгебры содержат оператор D0 первого порядка. Следующая теорема относится к его ядру и обобщает известный результат1для пространства Hn (R).Теорема 3.1 Пусть Q – двухточечно-однородное риманово пространство, а G – компонента связности единицы его группы изометрий.
Для любого гладкого векторного поля v на Q определимфункцию fv на пространстве QS формулой:fv (y) = ĝ(v(x), ξ) ≡ hv(x), ξi,где x ∈ Q, ĝ(·, ·) ≡ h·, ·i – риманова метрика на Q, ξ ∈ Tx Q, hξ, ξi =e1, y = (x, ξ) ∈ QS . Для любого элемента X ∈ g обозначим через X1Reimann H.M. Invariant differential operators in hyperbolic space, Comment. Math. Helvetici, V.57 (1982), pp. 412-444.18соответствующее киллингово векторное поле на Q. Тогда тождеe для некоторогоство D0 fv ≡ 0 на QS эквивалентно равенству v = XX ∈ g.Глава 4 содержит основные факты, относящиеся к гамильтоновымдинамическим системам с симметриями и соответствию между квантовомеханическими и классическими системами. В частности, тут обсуждается некоммутативная интегрируемость и отображение момента.Построен важный для дальнейшего симплектоморфизм между приведенным фазовым пространством для гамильтоновой системы на кокасательном расслоении однородного многообразия и некоторым факторпространством орбиты коприсоединенного действия соответствующейгруппы Ли.Пусть G – группа Ли с алгеброй Ли g.
Хорошо известно, что приведенное фазовое пространство для кокасательного расслоения T ∗ G симплектоморфно орбите коприсоединенного действия группы G. Авторомполучено обобщение этого результата для однородного пространстваG/K, где K – подгруппа группы G с алгеброй Ли k ⊂ g.Пусть g∗ – пространство, сопряженное к g,µ : T ∗ (G/K) 7→ g∗– отображение момента, β ∈ Im µ и Oβ ⊂ g∗ – Ad∗G -орбита, содержащаяточку β.ПустьGβ = g ∈ G | Ad∗g−1 β ∈ ann k .Предположение 4.2 Предположим, что Gβ – гладкое подмногообразие группы G.Очевидно, что это предположение является следствием следующегопредположения, которое может быть легче проверено.Предположение 4.3 Орбита Oβ коприсоединенного действия Ad∗Gгруппы G в g∗ , содержащая точку β ∈ ann k, трансверсальна к подпространству ann k ⊂ g∗ .ОпределимOβ0 := Oβ ∩ ann k– инвариантное множество относительно Ad∗K -действия.
При выполнении предположения 4.2 оно является гладким подмногообразием вOβ .Предположение 4.4 Предположим, что действие Ad∗K на многообразии Oβ0 свободно и собственно.19Теорема 4.6 При выполнении предположений 4.2 и 4.4, приведенfβ , соответствующее значению β отображенияное пространство Meβ := O0 / Ad∗ , симплекмомента, симплектоморфно пространству OKβтическая структура на котором индуцируется формой Кириллова наOβ .Глава 5 посвящена выводу явно симметричного единого выражениядля двухчастичного гамильтониана на двухточечно-однородных пространствах через радиальный дифференциальный оператор и образующие алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер. Здесь получен следующий результат.Пусть11H=−41 −42 + V (ρ) ≡ H0 + V (ρ)2m12m2двухчастичный гамильтониан на пространстве Q × Q, где V (ρ) - центральный потенциал, ρ – расстояние между частицами, а 4i – операторЛапласа-Бельтрами на i-ом сомножителе произведения Q × Q.Теорема 5.1 Квантовомеханический двухточечный гамильтонианна компактном двухточечно-однородном пространстве Q со связнойгруппой изометрий G можно рассматривать как дифференциальныйоператор на пространстве I × G видаq1(1 + r2 )1+ 2 +q2 ∂rq1 +q2∂m1 α2 + m2 β 2 2H=−◦−D0 +q18mR2 rq1 +q2 ∂r2m1 m2 R2(1 + r2 ) 2 +q2 −1 ∂rq1(m1 α − m2 β)(1 + r2 )1+ 2 +q2 ∂rq1 +q2 D0+,−q4m1 m2 R2 rq1 +q2∂r (1 + r2 ) 21 +q21− (Ds D1 + Fs D2 + 2Es D3 + Cs D4 + As D5 + 2Bs D6 ) + V (r),2для Q = Pn (H), q1 = 4n − 4, q2 = 3 и Q = P2 (Ca), q1 = 8, q2 = 7;(1 + r2 )n+1 ∂r2n−1∂m1 α2 + m2 β 22H=−◦−(D)+08mR2 r2n−1 ∂r(1 + r2 )n−1 ∂r2m1 m2 R2(m1 α − m2 β)(1 + r2 )n+1 ∂r2n−1+,D0 −4m1 m2 R2 r2n−1∂r (1 + r2 )n1−Ds D1 + Fs D2 + 2Es D3 + Cs D42 + As D52 + Bs {D4 , D5 } + V (r),2для Q = Pn (C);(1 + r2 )n ∂rn−1∂m1 α2 + m2 β 2 2H=−◦−D0 +8mR2 rn−1 ∂r(1 + r2 )n−2 ∂r2m1 m2 R220(m1 α − m2 β)(1 + r2 )n ∂rn−1 D0+,−4m1 m2 R2 rn−1∂r (1 + r2 )n−11− (Cs D1 + As D2 + 2Bs D3 ) + V (r),2для Q = Pn (R), Sn , n > 3 и(1 + r2 )2 ∂∂(m1 α − m2 β)(1 + r2 )2 ∂ rD0H=−◦ r+,−8mR2 r ∂r∂r4m1 m2 R2 r∂r 1 + r2m1 α 2 + m2 β 2 2 122−D−CD+AD+B{D,D}+ V (r),s 1s 2s1202m1 m2 R22для Q = P2 (R), S2 .m1 m2Здесь m :=, причем I = (0, 1) в случае Q = Pn (R) и I =m1 + m2(0, ∞) в остальных случаях, α, β ∈ (0, 1), α + β = 1.
КоэффициентыAs , Bs , Cs , Ds , Fs , Es определяются формулами:Ds =Fs =Es =Cs =As =Bs =1 + r222(αarctgr)+msin(βarctgr)msin,12m1 m2 R 2 r 21 + r222mcos(αarctgr)+mcos(βarctgr),12m1 m2 R 2 r 21 + r2(m1 sin(2α arctg r) − m2 sin(2β arctg r)) ,2m1 m2 R2 r2(1 + r2 )222(2αarctgr)+msin(2βarctgr)msin,124m1 m2 R2 r2(1 + r2 )222mcos(2αarctgr)+mcos(2βarctgr),124m1 m2 R2 r2(1 + r2 )2(m1 sin(4α arctg r) − m2 sin(4β arctg r)) .8m1 m2 R2 r2(6)Область определения оператора H плотна в пространствеL2 (I × G, K0 , µ2 ) = L2 (I, ν) ⊗ L2 (G, K0 , µG ) ,состоящем из всех квадратично интегрируемых K0 -инвариантныхфункций на пространстве I × G, относительно меры µ2 = ν ⊗ µGq1и правых K0 -сдвигов.
Здесь ν = rq1 +q2 dr/(1 + r2 )1+ 2 +q2 , а µG – биинвариантная мера на группе G.Аналогичные выражения получены для двухчастичного гамильтониана на некомпактных пространствах.21В главе 6 рассматривается задача о движении одной частицы вцентральном поле на двухточечно-однородных пространствах. В §6.1доказывается ее некоммутативная интегрируемость для двухточечнооднородных пространств, отличных от пространств постоянной кривизны.
Для пространств постоянной кривизны приводятся более детальные результаты в классическом и квантовомеханическом случаях,которые используются далее при исследовании двухчастичной задачи.Полученное в главе 5 выражение для двухчастичного гамильтониана в начале главы 7 преобразуется в функцию Гамильтона классической механической системы двух частиц на двухточечно-однородныхпространствах, также имеющую явно инвариантный вид. Отметим,что задача двух тел на двухточечно-однородных пространствах, перечисленных выше, достигает максимальной общности при n = 3.Принятая концепция разделения степеней свободы на радиальнуюи групповые приводит к следующему представлению конфигурационного и фазового пространств задачи двух тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
