Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах (1098013), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При n = 2 справедливоgrравенство C 3 = 0.Пространство Q = Hn (R), n > 3.(1 − r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 − r2 )m1 α2 + m2 β 2 2h=p +pr p̄0 +p̄ +8mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 01+ (Ch p̄1 + Ah p̄2 + 2Bh p̄3 ) + V (r).2(12)Соотношения между образующими соответствующих пуассоновых алгебр имеют вид[p̄0 , p̄1 ]P = 2p̄3 , [p̄0 , p̄2 ]P = 2p̄3 , [p̄0 , p̄3 ]P = p̄1 + p̄2 ,[p̄1 , p̄2 ]P = −4p̄0 p̄3 , [p̄1 , p̄3 ]P = −2p̄0 p̄1 , [p̄2 , p̄3 ]P = 2p̄0 p̄2 .Дополнительная образующая p̄ при n = 3 коммутирует со всемиостальными.Дополнительное соотношение при n = 3 имеет вид p̄1 p̄2 − p̄23 − p̄2 = 0.ЭлементыgrgrC 1 = p̄20 + p̄1 − p̄2 , C 2 = p̄1 p̄2 − p̄23grявляются центральными и при n = 3 справедливо равенство C 2 = p̄2 .Для пространства Q = H2 (R) имеем(1 − r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 − r2 )m1 α2 + m2 β 2 2h=p +pr p̄0 +p̄ +8mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 01+Ch p̄21 + Ah p̄22 + 2Bh p̄1 p̄2 + V (r),2где(13)[p̄0 , p̄1 ]P = p̄2 , [p̄0 , p̄2 ]P = p̄1 , [p̄1 , p̄2 ]P = −p̄0 .Пуассонова алгебра gr Diff G (G/K0 ) в этом случае изоморфна градуированной алгебре gr U (so(1, 2)).
В этой алгебре существует только один28grфункционально независимый центральный элемент C 1 = p̄20 + p̄21 − p̄22и это простейший некомпактный случай.Отметим, что пуассоновы алгебры gr Diff G (G/K0 ) для всех пространств Q фиксированного кватернионного или комплексного типапри n > 3 изоморфны друг другу. Для вещественных пространствэто справедливо начиная с n = 4 из-за наличия при n = 3 дополнительного элемента центра p или p̄ . То же справедливо для гамильтоновых функций. Это соответствует тому, что задача двух тел надвухточечно-однородных пространствах достигает максимальной общности при n = 3.В §7.3 доказано отсутствие столкновений частиц для некоторых потенциалов и начальных условий.Теорема 7.1 Пусть потенциал V (r) является гладким при r > 0,справедливы неравенстваV (r) > C1 (ε) = const, k grad V (r)k 6 C2 (ε) = const, ∀r > εи V = o(r−2 ) при r → 0.
Тогда столкновения частиц отсутствуютв следующих случаях (везде ci = const):1. Q = Pn (H), n > 3, C2gr = c2 > 0 ;2. Q = Pn (C), n > 3, C3gr = c3 > 0 ;3. Q = Pn (R), Sn , n > 3, C2gr = c2 > 0 ;4. Q = Hn (H) :gr(a) n > 3, C 2 = c2 > 0 ;gr(b) n > 2, C 1 = c1 < 0 ;gr(c) n > 2, C 1 = 0 и p̄20 + p̄1 + p̄2 + p̄4 + p̄5t=0> 0;t=0> 0;5. Q = Hn (C) :gr(a) n > 3, C 3 = c3 > 0 ;gr(b) n > 2, C 1 = c1 < 0 ;gr(c) n > 2, C 1 = 0 и p̄20 + p̄1 + p̄2 + p̄4 + p̄56. Q = Hn (R) :gr(a) n > 3, C 2 = c2 > 0 ;gr(b) n > 2, C 1 = c1 < 0 ;29gr(c) n > 2, C 1 = 0 и p̄20 + p̄1 + p̄2t=0> 0;7.
Q = H2 (Ca) :gr(a) C 1 = c1 < 0 ;gr(b) C 1 = 0 и p̄20 + p̄1 + p̄2 + p̄2 + p̄4 + p̄5t=0> 0.Неформально, условия теоремы 7.1 означают, что на малых расстояниях относительное вращательное движение частиц превалирует надих относительным поступательным движением.Найденное выражение для двухчастичной функции Гамильтонарассматривается в §7.4 с точки зрения проблемы центра масс длядвухточечно-однородных пространств. Обсуждаются различные существующие определения центра масс для пространств постоянной кривизны.
Показаны их недостатки по сравнению с определением центрамасс в евклидовом пространстве.В §7.5 для пространств Sn и Hn (R) описаны и классифицированыприведенные классические двухчастичные системы.Группа изометрий действует лишь на втором сомножителе фазовогопространства Mess = T ∗ I × T ∗ (G/K0 ), поэтому для гамильтоновой редукции можно применить теорему 4.Пространство S3 . Для значения момента β в общем положенииfess ' T ∗ I × O, где мноприведенное фазовое пространство имеет вид Mгообразие O диффеоморфно S2 . Однако, в силу известного разложения so(4) ' so(3) ⊕ so(3) для значений отображения момента видаfess ' T ∗ I,β = (γ, 0) ∈ so∗ (3) ⊕ so∗ (3) и β = (0, γ) справедливо Mа соответствующие приведенные системы интегрируемы при любомцентральном потенциале.
Приведенной гамильтоновой функцией является функция (9), где SO(4)-инвариантные функции p0 , p1 , p2 , p3 на Oсвязаны соотношениямиp20 + p1 + p2 = β1 , p1 p2 − p23 = β2 , β1 , β2 = const .Пространство S2 . Для ненулевого значения момента β ∈ so∗ (3)fess ' T ∗ I ×S2 . Вприведенное фазовое пространство имеет тот же вид Mкачестве приведенной гамильтоновой функции можно взять выражение(10), где p20 + p21 + p22 = const.Пространство H3 .
Если движение не ограничено на H2 ⊂ H3 , тоfess ' T ∗ I × O, где мноприведенное фазовое пространство имеет вид Mгообразие O диффеоморфно R2 . Приведенной гамильтоновой функцией30является функция (12), где SO(1, 3)-инвариантные функции p̄0 , p̄1 , p̄2 , p̄3на O связаны соотношениямиp̄20 + p̄1 − p̄2 = β1 , p̄1 p̄2 − p̄23 = β2 6= 0, β1 , β2 = const .Пространство H2 . В данном случае приведенное фазовое проfess ' T ∗ I × O, где многообразие O являетсястранство имеет вид MAd∗O0 (1,2) -орбитой в o∗ (1, 2), определяемой уравнением p̄20 + p̄21 − p̄22 = c =const, т.е. полой двухполостного гиперболоида, однополостным гиперболоидом, конусом с выброшенной вершиной или началом координат.В качестве приведенной гамильтоновой функции можно взять выражение (13).В §7.6 с помощью теории Моралеса-Рамиса доказана мероморфнаянеинтегрируемость комлексифицированной приведенной задачи двухтел на пространствах S2 и H2 (R) с четырьмя центральными потенциалами взаимодействия.Теорема 7.4 Для потенциаловρρV1 (ρ) = VN (ρ) = −α ctg( ), V2 (ρ) = α tg( ),RRα2 ρV3 (ρ) = −ρ , V4 (ρ) = Vosc (ρ) = α tg ( R ), α 6= 0sin( )Rкомплексифицированная гамильтонова система для приведенной задачи двух тел на S2 с ненулевым значением момента не допускаетдополнительного мероморфного интеграла.Теорема 7.5 Для потенциаловρρV1 (ρ) = VN (ρ) = −α cth( ), V2 (ρ) = α th( ),RRαρ2V3 (ρ) = −ρ , V4 (ρ) = Vosc (ρ) = α th ( R ), α 6= 0sh( )Rкомплексифицированная гамильтонова система для приведенной задачи двух тел на H2 с моментом, соответствующим двухполостному гиперболоиду в o∗ (1, 2), не допускает дополнительного мероморфного интеграла.Ограничение случаем двумерной сферы и гиперболической плоскостью (а также случаем двухполостного гиперболоида в теореме 7.5)связано с тем, что при неравных массах частиц известна лишь однаявная траектория задачи двух тел, соответствующая их движению по31общей геодезической.
Эта траектория реализуется лишь для значенийотображения момента, соответствующих движению обеих частиц поS2 ⊂ S3 или H2 ⊂ H3 (в последнем случае значение момента должносоответствовать двухполостному гиперболоиду в o∗ (1, 2)).В главе 8 исследуется квантовомеханическая задача двух тел надвухточечно-однородных компактных пространствах.Квантовомеханическая система считается квазиточно решаемой,если часть ее энергетических уровней и соотвествующие стационарныесостояния известны в явном виде.
Оказывается, что квантовомеханическая задача двух тел на сферах Sn является квазиточно решаемой.Положим в теореме 5.1 α = m2 /(m1 + m2 ). Отметим, что Bs ≡ 0 приm1 = m2 . Пусть ψD ∈ L2 (SO(n + 1), SO(n − 1), dµ) – общая собственнаяфункция операторов D1 , D2 , D3 при n > 3 (только операторов D1 , D2при m1 = m2 ) или D12 , D22 , {D1 , D2 } при n = 2 (только операторов D12 , D22при m1 = m2 ).Если мы будем искать решение стационарного уравнения ШредингераHψ = Eψв виде ψ = f (r)ψD , то мы получим для функции f (r) спектральноеОДУ второго порядкаn − 1 + (3 − n)r2 0f +f +(1 + r2 )r8a22+mR (E − V (r)) − 2 − b − cr f = 0,(1 + r2 )2ra, b, c > 0, 0 < r < ∞, (14)00где коэффициенты a, b, c зависят от собственных значений операторовD1 , D2 , D3 .Условия принадлежности функции ψ = f (r)ψD области определениясамосопряженного гамильтониана H диктуют слабейшие из возможных асимптотики для f (r) при r → 0 и r → +∞.Для кулоновского и осцилляторного потенциалов уравнение (14)фуксово, причем для кулоновского потенциала оно имеет четыре особые точки (т.е.
сводится к уравнению Гойна), а для осцилляторноговсегда сводится к таковому заменой независимой переменной.Известны условия приводимости уравнения Гойна рациональной заменой независимой переменной к гипергеометрическому.22Maier R.S. On reducing the Heun equation to the hypergeometric equation, J. Diff. Equations, V. 21332Для уравнения (14) эти условия сводятся к единственному равенствуa = c. И собственные значения операторов D1 , D2 , D3 , соответствующие общей собственной функции и равенству a = c, действительносуществуют (см.
ниже).При a = c для кулоновского потенциалаγ1Vc =r−, γ>02Rrполучаем явные спектральные значения11 2n2k − 1 pEk =(k − k + 1) − + 2a + b +(n − 2)2 + 32a −2mR 24422mγ− p2 , k ∈ N,2(n − 2) + 32a + 2k − 1а для осцилляторного потенциала2R2 ω 2 r2Vo =(1 − r2 )2значения2p12Ek =4k + 2 + (n − 2)2 + 32a − (n − 1) − 16a + 8b + 1 +8mR2rpω1+ √4k + 2 + (n − 2)2 + 32a1+, k = 0, 1, 2, .
. .4R4 m22 mДля нахождения общих собственных функций операторов D1 , D2 , D3e равенствамиопределим операторы D+ , D− , F, CD+ =1i1i(D1 − D2 ) − D3 , D− = (D1 − D2 ) + D3 ,42422e = −D − D1 − D2 .F = iD0 , C0Они удовлетворяют коммутационным соотношениям[F, D+ ] = 2D+ , [F, D− ] = −2D− ,11e1+ (n − 1)(n − 3)F,[D+ , D− ] = − F 3 + CF224(15)e скалярный оператор (оператор Казимира) на каждом неприводиаCмом представлении группы SO(n + 1).(2005), pp. 171-203.33Показано, что при n > 4L2 (SO(n + 1), SO(n − 1), dµ) =Mc(l1 , l2 )Vl1 ,l2 ,l1 > l2l1 , l2 ∈ Z+где c(l1 , l2 ) – целочисленные коэффициенты, выражаемые явной, но громоздкой формулой Вейля для размерностей неприводимых представлений алгебры so(n + 1, C), а Vl1 ,l2 – прямые суммы одномерных собственных пространств оператора F с собственными значениямиj ∈ Ll1 −l2 := (l2 − l1 , l2 − l1 + 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
