Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах (1098013), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Кним относятся: выражение оператора Лапласа-Бельтрами в подвижном репере и, в частности, через киллинговы векторные поля, описание редуцированного кокасательного расслоения однородного пространства в терминах орбит коприсоединенного действия соответствующей группы Ли, описание алгебры Diff I (QS ) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер QS наддвухточечно-однородным пространством Q в терминах образующих исоотношений.Личный вклад диссертанта. Основные результаты диссертацииполучены автором единолично.Апробация работы.
Основные результаты были доложены наследующих международных конференциях: 30-ом Симпозиуме по математической физике (май, 1998 г., Торунь, Польша), 31-ом Симпозиуме по математической физике (май, 1999 г., Торунь, Польша),конференции ”Геометрия, интегрируемость и квантование” (сентябрь1999 г., Варна, Болгария), конференции ”Методы неевклидовой геометрии в современной физике” (октябрь 2006 г., Минск, Беларусь), атакже на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и ее приложений механико-математического факультета МГУ (рук.
академикРАН, проф. А.Т. Фоменко), семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям (рук. чл. корр. РАН, проф. И.А. Шишмарев) кафедрыобщей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на семинаре по математической теории распространенияволн в Санкт-Петербургском отделении Математического институтаим. Стеклова (рук. д.ф.м.н., проф. В.М. Бабич), на семинаре по теориигравитации в Пермском государственном университете (рук.
д.ф.м.н.,8проф. В.Ф. Панов), на семинарах кафедры математики физическогофакультета МГУ (рук. д.ф.м.н., проф. В.Ф. Бутузов).Публикации. Содержание диссертации опубликовано в статьях,трудах конференций и одной монографии (всего 15 работ), причем, заисключением одной статьи, работы выполнены единолично.Структура и объем диссертации.
Диссертация имеет объем в268 стр. и состоит из введения, восьми глав, разбитых на параграфы,четырех приложений, предметного указателя и списка литературы, содержащего 234 наименования.Содержание работы. В первых четырех главах развивается дифференциально-геометрический аппарат, служащий в дальнейшем дляанализа задачи двух тел на двухточечно-однородных пространствах.В первой главе дана классификация двухточечно-однородных пространств:1.
евклидово пространство En , n > 1;2. сфера Sn , n > 1;3. вещественное проективное пространство Pn (R), n > 2;4. комплексное проективное пространство Pn (C), n > 2;5. кватернионное проективное пространство Pn (H), n > 2;6. октавная проективная плоскость P2 (Ca);7. вещественное гиперболическое пространство (пространство Лобачевского)Hn (R), n > 2;8. комплексное гиперболическое пространство Hn (C), n > 2;9.
кватернионное гиперболическое пространство Hn (H), n > 2;10. октавная гиперболическая плоскость H2 (Ca).Всюду ниже величина R соответствует максимальной секционной кривизне R−2 двухточечно-однородного пространства.Приведены модели компактных двухточечно-однородных пространств, либо как подмногообразий евклидова пространства, либо как9факторпространств таких подмногообразий, а также различные модели вещественных гиперболических пространств Hn (R), n > 2. Далее описана связь между компактными и некомпактными двухточечнооднородными пространствами в терминах соответствующих алгебрЛи.Пусть γ – произвольная геодезическая двухточечно-однородногопространства Q.
Тогда стационарная подгруппа любой пары не совпадающих точек x, y, лежащих на γ и таких, что dist(x, y) 6= diam Qодна и та же. Обозначим эту подгруппу K0 , а ее алгебру Ли черезk0 . Существенную роль в дальнейшем играет следующее разложениеалгебры Ли g группы изометрий G пространства Q.Предложение 1.2 Алгебра Ли g допускает следующее разложениев прямую сумму подпространств:g = a ⊕ k0 ⊕ kλ ⊕ k2λ ⊕ pλ ⊕ p2λ(1)такое, что dim a = 1, λ – ненулевая линейная форма на подпространстве a, dim kλ = dim pλ = q1 , dim k2λ = dim p2λ = q2 , p = a ⊕ pλ ⊕ p2λ ,k = k0 ⊕ kλ ⊕ k2λ ; здесь q1 , q2 ∈ {0} ∪ N, подалгебра a является максимальной коммутативной подалгеброй в подпространстве p и соответствует касательному вектору к геодезической γ в точке x0 . Всеслагаемые в (1) adk0 -инвариантны и справедливы следующие включения:[a, pλ ] ⊂ kλ , [a, kλ ] ⊂ pλ , [a, p2λ ] ⊂ k2λ , [a, k2λ ] ⊂ p2λ , [a, k0 ] = 0,[kλ , pλ ] ⊂ p2λ ⊕ a, [kλ , kλ ] ⊂ k2λ ⊕ k0 , [pλ , pλ ] ⊂ k2λ ⊕ k0 ,[k2λ , k2λ ] ⊂ k0 , [p2λ , p2λ ] ⊂ k0 , [k2λ , p2λ ] ⊂ a, [kλ , k2λ ] ⊂ kλ ,[kλ , p2λ ] ⊂ pλ , [pλ , k2λ ] ⊂ pλ , [pλ , p2λ ] ⊂ kλ .(2)Более того, для любого базиса eλ,i , i = 1, .
. . , q1 пространства pλи любого базиса e2λ,i , i = 1, . . . , q2 пространства p2λ существуютбазисы fλ,i , i = 1, . . . , q1 и f2λ,i , i = 1, . . . , q2 в пространствах kλ и k2λсоответственно, такие что:[Z, eλ,i ] = −λ(Z)fλ,i , [Z, fλ,i ] = λ(Z)eλ,i , i = 1, . . . , q1 ,(3)[Z, e2λ,i ] = −2λ(Z)f2λ,i , [Z, f2λ,i ] = 2λ(Z)e2λ,i , i = 1, .
. . , q2 , ∀Z ∈ a.В главе 2 собраны необходимые сведения о дифференциальных операторах. Первый параграф содержит основы теории инвариантныхдифференциальных операторов на однородных многообразиях.10Пусть M – гладкое многообразие, на котором задано левое действиегруппы Ли G. Обозначим через Diff G (M ) алгебру инвариантных дифференциальный операторов на M .Если M = G, то Diff G (M ) ' U (g) – универсальная обертывающаяалгебра для алгебры Ли g группы G, элементы которой можно понимать как некоммутативные полиномы от базисных элементов алгебрыЛи g.Пусть G действует на M транзитивно и не свободно со стационарнойподгруппой K, т.е.
M ' G/K. Тогда Diff G (M ) ' U (g)K / (U (g)k)K , гдеU (g)K – алгебра AdK -инвариантов в U (g), k – алгебра Ли группы K,(U (g)k)K – алгебра AdK -инвариантов в U (g)k.Пусть p – линейное подпространство в g такое, что g = p ⊕ k и[k, p] ⊂ p.Пусть S(p) – симметрическая алгебра линейного пространства p,т.е. совокупность коммутативных полиномов относительно элементовнекоторого базиса пространства p.Тогда Diff G (M ) и S(p)K изоморфны как линейные пространства, чтодает возможность практически построить образующие и соотношениядля алгебры Diff G (M ).Во втором параграфе выводится выражение оператора ЛапласаБельтрами в подвижном репере, в частности, состоящем из киллинговых векторных полей.Предложение 2.5 Пусть ξi – подвижный репер на римановом пространстве, состоящий из киллинговых векторных полей. Тогда оператор Лапласа-Бельтрами можно представить в виде:XX qĝ ij ξi ◦ ξj +cjq ĝ ji ξi ,4g =i,ji,j,qгде gij = g(ξi , ξj ), матрица kg ij k – обратна к kgij k, а коэффициенты cqij(вообще говоря переменные) определяются равенством [ξi , ξj ] = cqij ξq .В третьем параграфе сформулированы достаточные условия самосопряженности абстрактных операторов в гильбертовых пространствахи дифференциальных операторов на римановых пространствах, встречающихся в дальнейшем.
В четвертом параграфе описана используемая далее общая схема редукции квантовомеханических систем с симметриями.В главе 3 находятся образующие и соотношения для алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных11сфер QS над двухточечно-однородным пространством Q.Пустьep := a ⊕ pλ ⊕ p2λ ⊕ kλ ⊕ k2λ .В соответствии с вышесказанным, образующие некоммутативной алгебры Diff G (G/K0 ) строятся из образующих коммутативной алгебрыS(ep)K0 .Пространства a, pλ , p2λ , kλ , k2λ инвариантны относительно AdK0 действия, которое является ортогональным относительно ограниченияформы Киллинга.
При этом AdK0 -действия на пространствах pλ и kλэквивалентны, равно как на пространствах p2λ и k2λ .Это дает следующие ”универсальные” образующие алгебрыDiff G (G/K0 ) для компактных пространств: D0 (соответствует ненулевому элементу из a), D1 , D2 , D4 , D5 (соответствуют скалярным квадратам в пространствах pλ , kλ , p2λ , k2λ ), и D3 , D6 (соответствуют скалярным произведениям hpλ , kλ i, hp2λ , k2λ i).Аналогичные операторы для некомпактных пространств обозначимD̄0 , . . . , D̄6 .Оказывается, что двухточечный гамильтониан H выражаетсятолько через эти ”универсальные” образующие.
Кроме этих образующих имеются и образующие, специфические для каждого пространства.Пространство Pn (H).Тут имеются дополнительные образующие D7 , D8 , D9 , D10 , причемdeg D7 = deg D8 = 3, deg D9 = deg D10 = 4. Образующие D0 , . . . , D10связаны 55 коммутационными соотношениями:1[D0 , D1 ] = −D3 , [D0 , D2 ] = D3 , [D0 , D3 ] = (D1 − D2 ), [D0 , D4 ] = −2D6 ,2[D0 , D5 ] = 2D6 , [D0 , D6 ] = D4 − D5 , [D0 , D7 ] = −D8 , [D0 , D8 ] = D7 ,[D0 , D9 ] = 0, [D0 , D10 ] = 0, [D1 , D2 ] = −{D0 , D3 } − 2D7 ,1[D1 , D3 ] = − {D0 , D1 } + D8 + n(n − 1)D0 , [D1 , D4 ] = 2D7 , [D1 , D5 ] = 0,2113[D1 , D6 ] = D8 , [D1 , D7 ] = − {D3 , D6 } − {D1 , D4 } + (D1 − D2 ) +228131+D9 + D10 + n(n − 1)D4 , [D1 , D8 ] = − {D3 , D5 } + D3 − {D1 , D6 } +2423+ n(n − 1)D6 , [D1 , D9 ] = −{D3 , D8 } − {D1 , D7 } − {D0 , D3 } +4123111+ 2(n − )(n + )D7 , [D1 , D10 ] = {D6 , D8 } − {D5 , D7 } +2222113+ {D0 , D3 } + D7 , [D2 , D3 ] = {D0 , D2 } + D8 − n(n − 1)D0 ,8221[D2 , D4 ] = −2D7 , [D2 , D5 ] = 0, [D2 , D6 ] = −D8 , [D2 , D7 ] = − {D3 , D6 } +231+ {D2 , D4 } + (D1 − D2 ) − D9 − D10 − n(n − 1)D4 , [D2 , D8 ] =28113= − {D3 , D5 } + {D2 , D6 } + D3 − n(n − 1)D6 , [D2 , D9 ] =224313= −{D3 , D8 } + {D2 , D7 } + {D0 , D3 } − 2(n − )(n + )D7 ,4221131[D2 , D10 ] = − {D6 , D8 } + {D5 , D7 } − {D0 , D3 } − D7 , [D3 , D4 ] = 0,22821[D3 , D5 ] = 2D8 , [D3 , D6 ] = D7 , [D3 , D7 ] = − {D1 + D2 , D6 } +41+ n(n − 1)D6 , [D3 , D8 ] = − {D1 + D2 , D5 } + n(n − 1)D5 + D9 +413+ D10 , [D3 , D9 ] = − {D1 + D2 , D8 } + {D0 , D1 − D2 } +283111+ 2(n − )(n + )D8 , [D3 , D10 ] = {D6 , D7 } − {D4 , D8 } −222231− {D0 , D1 − D2 } + D8 , [D4 , D5 ] = −2{D0 , D6 }, [D4 , D6 ] =162313= −{D0 , D4 } + D0 , [D4 , D7 ] = {D1 − D2 , D4 } + (D2 − D1 ),2241[D4 , D8 ] = {D1 − D2 , D6 } − {D0 , D7 }, [D4 , D9 ] = {D1 − D2 , D7 },23[D4 , D10 ] = 0, [D5 , D6 ] = {D0 , D5 } − D0 , [D5 , D7 ] = {D3 , D6 } +23+ {D0 , D8 }, [D5 , D8 ] = {D3 , D5 } − D3 , [D5 , D9 ] = 2{D3 , D8 },2111[D5 , D10 ] = 0, [D6 , D7 ] = {D1 − D2 , D6 } + {D3 , D4 } + {D0 , D7 } −4223111− D3 , [D6 , D8 ] = {D1 − D2 , D5 } + {D3 , D6 } − {D0 , D8 } +442231+ (D2 − D1 ), [D6 , D9 ] = {D1 − D2 , D8 } + {D3 , D7 }, [D6 , D10 ] = 0,82113[D7 , D8 ] = {D1 − D2 , D8 } − {D3 , D7 } + {D0 , D1 + D2 } −4216131− {D0 , D9 + D10 } − n(n − 1)D0 , [D7 , D9 ] = {D3 , D6 } +24413113+ {D1 − D2 , D4 } + {D1 − D2 , D9 + D10 } − (D12 − D22 ) +828113+ (n2 − n − )(D1 − D2 ), [D7 , D10 ] = {D2 − D1 , D62 } −444111− {{D0 , D7 }, D6 } + {{D0 , D4 }, D8 } + {{D1 − D2 , D5 }, D4 } −44811151− {D3 , D6 } + {D2 − D1 , 3D4 + D5 } − {D0 , D8 } + (D1 − D2 ),48232113[D8 , D9 ] = {D1 − D2 , D6 } + {D3 , D5 } − {D3 , D1 + D2 } +84813 2+ {D3 , D9 + D10 } + (n − n − )D3 , [D8 , D10 ] =24111= − {{D3 , D6 }, D6 } + {{D0 , D6 }, D8 } − {{D0 , D5 }, D7 } +44411119+ {{D3 , D5 }, D4 } − {D3 , D5 } − {D3 , D4 } + {D0 , D7 } + D3 ,42441611[D9 , D10 ] = {−{D6 , D8 } + {D5 , D7 }, D1 − D2 } + {{D3 , D8 }, D4 } −42111− {{D3 , D6 }, D7 } + {D2 − D1 , D7 } − {D3 , D8 },242соотношением2D10− D9 D4 D5 − D7 D6 D8 − D8 D6 D7 + D9 D62 + D7 D5 D7 + D8 D4 D8 = D0 ,где D0 =P7i=2 δi– оператор порядка 6 7:1δ7 = D7 (D1 − D2 )D5 + 2D8 D3 D4 − D7 {D3 , D6 } − D8 {D1 − D2 , D6 } +2+ 2D9 D6 D0 ,559δ6 = D0 (D1 − D2 )D8 − D0 D3 D7 + D72 + D82 + 2D9 D4 − D32 D4 −424993− (D1 − D2 )2 D5 + (D1 − D2 )D3 D6 − (D1 + D2 )D5 D4 +164231353+ (D1 + D2 )D62 − D02 D9 − D02 D10 + (D4 + D5 )D10 ,24223391δ5 = D0 (D1 + D2 )D6 −D3 D8 + (D1 − D2 )D7 ,842991193δ4 = D32 + (D1 − D2 )2 + (D1 + D2 )(9D5 − 15D4 ) + D9 + D10 +4168223+ D02 (D1 + D2 ) + 3n(n − 1)(D5 D4 − D62 ),214δ3 = −33n(n − 1)D0 D6 ,41δ2 = n(n − 1)(15D4 − 9D5 ) − 3n(n − 1)D024и, в случае n = 2, дополнительным соотношением:1{D1 , D2 } − D32 − D9 = D1 + D2 .2(4)Здесь {X, Y } = X ◦ Y + Y ◦ X – антикоммутатор операторов X и Y .Центральные элементы данной алгебры степени не выше четырехявляются линейными комбинациями элемента второй степени C1 =D02 + D1 + D2 + D4 + D5 и элементов1C2 = {D1 , D2 } − D32 − D9 − (n2 − n − 1)(D1 + D2 ),2111C3 = {D1 + D2 , D4 + D5 } + (D1 − D2 )2 + D32 + (D4 − D5 )2 + D62 +4441 21 4+ D9 − 2D10 + {D0 , D1 + D2 + D4 + D5 } + D0 −4437− (n2 − n − )(D4 + D5 ) + (−n2 + n + )D02 ,24и C12 четвертой степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
