Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах (1098013)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛомоносоваФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиЩепетилов Алексей ВалериевичАНАЛИЗ И МЕХАНИКА НА ДВУХТОЧЕЧНО-ОДНОРОДНЫХРИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХСпециальность 01.01.03 – математическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква, 2009 г.Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московскогогосударственного университет имени М.В.ЛомоносоваОфициальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессорБорисов Алексей Владимировичдоктор физико-математических наук, профессорПанов Вячеслав Федоровичдоктор физико-математических наук, профессорШафаревич Андрей ИгоревичВедущая организация: Физический факультет Санкт-Петербургскогогосударственного университетаЗащита состоится « __»____________2009 г.
в « __» часовна заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московскомгосударственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова,дом 1, строение 2, физический факультет, аудитория ______.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ.Автореферат разослан « __»____________2009 г.Ученый секретарь диссертационного совета,доктор физико-математических наук, профессор2Грац Ю.В.3Актуальность темы диссертации. Хорошо известно, что однимиз базисных понятий геометрии являются пространства постояннойкривизны, давшие широкое поле для исследований. В результате былиобнаружены многочисленные связи пространств постоянной кривизныс другими разделами математики, например, с интегрируемыми дифференциальными уравнениями в частных производных и с интегрируемыми гамильтоновыми динамическими системами.
Геодезическиепотоки на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны (рода большего единицы) являются полигоном для эргодическойтеории. Гиперболическое пространство (пространство Лобачевского)H3 (R) является пространством скоростей специальной теории относительности, а также совпадает с пространственноподобными сечениямипростейших моделей общей теории относительности.В 1885 году Киллинг подробно рассмотрел задачу о движении материальной точки в ньютоноподобном потенциале на трехмерной сфереS3 и нашел для нее аналоги трех законов Кеплера.
В работах Либмана1902 и 1905 годов результаты Киллинга были распространены на пространство Лобачевского, а в его же работе 1903 года было доказано обобщение теоремы Бертрана на пространства S2 и H2 (R), т.е. существование на этих пространствах лишь двух потенциалов: Vc (ньютоноили кулоноподобного) и Vo (осциллятоподобного), для которых все ограниченные траектории одночастичного движения замкнуты.Квантовомеханическая одночастичная спектральная задача для потенциала Vc на сфере S3 (задача Кулона) была исследована Шредингером в 1940 году разработанным им методом факторизации операторов (ladder method) и Стивенсоном в 1941 году традиционным путеманализа решений дифференциального уравнения, а в гиперболическомпространстве H3 (R) Инфельдом и Шильдом в 1945 году.В рамках развития симметрийных методов в последние десятилетияусилился интерес к задачам классической и квантовой механики напространствах постоянной кривизны, о чем свидетельствует возросшеечисло соответствующих публикаций в научных журналах.Так, были вычислены дополнительные интегралы для классическойи квантовой одночастичной задачи с потенциалами Vc и Vo на сфереS3 (Хигс, Курочкин, Отчик, 1979) и в пространстве H3 (R) (Богуш,Курочкин, Отчик 1980).
Спектральная одночастичная задача с потенциалами Vc и Vo в пространствах Sn , n > 3 была решена Лимоном в1980 г.4Связь аналогов оператора Рунге-Ленца для одночастичной квантовомеханической задачи Кеплера в пространстве S3 с методом факторизации Шредингера обсуждалось Барутом и Вилсоном в 1985 г. Барут,Иномата и Юнкер нашли решение спектральной одночастичной квантовомеханической задачи для потенциала Vc на пространствах S3 иH3 (R) с помощью функциональных интегралов (1987, 1990).Отчик (1991, 1994) исследовал одночастичную квантовомеханическую задачу в поле двух произвольно расположенных кулоновских центров на сфере S3 .
Он нашел систему координат, в которой переменные разделяются, а соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям Гойна.Козлов и Федоров (1994) установили интегрируемость классического движения одной частицы по сфере Sn в поле, создаваемом 2(n+1)потенциалами Vo c центрами в точках(±1, 0, . . . , 0), (0, ±1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, ±1)для стандартной модели сферы Sn в пространстве Rn+1 , заданной уравнениемnXx2i = 1.i=0Разделение переменных для одночастичного оператора Шредингераи некоторых нецентральных потенциалов в пространствах S2 и H2 (R)изучалось Калнинсом, Миллером, Хакобьяном и Погосяном (19961999). Существующие в евклидовом пространстве преобразованияЛеви-Чивиты, Кустанхеймо-Штифеля и Гурвица, связывающие задачиКулона-Кеплера и осциллятора, были обобщены на сферы некоторыхразмерностей Калнинсом, Миллером, и Погосяном в 2000 г.Интегрируемость одночастичного движения на сфере S2 в некоторых комбинациях ньютоновских и осцилляторных потенциалов былаустановлена Борисовым и Мамаевым (2005).Двухчастичная классическая и квантовомеханическая задача двухтел на пространствах постоянной кривизны, отличных от евклидова,оставалась практически неизученной до появления в конце 1990-х годов работ автора на эту тему.
Это объясняется тем, что координатный анализ этой задачи, для пространств размерности начиная с трех,трудно выполним в силу громоздкости соответствующих выкладок.Если в евклидовом пространстве задача двух тел посредством отделения центра масс сводится к одночастичной, а существенные мате-5матические трудности начинаются при переходе к задаче трех тел, тов пространствах постоянной кривизны не известно ни одного нетривиального центрального потенциала, соответствующего интегрируемости двухчастичной задачи, несмотря на наличие достаточно широкойгруппы изометрий этих пространств, являющейся группой симметрийзадачи двух тел.Исследование задачи двух тел в пространствах постоянной кривизны (и более общо – в двухточечно-однородных римановых пространствах) является актуальным, поскольку, с одной стороны, доставляетновый нетривиальный объект для современных методов симметрийного анализа, а, с другой стороны, позволяет лучше понять природупоявления неинтегрируемости для ”простых” систем классической иквантовой механики при переходе от плоского к неплоским пространствам.Целью работы было исследование классической и квантовомеханической задачи двух тел с центральным потенциалом на двухточечнооднородных римановых пространствах с точки зрения ее глобальнойразрешимости, интегрируемости, редукции с использованием имеющейся априорной группы симметрий к задаче с меньшим числом степеней свободы, возможности вычисления спектра квантовомеханическойзадачи в явном виде.Методы исследования.
В диссертации используются дифференциально-геометрические (теория Хелгасона инвариантных операторовна однородных пространствах), алгебраические (теория обертывающих алгебр для алгебр Ли, теория инвариантов, теория представленийгрупп и алгебр Ли) и аналитические методы (теория самосопряженныхрасширений дифференциальных операторов, теория фуксовых дифференциальных уравнений), а также дифференциальная теория Галуа.При анализе общих ситуаций используется бескоординатное описаниерассматриваемых конструкций в терминах алгебры Ли соответствующей группы симметрий.Научная новизна. В работах автора впервые рассмотрена классическая и квантовомеханическая задача двух тел на двухточечно однородных римановых пространствах. Представленные в диссертациирезультаты являются новыми.6Основные результаты и положения, выносимые на защиту:1. Получено описание некоммутативных алгебр Diff I (QS ) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичныхсфер QS над произвольным двухточечно-однородным пространством Q в терминах образующих и соотношений.
Также найденынекоторые элементы центров данных алгебр.2. Найдено описание приведенного фазового пространства для гамильтоновой системы на кокасательном расслоении однородногомногообразия группы Ли через факторпространство орбиты коприсоединенного действия данной группы.3. Получено явно инвариантное выражение для двухчастичногоквантовомеханического гамильтониана с центральным потенциалом на двухточечно-однородных пространствах через радиальныйдифференциальный оператор и образующие алгебры Diff I (QS ), атакже аналогичное выражение для двухчастичной гамильтоновойфункции.4.
Найдены достаточные условия отсутствия столкновений дляклассической задачи двух тел с центральным потенциалом надвухточечно-однородных пространствах.5. Классифицированы приведенные гамильтоновы системы для классической задачи двух тел с центральным потенциалом в пространствах постоянной кривизны. Для ряда центральных потенциаловдоказана мероморфная неинтегрируемость этих систем при некоторых значениях отображения момента.6. Показано, что двухчастичная квантовомеханическая задача насферах Sn с кулоновским и осцилляторным потенциалами является квазиточнорешаемой и получены в явном виде некоторые бесконечные серии ее энергетических уровней.Кроме основных, в диссертации получены некоторые дополнительные результаты: найдено выражение оператора Лапласа-Бельтрамина однородном римановом пространстве через киллинговы векторныеполя и установлена некоммутативная интегрируемость задачи о движении классической частицы в центральном потенциале на двухточечно однородных римановых пространствах непостоянной кривизны.7Научная значимость.
Работа носит теоретический характер.Ее результаты позволяют понять причины неинтегрируемости задачидвух тел на неплоских двухточечно-однородных пространствах с нетривиальными потенциалами общего вида. Вместе с тем, обнаруженаквазиточнорешаемость квантовомеханической задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны для кулоновского и осцилляторногопотенциалов, что свидетельствует о ее близости к точно решаемыммоделям.Некоторые результаты, полученные автором при исследовании задачи двух тел на двухточечно-однородных пространствах, могут бытьприменены и к другим исследованиям в области геометрическогоанализа, квантовой и классической механики на многообразиях.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
