Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах (1098013), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Исключив из исходногоконфигурационного пространства Q × Q его диагональ, соответствующую столкновению частиц, а для компактного пространства Q такжеи антиподальное подпространствоQop := ((x, y) ∈ Q × Q| dist(x, y) = diam Q) ,мы получаем пространствоQess := Q\(diag ∪Qop ) = I × (G/K0 ).Пусть M := T ∗ (Q × Q), Mess := T ∗ Qess . Для всех двухточечнооднородных пространств Q, кроме Pn (R), справедливо неравенствоdimR (Mess ) − dimR (M \Mess ) > 2,поэтому для таких Q траектория общего положения задачи двух телне пересекает M \Mess и многие свойства задачи двух тел на Q (например, интегрируемость и проблему столкновений) можно изучатьрассматривая ее на пространстве Mess .Классическая функция Гамильтона для задачи двух тел на двухточечно-однородном пространстве может быть получена заменой образующих некоммутативной фильтрованной алгебры Diff G (G/K0 ) соответствующими им образующими градуированной алгебрыgr Diff G (G/K0 ).22Говоря неформально, эти алгебры имеют одни и те же образующие,соотношения для второй из них получаются опусканием членов низшихстепеней в соотношениях для алгебры Diff G (G/K0 ), а коммутаторы [·, ·]переходят в скобки Пуассона [·, ·]P .В силу результатов предыдущего раздела это дает следующие явноинвариантные выражения функций Гамильтона.Пространство Q = Pn (H).(1 + r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 + r2 )m1 α 2 + m2 β 2 2h=p +pr p0 +p +8mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 0(7)1+ (Ds p1 + Fs p2 + 2Es p3 + Cs p4 + As p5 + 2Bs p6 ) + V (r),2где p0 , .

. . , p10 – образующие пуассоновой алгебры gr Diff G (Pn (H)S ),соответствующие образующим D0 , . . . , D10 алгебры Diff G (Pn (H)S ).Образующие p0 , . . . , p10 связаны соотношениями1[p0 , p1 ]P = −p3 , [p0 , p2 ]P = p3 , [p0 , p3 ]P = (p1 − p2 ), [p0 , p4 ]P = −2p6 ,2[p0 , p5 ]P = 2p6 , [p0 , p6 ]P = p4 − p5 , [p0 , p7 ]P = −p8 , [p0 , p8 ]P = p7 ,[p0 , p9 ]P = 0, [p0 , p10 ]P = 0, [p1 , p2 ]P = −2p0 p3 − 2p7 , [p1 , p3 ]P = −p0 p1 ++ p8 , [p1 , p4 ]P = 2p7 , [p1 , p5 ]P = 0, [p1 , p6 ]P = p8 , [p1 , p7 ]P = −p3 p6 −− p1 p4 + p9 + p10 , [p1 , p8 ]P = −p3 p5 − p1 p6 , [p1 , p9 ]P = −2p3 p8 − 2p1 p7 ,[p1 , p10 ]P = p6 p8 − p5 p7 , [p2 , p3 ]P = p0 p2 + p8 , [p2 , p4 ]P = −2p7 ,[p2 , p5 ]P = 0, [p2 , p6 ]P = −p8 , [p2 , p7 ]P = −p3 p6 + p2 p4 − p9 − p10 ,[p2 , p8 ]P = −p3 p5 + p2 p6 , [p2 , p9 ]P = −2p3 p8 + 2p2 p7 , [p2 , p10 ]P = −p6 p8 +1+ p5 p7 , [p3 , p4 ]P = 0, [p3 , p5 ]P = 2p8 , [p3 , p6 ]P = p7 , [p3 , p7 ]P = − (p1 +21+ p2 )p6 , [p3 , p8 ]P = − (p1 + p2 )p5 + p9 + p10 , [p3 , p9 ]P = −(p1 + p2 )p8 ,2[p3 , p10 ]P = p6 p7 − p4 p8 , [p4 , p5 ]P = −4p0 p6 , [p4 , p6 ]P = −2p0 p4 , [p4 , p7 ]P == (p1 − p2 )p4 , [p4 , p8 ]P = (p1 − p2 )p6 − 2p0 p7 , [p4 , p9 ]P = 2(p1 − p2 )p7 ,[p4 , p10 ]P = 0, [p5 , p6 ]P = 2p0 p5 , [p5 , p7 ]P = 2p3 p6 + 2p0 p8 , [p5 , p8 ]P = 2p3 p5 ,1[p5 , p9 ]P = 4p3 p8 , [p5 , p10 ]P = 0, [p6 , p7 ]P = (p1 − p2 )p6 + p3 p4 + p0 p7 ,21[p6 , p8 ]P = (p1 − p2 )p5 + p3 p6 − p0 p8 , [p6 , p9 ]P = (p1 − p2 )p8 + 2p3 p7 ,21[p6 , p10 ]P = 0, [p7 , p8 ]P = (p1 − p2 )p8 − p3 p7 − p0 (p9 + p10 ), [p7 , p9 ]P =2231= (p1 − p2 )(p9 + p10 ), [p7 , p10 ]P = (p2 − p1 )p26 − p0 p6 p7 + p0 p4 p8 +21+ (p1 − p2 )p4 p5 , [p8 , p9 ]P = 2p3 (p9 + p10 ), [p8 , p10 ]P = −p3 p26 +2+ p0 p6 p8 − p0 p5 p7 + p3 p4 p5 , [p9 , p10 ]P = (p5 p7 − p6 p8 )(p1 − p2 ) ++ 2p3 p4 p8 − 2p3 p6 p7 ,соотношениемp210 − p4 p5 p9 − 2p6 p7 p8 + p9 p26 + p4 p28 + p5 p27 = 0и, в случае n = 2, соотношениемp1 p2 − p23 − p9 = 0.ЭлементыC1gr = p20 + p1 + p2 + p4 + p5 , C2gr = p1 p2 − p23 − p9 ,111C3gr = (p1 + p2 )(p4 + p5 ) + (p1 − p2 )2 + p23 + (p4 − p5 )2 + p26 + p9 −2441 21 4− 2p10 + p0 (p1 + p2 + p4 + p5 ) + p024лежат в центре алгебры gr Diff G (Pn (H)S ).Пространство Q = P2 (Ca).Выражение для функции Гамильтона имеет вид (7).

Образующиеалгебры gr Diff G (P2 (Ca)S ) суть p0 , . . . , p9 . Соотношения теперь имеютвид:1[p0 , p1 ]P = −p3 , [p0 , p2 ]P = p3 , [p0 , p3 ]P = (p1 − p2 ), [p0 , p4 ]P = −2p6 ,2[p0 , p5 ]P = 2p6 , [p0 , p6 ]P = p4 − p5 , [p0 , p7 ]P = −p8 , [p0 , p8 ]P = p7 ,[p0 , p9 ]P = 0, [p1 , p2 ]P = −2p0 p3 − 2p7 , [p1 , p3 ]P = −p0 p1 + p8 , [p1 , p4 ]P == 2p7 , [p1 , p5 ]P = 0, [p1 , p6 ]P = p8 , [p1 , p7 ]P = p1 (p2 − p4 ) − p9 −− p3 p6 − p23 , [p1 , p8 ]P = −p3 p5 − p1 p6 , [p1 , p9 ]P = p5 p7 − p6 p8 ,[p2 , p3 ]P = p0 p2 + p8 , [p2 , p4 ]P = −2p7 , [p2 , p5 ]P = 0, [p2 , p6 ]P = −p8 ,[p2 , p7 ]P = (p4 − p1 )p2 + p9 − p3 p6 + p23 , [p2 , p8 ]P = p2 p6 − p3 p5 ,[p2 , p9 ]P = p6 p8 − p5 p7 , [p3 , p4 ]P = 0, [p3 , p5 ]P = 2p8 , [p3 , p6 ]P = p7 ,11[p3 , p7 ]P = − (p1 + p2 )p6 , [p3 , p8 ]P = p1 p2 − (p1 + p2 )p5 − p9 − p23 ,22[p3 , p9 ]P = p4 p8 − p6 p7 , [p4 , p5 ]P = −4p0 p6 , [p4 , p6 ]P = −2p0 p4 , [p4 , p7 ]P =24= (p1 − p2 )p4 , [p4 , p8 ]P = (p1 − p2 )p6 − 2p0 p7 , [p4 , p9 ]P = 0,[p5 , p6 ]P = 2p0 p5 , [p5 , p7 ]P = 2p3 p6 + 2p0 p8 , [p5 , p8 ]P = 2p3 p5 , [p5 , p9 ]P = 0,11[p6 , p7 ]P = (p1 − p2 )p6 + p3 p4 + p0 p7 , [p6 , p8 ]P = (p1 − p2 )p5 + p3 p6 −221− p0 p8 , [p6 , p9 ]P = 0, [p7 , p8 ]P = (p1 − p2 )p8 − p3 p7 + p0 p9 + p0 p23 −211− p0 p1 p2 , [p7 , p9 ]P = (p2 − p1 )p4 p5 + p0 p6 p7 − p0 p4 p8 + (p1 − p2 )p26 ,222[p8 , p9 ]P = p3 p6 − p0 p6 p8 − p3 p4 p5 + p0 p5 p7 .ЭлементыC1gr = p20 + p1 + p2 + p4 + p5 , C2gr = p4 p5 − p26 − 2p9лежат в центре алгебры gr Diff G (P2 (Ca)S ).Пространство Q = Pn (C).(1 + r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 + r2 )m1 α2 + m2 β 2 2h=p +pr p0 +p +8mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 01+Ds p1 + Fs p2 + 2Es p3 + Cs p24 + As p25 + 2Bs p4 p5 + V (r).2Образующие алгебры gr Diff G (Pn (C)S ) суть p0 , .

. . , p5 , p . Соотношения между ними имеют вид1[p0 , p1 ]P = −p3 , [p0 , p2 ]P = p3 , [p0 , p3 ]P = (p1 − p2 ), [p0 , p4 ]P = −p5 ,2[p0 , p5 ]P = p4 , [p0 , p ]P = 0, [p1 , p2 ]P = −2p0 p3 − 2p p4 , [p1 , p3 ]P == −p0 p1 + p p5 , [p1 , p4 ]P = p , [p1 , p5 ]P = 0, [p1 , p ]P = −p1 p4 − p3 p5 ,[p2 , p3 ]P = p0 p2 + p p5 , [p2 , p4 ]P = −p , [p2 , p5 ]P = 0, [p2 , p ]P = p2 p4 −1− p3 p5 , [p3 , p4 ]P = 0, [p3 , p5 ]P = p , [p3 , p ]P = − (p1 + p2 )p5 ,21[p4 , p5 ]P = −p0 , [p4 , p ]P = (p1 − p2 ), [p5 , p ]P = p3 .2Дополнительное соотношение в случае n = 2 имеет видp1 p2 − p23 − p2 = 0.ЭлементыC1gr = p20 + p1 + p2 + p24 + p25 , C2gr = 2((p1 − p2 )p5 − 2p3 p4 + 2p0 p ),(8)25C3gr = p1 p2 − p23 − p2лежат в центре алгебры gr Diff G (Pn (C)S ).

Отметим, что ввиду (8)имеем C3gr = 0 при n = 2.Пространства Q = Pn (R) и Sn , n > 3.m1 α 2 + m2 β 2 2(1 + r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 + r2 )p+pp+p +r 08mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 0(9)1+ (Cs p1 + As p2 + 2Bs p3 ) + V (r).2Соотношения между образующими соответствующих пуассоновых алгебр имеют видh=[p0 , p1 ]P = −2p3 , [p0 , p2 ]P = 2p3 , [p0 , p3 ]P = p1 − p2 ,[p1 , p2 ]P = −4p0 p3 , [p1 , p3 ]P = −2p0 p1 , [p2 , p3 ]P = 2p0 p2 .При n = 3 дополнительная образующая p коммутирует со всемиостальными образующими. Дополнительное соотношение в случаеn = 3 имеет вид p1 p2 − p23 − p2 = 0. ЭлементыC1gr = p20 + p1 + p2 , C2gr = p1 p2 − p23являются центральными и при n = 3 справедливо равенство C2gr = p2 .Для пространств Q = P2 (R), S2 имеем:m1 α 2 + m2 β 2 2(1 + r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 + r2 )p +pr p0 +p +h=8mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 01+Cs p21 + As p22 + 2Bs p1 p2 + V (r),2где(10)[p0 , p1 ]P = −p2 , [p0 , p2 ]P = p1 , [p1 , p2 ]P = −p0 .В данном простейшем случае пуассонова алгебра gr Diff G (G/K0 ) изоморфна алгебре gr U (so(3)).

В ней существует только один функционально независимый центральный элемент: C1gr = p20 + p21 + p22 .Пространство Q = Hn (H).(1 − r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 − r2 )m1 α2 + m2 β 2 2p+pp̄+p̄ +r 08mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 01+ (Dh p̄1 + Fh p̄2 + 2Eh p̄3 + Ch p̄4 + Ah p̄5 + 2Bh p̄6 ) + V (r).2h=(11)26Мы не приводим здесь соотношений между образующими p̄0 , . . . , p̄10пуассоновой алгебры gr Diff G (Hn (H)S ), аналогичных соотношениям вслучае пространства Pn (H).ЭлементыgrgrC 1 = p̄20 + p̄1 − p̄2 + p̄4 − p̄5 , C 2 = p̄1 p̄2 − p̄23 − p̄9 ,111grC 3 = (p̄1 − p̄2 )(p̄4 − p̄5 ) + (p̄1 + p̄2 )2 − p̄23 + (p̄4 + p̄5 )2 − p̄26 − p̄9 +2441 21 4+ 2p̄10 + p̄0 (p̄1 − p̄2 + p̄4 − p̄5 ) + p̄024лежат в центре алгебры gr Diff G (Hn (H)S ).Пространство Q = H2 (Ca).Выражение для функции Гамильтона имеет вид (11).

Образующиеалгебры gr Diff G (H2 (Ca)S ) суть p̄0 , . . . , p̄9 . Соотношения между данными образующими аналогичны соотношениям в случае пространстваPn (H). ЭлементыgrgrC 1 = p̄20 + p̄1 − p̄2 + p̄4 − p̄5 , C 2 = p̄4 p̄5 − p̄26 − 2p̄9являются центральными.Пространство Q = Hn (C).m1 α 2 + m2 β 2 2(1 − r2 )2 2 (m1 α − m2 β)(1 − r2 )h=p +pr p̄0 +p̄ +8mR2 r2m1 m2 R22m1 m2 R2 01Dh p̄1 + Fh p̄2 + 2Eh p̄3 + Ch p̄24 + Ah p̄25 + 2Bh p̄4 p̄5 + V (r).+2Образующие алгебры gr Diff G (Hn (C)S ) суть p̄0 , . . . , p5 , p̄ .

Соотношения между ними имеют вид1[p̄0 , p̄1 ]P = p̄3 , [p̄0 , p̄2 ]P = p̄3 , [p̄0 , p̄3 ]P = (p̄1 + p̄2 ), [p̄0 , p̄4 ]P = p̄5 ,2[p̄0 , p̄5 ]P = p̄4 , [p̄0 , p̄ ]P = 0, [p̄1 , p̄2 ]P = −2p̄0 p̄3 − 2p̄ p̄4 , [p̄1 , p̄3 ]P =− p̄0 p̄1 − p̄ p̄5 , [p̄1 , p̄4 ]P = −p̄ , [p̄1 , p̄5 ]P = 0, [p̄1 , p̄ ]P = p̄3 p̄5 − p̄1 p̄4 ,[p̄2 , p̄3 ]P = p̄0 p̄2 + p̄ p̄5 , [p̄2 , p̄4 ]P = −p̄ , [p̄2 , p̄5 ]P = 0, [p̄2 , p̄ ]P = p̄2 p̄4 −1− p̄3 p̄5 , [p̄3 , p̄4 ]P = 0, [p̄3 , p̄5 ]P = p̄ , [p̄3 , p̄ ]P = (p̄2 − p̄1 )p̄5 ,21[p̄4 , p̄5 ]P = −p̄0 , [p̄4 , p̄ ]P = (p̄1 + p̄2 ), [p̄5 , p̄ ]P = p̄3 .227Дополнительное соотношение при n = 2 имеет вид p̄1 p̄2 − p̄23 − p̄2 = 0.ЭлементыgrgrC 1 = p̄20 + p̄1 − p̄2 + p̄24 − p̄25 , C 2 = 2((p̄1 + p̄2 )p̄5 − 2p̄3 p̄4 + 2p̄0 p̄ ),grC 3 = p̄1 p̄2 − p̄23 − p̄2лежат в центре алгебры gr Diff G (Hn (H)S ).

Характеристики

Список файлов диссертации