Диссертация (1098006), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пограничный слой является не чем иным, как скинслоем, поэтому сингулярный асимптотический ряд описывает изменение поля приудалении от границы. Регулярный асимптотический ряд мог бы описывать “глубокуюдиффузию” поля, по сравнению со скин-слоем. Однако в нашей задаче мы не встретимэтот экзотический случай, и поля будут экспоненциально убывать при удалении отграницы. Правда, гиротропность среды приведет к некоторой особенности структурыскин-слоя, а именно к двух-масштабности: падение поля будет описываться суммой двухэкспонент с различными показателями.

Причем, показатель одной экспоненты будетзависеть от магнитных свойств среды, а показатель другой - нет. Скин-слой изотропныхсред всегда имеет один масштаб.Методы асимптотических разложений были развиты для решения задач в таких областяхкакпередачатеплоты,диффузия,оптика,однакодлязадачмикроволновойэлектродинамики этот метод впервые был развит в наших работах.3.3.1 Высокочастотный пределЭтот случай соответствует случаю сильного скин-эффекта и в качестве малогопараметра используется    a  1 . Обычно приближение сильного скин-эффектасоответствует замене реальной геометрии на полуплоскость, и такой подходиспользовался в ряде работ для вычисления отдельных компонент поверхностногоимпеданса. Однако возникает неопределенность относительно области примененияэтого приближения в магнитных проводниках.

Дело в том, что можно выделить двахарактерныхпараметра,определяющихглубину проникновения:магнитныйинемагнитный. Само по себе условие  a  1 оказывается очень сильным и требуетдостаточно высоких частот, тогда как магнитная глубина проникновения уменьшается счастотой гораздо быстрее. Например, для аморфных проводов (   1016 s-1), имеющихдиаметр порядка 30 m, становится сравнима с радиусом в ГГц области, азначительный рост импеданса с частотой наблюдается на МГц частотах. Это указываетна то, что истинный параметр разложения включает магнитную глубину проникновения.Между тем использование решения для плоской геометрии соответствует нулевомучлену в разложении по параметру , и необходимо построить ряд по этому параметру и100определить следующие члены разложения для выяснения условий применимости.Умножая уравнение (3.20) на  2 , получаем2 x 22 x 2 2 hx2 2 x hx 12 x 2   2 h  32 x 2 hz(3.22)2 hzh  2 x z   22 x 2 hz  32 x 2 h2xxЗдесь i2  2 j i .

Уравнения (3.22) имеют малый параметр при старшей производной иотносятся к классу сингулярно возмущенных уравнений. Следуя общему методусингулярных возмущений, будем искать решения системы (3.22) в виде двухасимптотических рядов (регулярного и сингулярного) :h x,  hz x,  n R n x  n S n  ,(3.23)n Rz n x   n S z n (3.24)n0n0n0n0Здесь Rn , Rz n и S n , S z n - члены регулярных и сингулярных рядов, соответственно;  x  1 является«быстройпеременной».Уравнения(3.22),записанныеотносительно  , приобретают вид:  12 2 h  12 22hz 2h 0  h ,h   ,   1h   1 hz  22   12 hz  32   12 h 12   12   2 h  32   12 hz(3.25)hz 0  hexhz   , 1/     0Подставим регулярные ряды в систему (3.22), а сингулярные в систему (3.25), и соберемчлены при одинаковых степенях n параметра  .

Для нулевого ( n  0 ) регулярногоприближения получим:101 22 Rz0 x   32 R 0 x (3.26)12 R 0 x   32 Rz0 x Отсюда получаем, что Rz 0  R0  0 . Аналогично (3.26), легко показать, что всерегулярные члены обоих асимптотических рядов (3.23), (3.24) будут тождественноравны нулю. Таким образом, поле будет диффундировать вглубь проволоки толькоблагодаря сингулярным членам асимптотических рядов, которые (в силу общей теории)имеют экспоненциальную оценку, т.е.

налицо скин-эффект.Для нулевого сингулярного приближения получим уравнения: 2 S 022 S z0Систему2 12 S 0  32 S z0 ,S  0 0  h(3.27)  22 S z 0  32 S 0 ,(3.27)необходимоS z 0 0  hexдополнитьтребованием,позволяющимвыделитьединственное физическое решение:lim S x  1   lim S   00x 1(3.28) Решение связанной системы (3.27) ищется в виде C y exp  , где y =  y1 , y 2  собственныйвектор, C  произвольная постоянная и параметр  удовлетворяет характеристическомууравнению 4   2 12   22  12 22  34  0Полагая i2  2 j i , где  i определяются (3.21), получим1  1  j ,  2  1  j  ~~  1  4~(3.29)102В (3.29) должны рассматриваться только положительные собственные значения всоответствие с условием (3.28), так как в этом случае exp   ограничена для любого  0 .

Окончательно, общее решение (3.27) представляется как(1)( 2) h  (1  j )a(1)  y1 ( 2 )  y1    C  (1)  exp x  1  C  ( 2)  exp  (1  j )a ~ x  1  hz  y2    y2 (3.30)Полученное решение ясно демонстрирует существование двух характерных длин:  и m   / ~ . Первый параметр  соответствует немагнитному проводнику и определяетраспределение электромагнитного поля с локальной поляризацией, для котороймагнитное поле в волне параллельно постоянной намагниченности M 0 . Второйпараметр m - магнитная глубина проникновения, и соответствует моде с hперпендикулярной M 0 .

В рассматриваемом случае, вектор M 0 имеет геликоидальноенаправление, что приводит к существованию обоих поляризаций и распределению поляс двумя характерными длинами.После определяя постоянных C (1) и C ( 2) из граничных условий, задача внулевом приближения оказывается решенной. В результате получим: e1 ( 1  12 )  e 2 ( 1   22 )  3 (e 2  e1 ) S z 0  hz h   2 2 12   2212S 0  (e 2  e1 )  e1 (  2  12 )  e 2 (  2   22 )  hz  3 2h 212   22 1   2(3.31)Выражения для электрических полей на поверхности получим из второй пары уравнений(3.3):e   Sz4    a    0cez  S4    a c(3.32) 0Подставляя в (3.32) выражения (3.31) и учитывая определение матрицы поверхностногоимпеданса, найдем выражения для компонент матрицы поверхностного импеданса сточностью до порядка  / a  :0 z zˆ    z ~ cos 2    sin 2   z  c1  j      4    ~  1 sin  cos  ~  1 sin  cos  22~cos     sin  (3.33)103Далее строится решение в первом приближении по параметру  .

Это позволиткорректно показать, что условие m / a  1 действительно определяет областьприменения уравнения (3.33). Наличие следующего члена разложения будет такжеважно для построения решения в широкой области частот.В первом приближении по  уравнения для S z1 и S 1 имеют вид: 2 S z1 2 2 S 12  22 S z1  32 S 1  12 S 1  32 S z1  S z0 S 0,S z1 0  0(3.34),S 1 0  0Поскольку функции S z 0  и S 0  представляются в экспоненциальной форме,частное решение (3.34) записывается как:~S z1  (a1  b1 )e 1  (a2  b2 )e  2 (3.35)~S 1  (c1  d1 )e 1  (c2  d 2 )e  2 Общее решение однородной системы уравнений (3.34) ищется в виде C y exp  , гдепостоянные находятся из нулевых граничных условий в системе (3.34).

Получающиесяв общем виде формулы, выраженные через 1, 2и1, 2,3 , оказываются весьмагромоздкими, но после подстановки модельных значений 1, 2 и 1, 2,3 выражениясущественно упрощаются. Приведем лишь окончательный результат для производныхот членов первого порядка асимптотического разложения, взятых в точке   0 , которыенужны для определения поверхностных значений компонент электрического поля, иследовательно, импедансной матрицы. В рамках рассматриваемой модели, получаютсяочень простые выражения:S z11  hz ,   02S 11h   02Тогда, член первого порядка для матрицы импеданса имеет вид:(3.36)104 (1  j )c (1  j )    41  4     a  0(1  j ) 4 0(3.37)Из сравнения (3.33) и (3.37) можно получить, что отношение ˆ1 / ˆ 0 оказывается порядка( / a) / ~ , или  m / a .

Следовательно, реальный параметр в высокочастотномразложении для импеданса является  m / a . Это обстоятельство позволяет понять,почему высокочастотное приближение хорошо работает в широком диапазоне частот иполей, если ~ оказывается достаточно большим.3.3.2 Низкочастотный пределСледующая задача – построение низкочастотного приближения ( a /   1 ). Наосновании полученного результата можно сразу предположить, что параметрразложения должен включать магнитный скин-слой. Однако при формальном подходебудет сложно осуществить связку двух пределов.

Низкочастотное приближение строитсятак, что его можно будет использовать при a /  m  1 . Решение системы уравнений(3.20) ищется в видеJ k a x  ~h  h 1 1 h x J1 k1a hz  hzJ 0 k2 a x  ~ hz x J 0 k2 a (3.38)Поиск решения в виде (3.38) продиктован следующими соображениями. Можнопопытаться учесть связность уравнений асимптотически, тогда «большая часть решениябудет угадана» - это решение системы уравнений (3.20) без правой части, но с нужнымиграничными условиями. Такое представление, как будет показано дальше, позволяетполучить практически монотонный переход с одной асимптотики на другую.

Этот методво многом напоминает метод суммирования рядов (особенно медленно сходящихся),когда в основном ряде угадывается точно суммируемая часть, а оставшийся ряд,полученный вычитанием точно суммируемого, будет некоторой быстросходящейсядобавкой.Связанность уравнений (3.20) определяется функцияминаходятся из уравнений:~~h и hz , которые105~2~h 2  2 x 2 J 0  2  x  2 2 2 ~~2  hxx 12  2 x 2  1 h  hex 3  3  x hzxJ 0  2 x2x~ 2  2 x 2 J1 1  x  2 2 2 ~ hz~x  22  2 x 2 hz  h 3 3  x hxJ1 1 x22~2  hz(3.39)удовлетворяющих нулевым граничным условиям:~~h 1  0 hz 1  0~~h x    hz x   Здесь мы будем использовать то же самое обозначение для малого параметра   a (хотя он и является величиной, обратной к тому, что использовалось в предыдущемразделе).

Характеристики

Список файлов диссертации