Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Определение класса { F2 ,ϕ} претерпевает изменения.Определение. ФункцияF (u ) = F ( u ,0,0,0 ){F2 ,ϕ} , если для любых значенийпринадлежит классуs и t , взятых из промежутка [0, ϕ − u0 ] ,выполняются два условия:1)неравенство (22), либо (23);2)неравенство()F u0 + s + t − 2 st − F ( u0 + s ) − F ( u0 + t ) −−s−1/ 2 −3 / 2t(⎡ t⎤⎢ s ∫ F ( u0 + u ) du − stF ( u0 + t ) − tF ( u0 + s ) ⎥ ≤ 0 ,⎣ 0⎦)F u0 + s + t − 2 st − C − F ( u0 + s ) − F ( u0 + t ) −либо−s−1/ 2 −3 / 2t⎡ t⎤⎢ s ∫ F ( u0 + u ) du − stF ( u0 + t ) − tF ( u0 + s ) ⎥ < 0 .⎣ 0⎦Методами, аналогичными эллиптическому случаю, доказываетсяутверждение 4.В восьмом параграфе второй главы рассматривается случайнемонотонного поведения функции F ( u ,0,0,0 ) на промежутке от u0 (0,0)до ϕ (0,0) .
Доказывается утверждение 4, в котором под условием VIпонимается условие (C2). Для этого область R 2+ разбивается на подобластиΩ0 ,Ω1 иΩ 2 , граница которых – число30ρопределяется придоказательстве. В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьерызадачи (39). Верхний кусочно-гладкий барьер имеет вид⎧ re −κ (ξ +τ ) , если (ξ ,τ ) ∈ Ω0⎪Z + (ξ ,τ ) = ⎨ ch+ (τ )e −κξ , если (ξ ,τ ) ∈ Ω1 ,−κτ⎪⎩ch+ (ξ )e , если (ξ ,τ ) ∈ Ω 20,8 τ 3 0,9 τ 2где c > 0, κ > 0 - некоторые постоянные, h+ (τ ) =−+τ .ρ3ρ 2Нижний кусочно-гладкий барьер имеет вид⎧ − re −κ (ξ +τ ) , если (ξ ,τ ) ∈ Ω 0⎪Z − (ξ ,τ ) = ⎨ − h− (τ )e −κξ , если (ξ ,τ ) ∈ Ω1 ,⎪−h (ξ )e −κτ , если (ξ ,τ ) ∈ Ω2⎩ −где κ > 0 - некоторая постоянная, функция1⎡⎣ ρ 3 + (τ − ρ )3 ⎤⎦ − aτ 2 (τ − ρ ) 2 + h0 ,3ρh− (τ ) =a ≥ 0, h0 > 0 - некоторые постоянные.
Процесс сглаживания барьеровпроводится методами, рассмотренными выше.В конце второй главы делается вывод, что в качестве условия VIможно взять следующее.Условие VI.Для угловых точек (0,0) и (1,0) прямоугольника Ωвыполнено хотя бы одно из трех условий:1)условие типа (A) и одно из условий типа (B);2)условие типа (C1) и условие принадлежности функции F какомулибо классу типа {F ,ϕ} .3)условие типа (C2).В третьей главе диссертации рассматриваются другие эллиптическиеи параболические задачи.В первом параграфе третьей главы рассматривается эллиптическоеуравнение31ε 2 Δu − ε α A( x, y )∂u= F (u , x, y, ε )∂yв прямоугольнике Ω = {( x, y ) | 0 < x < a, 0 < y < b} с краевыми условиямипервого рода на границе ∂Ω : u ( x, y, ε ) = ϕ ( x, y ) . Здесь α - положительныйдействительный параметр.
Если α ≥ 1, то погранслойная структурарешения – такая же, как без слагаемого ε α A( x, y )∂u. Если 0 < α < 1 , то∂yможно построить только 0-е и 1-е приближения решения задачи. Этосвязано с тем, что задачи для определения угловых погранфункций(1)P k (ξ ,η ) содержат производные∂ 2 (1)P k −2 (ξ ,η ) , которые не ограничены в∂η 2окрестности угловой точки. Это не позволяет продолжить итерационный(1)процесс определения функций P k (ξ ,η ) дальше первого шага.ВовторомпараграфетретьейглавывпрямоугольникеΩ = {( x, t ) | 0 < x < 1, 0 < t < T } рассматривается параболическая задача⎛ 2 ∂ 2u ∂u ⎞ε ⎜a− ⎟ = f (u , v, x, t , ε ) ,2x∂∂t ⎠⎝2∂ 2v ∂vb− = g (u , v, x, t , ε ) ,∂x 2 ∂t2u ( x,0, ε ) = φ ( x), u (0, t , ε ) = μ1 (t ), u (1, t , ε ) = μ 2 (t ),v( x,0, ε ) = ψ ( x), v(0, t , ε ) = ν 1 (t ), v(1, t , ε ) = ν 2 (t ).Строится только 0-е и 1-е приближения решения задачи. Это связанос тем, что в задаче для определения функции v2 ( x, t ) начальное играничные условия оказываются несогласованными в угловых точках (0,0)и (1,0).
Вследствие этого функция v2 ( x, t ) будет негладкой, а производные∂ 2v2∂v2и- неограниченными в окрестностях этих точек.∂x 2∂tВ четвертой главе диссертации рассмотрены некоторые приложения.32В первом параграфе четвертой главы рассмотрены уравненияхимической кинетики и другие приложения.Во втором параграфе четвертой главы строится конкретный примеркраевой задачи типа (1), (2) в случае немонотонного поведения функцииF (u ) :ε 2 Δu = −u (u − 2)в квадрате Ω = {( x, y ) 0 < x < 1, 0 < y < 1} ,u ( x, y, ε ) = 1,075на границе ∂Ω прямоугольника Ω . Граничное значение φ = 1,075находится правее вершины параболы F (u ) = −u (u − 2) . Решение задачиищется в виде (3). Для регулярной и погранслойной частей асимптотикивыписываются члены 0-го и 1-го порядков. Именно, u0 ( x, y ) = u1 ( x, y ) = 0 ,(1)(2)(3)(4)Π 0 ( x,η ) = ω (η ) , Π 0 (ξ , y ) = ω (ξ ) , Π 0 ( x,η* ) = ω (η* ) , Π 0 (ξ* , y ) = ω (ξ* ) , гдеω (η ) =(⎡1 + θ exp ( −⎣)2η ) ⎤⎦(2)(3)12θ exp − 2η(1)2,θ=3 − 1,925,3 + 1,925(4)Π1 ( x,η ) = Π1 (ξ , y ) = Π1 ( x,η* ) = Π1 (ξ* , y ) = 0 .(1)Главный член P0 = P 0 (ξ ,η ) угловой части асимптотики определяетсяиз задачиОбластьΔP0 = − P02 − 2 (ω (η ) + ω (ξ ) + P0 ) P0 − 2ω (η )ω (ξ ) ,(46a)P0 (0,η ) = −ω (η ), P0 (ξ ,0) = −ω (ξ ) ,(46b)P0 (ξ ,η ) → 0 при ξ + η → ∞ ,(46c)R 2+ = {(ξ ,η ) ξ > 0, η > 0}Ω0 = {(ξ ,η ) ξ > ρ , η > ρ } ,разбиваетсянаΩ1 = {(ξ ,η ) ξ > η , 0 < η < ρ }Ω 2 = {(ξ ,η ) 0 < ξ < ρ , η > ξ } ,где33ρ=частии2ln t = 1,065…2(t = (3 − σ +))9 − 6σ θσ −1 , σ = 0,14 .
Решение задачи (46) находитсямежду барьерами Z ± (ξ ,η ) :⎧ 0,44e −0,15(ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈Ω0⎪Z + (ξ ,η ) = ⎨1,32 ρ −2 h+ (η )e −0,15ξ , если (ξ ,η ) ∈Ω1 ,⎪1,32 ρ −2 h (ξ )e −0,15η , если (ξ ,η ) ∈ Ω2+⎩гдеh+ (η ) =1 3η − η 2 + ρη , и3ρ⎧ −re −0,15(ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈Ω0⎪Z − (ξ ,η ) = ⎨ −h− (η )e −0,15ξ , если (ξ ,η ) ∈Ω1 ,⎪−h (ξ )e −0,15η , если (ξ ,η ) ∈Ω2⎩ −гдеh− (η ) =1 3η − η 2 + ρη + 6 ,3ρУгловые погранфункцииr = h− ( ρ )e0,15 ρ = 7, 483…(2)P0,(3)P0иоценки.
Для определения погранфункций(4)P0имеют аналогичные(i )P1 , i = 1,2,3,4,получаютсялинейные задачи.В заключении суммируются основные результаты.Автор выражает глубокую признательность профессору БутузовуВалентину Федоровичу за постоянное внимание к работе и плодотворныеобсуждения.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Poincare H.
Acta Math., 8 1886, 295 – 344.2. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbeneegung bei sehr kleiner Reibung.-Verhandl d.III, Inter Mathem. Kongress, Heidelberg, 1904, 71 – 75.343. Schlesinger L., Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearerDifferential systeme als Funktionen eines Parameters, Math. Ann., 63(1907), 277–3004. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain lineardifferential equations containing a parameter.
– Trans. Amer. Math. Soc.,1908, v. 9, 219 – 231.5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенныхдифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1969. – 464 с.6. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравненийот малого параметра // Матем. сб. 1948, 22 (64), № 2. С. 193 - 204.7. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащихпараметры // Матем. сб.
1950, 27 (69), № 1. С. 147 - 156.8. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащиемалые параметры // Матем. сб. 1952, 31 (73), № 3. С. 575 - 586.9. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничныйслой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// УМН. 1957. Т.12, № 5. С. 3 - 122.10. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического методаЛюстерника - Вишика // УМН. 1970. Т.25, № 4. С.
121 - 156.11. ВасильеваА.Б.Асимптотикарешенийнекоторыхзадачдляобыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малымпараметром при старшей производной // УМН. 1963. Т.18, № 3. С. 15 86.12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решенийсингулярно возмущенных уравнений.
- М.: Наука, 1973.13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теориисингулярных возмущений. - М.: Высшая школа, 1990.14. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.3515. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы втеории нелинейных колебаний.
- М.: Наука, 1974.16. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейныхколебательных систем. - М.: Изд-во МГУ, 1971.17. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теориинелинейных колебаний.18. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. - М.:Наука, 1977.19. ФедорюкМ.В.Асимптотическиеметодыдлялинейныхдифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983.20. ПонтрягинЛ.С.Асимптотическоеповедениерешенийсистемдифференциальных уравнений с малым параметром при высшихпроизводных // Изв. АН СССР, сер. матем. 21, № 5 (1957), С. 605 - 626.21. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малымпараметром и релаксационные колебания. - М.: Наука, 1975.22. Ломов С.А.
Введение в общую теорию сингулярных возмущений. - М.:Наука, 1981.23. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решенийкраевых задач. - М.: Наука, 1989.24. Fife P.C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters// Arch. Rational Mech. Anal. 52 (1973). P. 205 - 232.25. Бутузов В.Ф. Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук.26. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторыхсингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц.уравнения. 1995. Т.31.
№ 4. С. 719-723.27. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторыхклассов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутреннимислоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1132–1139.3628. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York: Plenum,1992.29. Amann H.
On the Existence of Positive Solutions of Nonlinear EllipticBoundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol.21, № 2. P.125 - 146.30. Amann H. // In Nonlinear Analysis /Ed. by L. Cesari et al. – New York,1978. P. 1 - 29.31. Sattinger D.H. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and ParabolicBoundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J.
1972. V. 21. № 11. P.979 - 1000.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ32. Денисов И.В. Асимптотическое решение иррегулярно сингулярногоуравнения в банаховом пространстве // Успехи математических наук.1982. Т.37, № 5. С.181 - 182.33. Денисов И.В. Дифференциальные уравнения с конечномероморфнымоператорным коэффициентом в банаховом пространстве // Доклады АНСССР. 1985.
Т.282, № 6. С. 1289 - 1293.34. Денисов И.В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптическиеуравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995.Т.35. №11. С. 1666 - 1678.35. Денисов И.В. Первая краевая задача для квазилинейного сингулярновозмущенного параболического уравнения в прямоугольнике // Ж.вычисл. матем. и матем. физ. 1996.
Т.36. №10. С. 56 - 72.36. ДенисовИ.В. Оценка остаточного члена в асимптотике решениякраевой задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №12. С.64 - 67.3737. Денисов И.В. Первая краевая задача для линейного параболическогоуравнения в пространстве R n+1 // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34,№12. С.
1616 - 1623.38. Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой частиасимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптическогоуравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999.Т.39. №5. С. 779 - 791.39. ДенисовИ.В.Угловойпогранслойвнелинейныхсингулярновозмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем.физ. 2001. Т.41. №3. С.
390 - 406.40. Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярновозмущенных краевых задачах с нелинейностями // Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 2004. Т.44, №9. С. 1674 - 1692.41. ДенисовИ.В.Угловойпогранслойвнелинейныхсингулярновозмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.2008. Т.48. № 1. С.
62 - 79.38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
