Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьерызадачи (13). Верхний кусочно-гладкий барьер имеет вид⎧ re −κ (ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈ Ω0⎪Z + (ξ ,η ) = ⎨ ch+ (η )e −κξ , если (ξ ,η ) ∈ Ω1 ,⎪ch (ξ )e −κη , если (ξ ,η ) ∈ Ω2⎩ +23где c > 0, κ > 0 - некоторые постоянные, функцияh+ (η ) =1⎡⎣ ρ 3 + (η − ρ )3 ⎤⎦ − aη 2 (η − ρ ) 2 ,3ρa ≥ 0 - некоторая постоянная.

Нижний кусочно-гладкий барьер имеет вид⎧ − re −κ (ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈ Ω0⎪Z − (ξ ,η ) = ⎨ − h− (η )e −κξ , если (ξ ,η ) ∈ Ω1 ,⎪− h (ξ )e −κη , если (ξ ,η ) ∈ Ω2⎩ −где κ > 0 - некоторая постоянная, функцияh− (η ) =1⎡⎣ ρ 3 + (η − ρ )3 ⎤⎦ − aη 2 (η − ρ ) 2 + h0 ,3ρa ≥ 0, h0 > 0 - некоторые постоянные. Процесс сглаживания барьеровпроводится методами, рассмотренными выше.В конце первой главы делается вывод, что в качестве условия Vможно взять следующее.Условие V. ДлякаждойугловойточкипрямоугольникаΩвыполнено хотя бы одно из трех условий:1)условие типа (A) и одно из условий типа (B);2)условие типа (C1) и условие принадлежности функции F какомулибо классу типа {F ,ϕ} .3)условие типа (C2).Вторая глава диссертации посвящена параболической задаче⎡∂ 2u ∂u ⎤ε ⎢ a( x, t ) 2 − ⎥ = F (u, x, t , ε )∂x∂t ⎦⎣2(26)в прямоугольнике Ω = {( x, t ) | 0 < x < 1, 0 < t < T } с начальным условиемu ( x,0, ε ) = ϕ ( x,0), 0 ≤ x ≤ 1 ,(27)и краевыми условиями первого родаu (0, t , ε ) = ϕ (0, t ),u (1, t , ε ) = ϕ (1, t ),240≤t ≤T .(28)В первом параграфе второй главы проводится постановка задачи.

Еёрешение ищется в виде ряда по степеням ε , состоящего из следующихчастей:u ( x, t , ε ) = u + ( Π + Q + Q * ) + ( P + P * ) .(29)Здесь u - регулярная часть асимптотики, Π , Q и Q* - пограничныефункции,играющиерольвблизисторонпрямоугольникаΩсоответственно t = 0 , x = 0 и x = 1 , P и P* - угловые пограничныефункции,играющиерольвблизивершинпрямоугольникаΩсоответственно (0,0) и (1,0) . Формулируются условия, достаточные дляполучения регулярной и погранслойной частей асимптотики решения.Условие I.Функцииa ( x, t ) > 0иF (u , x, t , ε )являютсядостаточно гладкими, а функция и ϕ ( x, t ) - непрерывной.Условие II.F (u , x, t ,0) = 0Уравнениевзамкнутомпрямоугольнике Ω имеет решение u = u0 ( x, t ) .Условие III.Fu' (u0 ( x, t ), x, t ,0) > 0Производнаявзамкнутомпрямоугольнике Ω .Условие IV.Начальная задачаdΠ0= − F (u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0), Π 0 ( x,0) = ϕ ( x,0) − u0 ( x,0) ,dτ(30)с параметром x ∈ [0,1] имеет решение Π 0 ( x,τ ) , τ ≥ 0 , и удовлетворяетусловию Π 0 ( x, ∞) = 0 .Условие V.Для системdz1dz= z2 , a(i, t ) 2 = F (u0 (i, t ) + z1 , i, t ,0),dydyгде i = 0 , или 1, а t играет роль параметра, прямые z1 = ϕ (i, t ) − u0 (i, t )пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя ( z1 , z2 ) = (0,0) при t → ∞ .25Во втором параграфе второй главы проводится расщеплениеуравнения (26) и строится регулярная часть асимптотики.

Для этогофункция F (u , x, t , ε ) заменяется выражением, аналогичным (29):F (u , x, t , ε ) = F + ( Π F + QF + Q* F ) + ( PF + P* F ) .(31)Выражения (29) и (31) подставляются в уравнение (26), котороеразделяется на части: регулярную, погранслойные и угловые. Регулярнаячасть асимптотики строится в виде ряда∞u ( x, t , ε ) = ∑ ε k u k ( x, t ) .(32)k =0В третьем параграфе второй главы строятся погранслойные частиасимптотики. Для этого вводятся растянутые переменные1− xxt, τ = 2.ξ = , ξ* =εεεПогранфункциистроятсяввидерядовпостепеням∞∞∞k =0k =0k =0ε:Π ( x,τ , ε ) = ∑ ε k Π k ( x,τ ) , Q(ξ , t , ε ) = ∑ ε k Qk (ξ , t ) , Q* (ξ* , t , ε ) = ∑ ε k Qk* (ξ* , t ) .Задача для определения функции Π 0 ( x,τ ) имеет вид−∂Π 0= F ( u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0 ) ,∂τΠ 0 ( x,0) = ϕ ( x,0) − u0 ( x,0)(33)и в силу условий III, IV имеет монотонное решение, для которогосправедлива экспоненциальная оценка видаΠ 0 ( x,τ ) ≤ Ce −κτ ,(34)где C и κ - некоторые положительные постоянные.

Последующиефункции Π k ( x,τ ) , k ≥ 1 , определяются как решения линейных задач−∂Π k= Fu' ( u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0 ) Π k + π k ,∂τΠ k ( x,0) = −uk ( x,0)и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (34).Задача для определения функции Q0 (ξ , t ) имеет вид26(35)∂ 2Q0a (0, t ) 2 = F ( u0 (0, t ) + Q0 ,0, t ,0 ) ,∂ξ(36)Q0 (0, t ) = ϕ (0, t ) − u0 (0, t ), Q0 (∞, t ) = 0 ,(37)и в силу условий III, V имеет монотонное решение, для которогосправедлива экспоненциальная оценка видаQ0 (ξ , t ) ≤ Ce −κξ ,(38)где C и κ - некоторые положительные постоянные. Последующиефункции Qk (ξ , t ) , k ≥ 1 , определяются как решения линейных задачa (0, t )∂ 2Qk= Fu' ( u0 (0, t ) + Q0 ,0, t ,0 ) Qk + qk ,2∂ξQk (0, t ) = −uk (0, t ), Qk (∞, t ) = 0и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (38). Аналогичноопределяются погранфункции Qk* (ξ* , t ) с оценками вида Qk* (ξ* , t ) ≤ Ce −κξ* .Таким образом, погранслойная часть асимптотики определяетсяполностью.В четвертом параграфе второй главы ставятся задачи для угловойчасти асимптотики.

Функции P и P* ищутся в виде рядов по степеням ε :∞P (ξ ,τ , ε ) = ∑ ε Pk (ξ ,τ ) ,∞P (ξ* ,τ , ε ) = ∑ ε k Pk* (ξ* ,τ ) .k*k =0k =0В угловой точке (0,0) задача для определения главного членаP0 (ξ ,τ ) угловой части асимптотики ставится в области растянутыхпеременных ξ > 0 , τ > 0 , нелинейная и имеет вид∂ 2 P0 ∂P0a (0,0) 2 −= F ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ) + Q0 (ξ ,0) + P0 (ξ ,τ ),0,0,0 ) −∂ξ∂τ− F ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ),0,0,0 ) − F ( u0 (0,0) + Q0 (ξ ,0),0,0,0 ) ,P0 (0,τ ) = −Π 0 (0,τ ) ,P0 (ξ ,τ ) → 0P0 (ξ ,0) = −Q0 (ξ ,0) ,при27ξ +τ → ∞ .(39a)(39b)(39c)Для функций Pk (ξ ,τ ), k ≥ 1, в области ξ > 0, τ > 0 получаютсялинейные задачи∂ 2 Pk ∂Pka (0,0) 2 −= Fu' ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ) + Q0 (ξ ,0) + P0 (ξ ,τ ),0,0,0 ) Pk + hk ,∂ξ∂τ(40a)Pk (0,τ ) = −Π k (0,τ ) ,Pk (ξ ,0) = −Qk (ξ ,0) ,Pk (ξ ,τ ) → 0при(40b)ξ +τ → ∞ ,(40c)где неоднородности удовлетворяют экспоненциальным оценкам видаhk (ξ ,τ ) ≤ Ce −κ (ξ +τ ) ,(41)если подобным оценкам удовлетворяют функции P0 (ξ ,τ ) ,…, Pk −1 (ξ ,τ ) .ЗдесьCиκ-некоторыеположительныечисла.Задачидляпогранфункций Pk* (ξ* ,τ ), k ≥ 0, ставятся аналогично.Как и в эллиптическом случае нас интересует установлениедополнительного теперь уже условия VI, при котором можно доказатьследующие утверждения.Утверждение 4.

Если выполнены условия I – VI, то задача (39)имеет решение P0 (ξ ,τ ) , удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида(41).Утверждение 5. Если выполнены условия I – VI, то задачи (40)имеют решения Pk (ξ ,τ ) , удовлетворяющие экспоненциальным оценкамвида (41).Утверждение 6. Если выполнены условия I – VI, то для достаточномалых ε задача (26) - (28) имеет решение u ( x, t , ε ) , для которого ряд∞∑εk =0являетсяk⎡⎣uk ( x, t ) + Π k ( x,τ ) + Qk (ξ , t ) + Qk* (ξ* , t ) + Pk (ξ ,τ ) + Pk* (ξ* ,τ ) ⎤⎦асимптотическимразложениемприε →0впрямоугольнике Ω , то есть для всех точек ( x, t ) ∈Ω максимум28(42)замкнутомmax u ( x, t , ε ) − U n ( x, t , ε ) ≤ cε n+1 ,где U n ( x, t , ε )-n -я частичная сумма ряда (42), c- некотораяположительная постоянная.В отличие от эллиптического случая для параболических задачотсутствуетсимметрияотносительновхождениянезависимыхпеременных, поэтому требуются отдельные, хотя и аналогичные,исследования.В пятом параграфе второй главы находится угловая частьасимптотики при дополнительных условиях типа (A) и (B).

Есливыполнены условия I – V, (A) и (B1), то для доказательства утверждения 5строятся барьеры видаZ ± (ξ ,τ ) = −Π k (0,τ )e −κξ − Qk (ξ ,0)e −κτ − uk (0,0)e−κ (ξ +τ ) ± re−κ (ξ +τ ) ,(43)где r и κ - некоторые положительные числа.Если условие (B1) не выполняется, то ставится условие типа (B2).

Сучётом знака производной Fu' ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ) + Q0 (ξ ,0) + P0 (ξ ,τ ),0,0,0 )область R 2+ = {(ξ ,ι ) ξ > 0, τ > 0} разбивается на части Ω0 , Ω1 и Ω 2 . Вкаждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (40). Вподобласти Ω0 на роль барьеров подходят функции вида (43). Вподобласти Ω1 барьеры имеют видZ ± (ξ ,τ ) = −Π k (0,τ )e −κξ − Qk (ξ ,0)e −κτ − uk (0,0)e−κ (ξ +τ ) ± h(τ )e−κξ ,гдеh(τ ) = λ sinδπ (τ + ρ1 − ρ ), τ ∈ [0, ρ ],2 ρ1δ-некоторое(44)числоизпромежутка (0,1) . В подобласти Ω 2 барьеры имеют видZ ± (ξ ,τ ) = −Π k (0,τ )e −κξ − Qk (ξ ,0)e −κτ − uk (0,0)e−κ (ξ +τ ) ± h(ξ )e−κτ .Далеебарьеровипроводитсясглаживаниедоказываетсяпостроенныхсуществованиеэкспоненциальной оценкой вида (41).29решения(45)кусочно-гладкихзадачи(40)сВ шестом параграфе второй главы доказывается утверждение 6, еслив качестве дополнительного условия VI принято следующее.Условие VI1.Длякаждойугловойточки(0,0)и(1,0)прямоугольника Ω выполнено условие типа (A) и одно из условий типа(B).В седьмом параграфе второй главы рассматривается случаймонотонного поведения функции F ( u ,0,0,0 ) на промежутке от u0 (0,0) доϕ (0,0) .

Характеристики

Список файлов диссертации