Главная » Просмотр файлов » Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными

Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929), страница 4

Файл №1097929 Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными) 4 страницаУгловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929) страница 42019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьерызадачи (13). Верхний кусочно-гладкий барьер имеет вид⎧ re −κ (ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈ Ω0⎪Z + (ξ ,η ) = ⎨ ch+ (η )e −κξ , если (ξ ,η ) ∈ Ω1 ,⎪ch (ξ )e −κη , если (ξ ,η ) ∈ Ω2⎩ +23где c > 0, κ > 0 - некоторые постоянные, функцияh+ (η ) =1⎡⎣ ρ 3 + (η − ρ )3 ⎤⎦ − aη 2 (η − ρ ) 2 ,3ρa ≥ 0 - некоторая постоянная.

Нижний кусочно-гладкий барьер имеет вид⎧ − re −κ (ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈ Ω0⎪Z − (ξ ,η ) = ⎨ − h− (η )e −κξ , если (ξ ,η ) ∈ Ω1 ,⎪− h (ξ )e −κη , если (ξ ,η ) ∈ Ω2⎩ −где κ > 0 - некоторая постоянная, функцияh− (η ) =1⎡⎣ ρ 3 + (η − ρ )3 ⎤⎦ − aη 2 (η − ρ ) 2 + h0 ,3ρa ≥ 0, h0 > 0 - некоторые постоянные. Процесс сглаживания барьеровпроводится методами, рассмотренными выше.В конце первой главы делается вывод, что в качестве условия Vможно взять следующее.Условие V. ДлякаждойугловойточкипрямоугольникаΩвыполнено хотя бы одно из трех условий:1)условие типа (A) и одно из условий типа (B);2)условие типа (C1) и условие принадлежности функции F какомулибо классу типа {F ,ϕ} .3)условие типа (C2).Вторая глава диссертации посвящена параболической задаче⎡∂ 2u ∂u ⎤ε ⎢ a( x, t ) 2 − ⎥ = F (u, x, t , ε )∂x∂t ⎦⎣2(26)в прямоугольнике Ω = {( x, t ) | 0 < x < 1, 0 < t < T } с начальным условиемu ( x,0, ε ) = ϕ ( x,0), 0 ≤ x ≤ 1 ,(27)и краевыми условиями первого родаu (0, t , ε ) = ϕ (0, t ),u (1, t , ε ) = ϕ (1, t ),240≤t ≤T .(28)В первом параграфе второй главы проводится постановка задачи.

Еёрешение ищется в виде ряда по степеням ε , состоящего из следующихчастей:u ( x, t , ε ) = u + ( Π + Q + Q * ) + ( P + P * ) .(29)Здесь u - регулярная часть асимптотики, Π , Q и Q* - пограничныефункции,играющиерольвблизисторонпрямоугольникаΩсоответственно t = 0 , x = 0 и x = 1 , P и P* - угловые пограничныефункции,играющиерольвблизивершинпрямоугольникаΩсоответственно (0,0) и (1,0) . Формулируются условия, достаточные дляполучения регулярной и погранслойной частей асимптотики решения.Условие I.Функцииa ( x, t ) > 0иF (u , x, t , ε )являютсядостаточно гладкими, а функция и ϕ ( x, t ) - непрерывной.Условие II.F (u , x, t ,0) = 0Уравнениевзамкнутомпрямоугольнике Ω имеет решение u = u0 ( x, t ) .Условие III.Fu' (u0 ( x, t ), x, t ,0) > 0Производнаявзамкнутомпрямоугольнике Ω .Условие IV.Начальная задачаdΠ0= − F (u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0), Π 0 ( x,0) = ϕ ( x,0) − u0 ( x,0) ,dτ(30)с параметром x ∈ [0,1] имеет решение Π 0 ( x,τ ) , τ ≥ 0 , и удовлетворяетусловию Π 0 ( x, ∞) = 0 .Условие V.Для системdz1dz= z2 , a(i, t ) 2 = F (u0 (i, t ) + z1 , i, t ,0),dydyгде i = 0 , или 1, а t играет роль параметра, прямые z1 = ϕ (i, t ) − u0 (i, t )пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя ( z1 , z2 ) = (0,0) при t → ∞ .25Во втором параграфе второй главы проводится расщеплениеуравнения (26) и строится регулярная часть асимптотики.

Для этогофункция F (u , x, t , ε ) заменяется выражением, аналогичным (29):F (u , x, t , ε ) = F + ( Π F + QF + Q* F ) + ( PF + P* F ) .(31)Выражения (29) и (31) подставляются в уравнение (26), котороеразделяется на части: регулярную, погранслойные и угловые. Регулярнаячасть асимптотики строится в виде ряда∞u ( x, t , ε ) = ∑ ε k u k ( x, t ) .(32)k =0В третьем параграфе второй главы строятся погранслойные частиасимптотики. Для этого вводятся растянутые переменные1− xxt, τ = 2.ξ = , ξ* =εεεПогранфункциистроятсяввидерядовпостепеням∞∞∞k =0k =0k =0ε:Π ( x,τ , ε ) = ∑ ε k Π k ( x,τ ) , Q(ξ , t , ε ) = ∑ ε k Qk (ξ , t ) , Q* (ξ* , t , ε ) = ∑ ε k Qk* (ξ* , t ) .Задача для определения функции Π 0 ( x,τ ) имеет вид−∂Π 0= F ( u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0 ) ,∂τΠ 0 ( x,0) = ϕ ( x,0) − u0 ( x,0)(33)и в силу условий III, IV имеет монотонное решение, для которогосправедлива экспоненциальная оценка видаΠ 0 ( x,τ ) ≤ Ce −κτ ,(34)где C и κ - некоторые положительные постоянные.

Последующиефункции Π k ( x,τ ) , k ≥ 1 , определяются как решения линейных задач−∂Π k= Fu' ( u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0 ) Π k + π k ,∂τΠ k ( x,0) = −uk ( x,0)и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (34).Задача для определения функции Q0 (ξ , t ) имеет вид26(35)∂ 2Q0a (0, t ) 2 = F ( u0 (0, t ) + Q0 ,0, t ,0 ) ,∂ξ(36)Q0 (0, t ) = ϕ (0, t ) − u0 (0, t ), Q0 (∞, t ) = 0 ,(37)и в силу условий III, V имеет монотонное решение, для которогосправедлива экспоненциальная оценка видаQ0 (ξ , t ) ≤ Ce −κξ ,(38)где C и κ - некоторые положительные постоянные. Последующиефункции Qk (ξ , t ) , k ≥ 1 , определяются как решения линейных задачa (0, t )∂ 2Qk= Fu' ( u0 (0, t ) + Q0 ,0, t ,0 ) Qk + qk ,2∂ξQk (0, t ) = −uk (0, t ), Qk (∞, t ) = 0и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (38). Аналогичноопределяются погранфункции Qk* (ξ* , t ) с оценками вида Qk* (ξ* , t ) ≤ Ce −κξ* .Таким образом, погранслойная часть асимптотики определяетсяполностью.В четвертом параграфе второй главы ставятся задачи для угловойчасти асимптотики.

Функции P и P* ищутся в виде рядов по степеням ε :∞P (ξ ,τ , ε ) = ∑ ε Pk (ξ ,τ ) ,∞P (ξ* ,τ , ε ) = ∑ ε k Pk* (ξ* ,τ ) .k*k =0k =0В угловой точке (0,0) задача для определения главного членаP0 (ξ ,τ ) угловой части асимптотики ставится в области растянутыхпеременных ξ > 0 , τ > 0 , нелинейная и имеет вид∂ 2 P0 ∂P0a (0,0) 2 −= F ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ) + Q0 (ξ ,0) + P0 (ξ ,τ ),0,0,0 ) −∂ξ∂τ− F ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ),0,0,0 ) − F ( u0 (0,0) + Q0 (ξ ,0),0,0,0 ) ,P0 (0,τ ) = −Π 0 (0,τ ) ,P0 (ξ ,τ ) → 0P0 (ξ ,0) = −Q0 (ξ ,0) ,при27ξ +τ → ∞ .(39a)(39b)(39c)Для функций Pk (ξ ,τ ), k ≥ 1, в области ξ > 0, τ > 0 получаютсялинейные задачи∂ 2 Pk ∂Pka (0,0) 2 −= Fu' ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ) + Q0 (ξ ,0) + P0 (ξ ,τ ),0,0,0 ) Pk + hk ,∂ξ∂τ(40a)Pk (0,τ ) = −Π k (0,τ ) ,Pk (ξ ,0) = −Qk (ξ ,0) ,Pk (ξ ,τ ) → 0при(40b)ξ +τ → ∞ ,(40c)где неоднородности удовлетворяют экспоненциальным оценкам видаhk (ξ ,τ ) ≤ Ce −κ (ξ +τ ) ,(41)если подобным оценкам удовлетворяют функции P0 (ξ ,τ ) ,…, Pk −1 (ξ ,τ ) .ЗдесьCиκ-некоторыеположительныечисла.Задачидляпогранфункций Pk* (ξ* ,τ ), k ≥ 0, ставятся аналогично.Как и в эллиптическом случае нас интересует установлениедополнительного теперь уже условия VI, при котором можно доказатьследующие утверждения.Утверждение 4.

Если выполнены условия I – VI, то задача (39)имеет решение P0 (ξ ,τ ) , удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида(41).Утверждение 5. Если выполнены условия I – VI, то задачи (40)имеют решения Pk (ξ ,τ ) , удовлетворяющие экспоненциальным оценкамвида (41).Утверждение 6. Если выполнены условия I – VI, то для достаточномалых ε задача (26) - (28) имеет решение u ( x, t , ε ) , для которого ряд∞∑εk =0являетсяk⎡⎣uk ( x, t ) + Π k ( x,τ ) + Qk (ξ , t ) + Qk* (ξ* , t ) + Pk (ξ ,τ ) + Pk* (ξ* ,τ ) ⎤⎦асимптотическимразложениемприε →0впрямоугольнике Ω , то есть для всех точек ( x, t ) ∈Ω максимум28(42)замкнутомmax u ( x, t , ε ) − U n ( x, t , ε ) ≤ cε n+1 ,где U n ( x, t , ε )-n -я частичная сумма ряда (42), c- некотораяположительная постоянная.В отличие от эллиптического случая для параболических задачотсутствуетсимметрияотносительновхождениянезависимыхпеременных, поэтому требуются отдельные, хотя и аналогичные,исследования.В пятом параграфе второй главы находится угловая частьасимптотики при дополнительных условиях типа (A) и (B).

Есливыполнены условия I – V, (A) и (B1), то для доказательства утверждения 5строятся барьеры видаZ ± (ξ ,τ ) = −Π k (0,τ )e −κξ − Qk (ξ ,0)e −κτ − uk (0,0)e−κ (ξ +τ ) ± re−κ (ξ +τ ) ,(43)где r и κ - некоторые положительные числа.Если условие (B1) не выполняется, то ставится условие типа (B2).

Сучётом знака производной Fu' ( u0 (0,0) + Π 0 (0,τ ) + Q0 (ξ ,0) + P0 (ξ ,τ ),0,0,0 )область R 2+ = {(ξ ,ι ) ξ > 0, τ > 0} разбивается на части Ω0 , Ω1 и Ω 2 . Вкаждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (40). Вподобласти Ω0 на роль барьеров подходят функции вида (43). Вподобласти Ω1 барьеры имеют видZ ± (ξ ,τ ) = −Π k (0,τ )e −κξ − Qk (ξ ,0)e −κτ − uk (0,0)e−κ (ξ +τ ) ± h(τ )e−κξ ,гдеh(τ ) = λ sinδπ (τ + ρ1 − ρ ), τ ∈ [0, ρ ],2 ρ1δ-некоторое(44)числоизпромежутка (0,1) . В подобласти Ω 2 барьеры имеют видZ ± (ξ ,τ ) = −Π k (0,τ )e −κξ − Qk (ξ ,0)e −κτ − uk (0,0)e−κ (ξ +τ ) ± h(ξ )e−κτ .Далеебарьеровипроводитсясглаживаниедоказываетсяпостроенныхсуществованиеэкспоненциальной оценкой вида (41).29решения(45)кусочно-гладкихзадачи(40)сВ шестом параграфе второй главы доказывается утверждение 6, еслив качестве дополнительного условия VI принято следующее.Условие VI1.Длякаждойугловойточки(0,0)и(1,0)прямоугольника Ω выполнено условие типа (A) и одно из условий типа(B).В седьмом параграфе второй главы рассматривается случаймонотонного поведения функции F ( u ,0,0,0 ) на промежутке от u0 (0,0) доϕ (0,0) .

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее