Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929)
Текст из файла
На правах рукописиДЕНИСОВ ИГОРЬ ВАСИЛЬЕВИЧУГЛОВОЙ ПОГРАНСЛОЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНОВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХС ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ01.01.03 – математическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукТула 2009Работа выполнена на кафедре алгебры, математического анализа игеометрии Тульского государственного педагогического университетаимени Л.Н.ТолстогоНаучный консультантдоктор физико-математических наук профессорБутузов Валентин ФедоровичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук профессорГалкин Валерий Алексеевичдоктор физико-математических наук профессорНестеров Андрей Владимировичдоктор физико-математических наук профессорСафонов Валерий ФедоровичВедущая организация: Ярославский государственный университет имениП.Г.ДемидоваЗащита состоится «»2010г.
в «» часовна заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московскомгосударственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В.Ломоносова,дом 1, строение 2, физический факультет, аудитория _______.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическогофакультета МГУ.Автореферат разослан «»2010г.Ученый секретарь диссертационного совета,доктор физико-математических наук профессор Грац Ю.В.2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы.Современная теория асимптотических разложений начинается сработы А.
Пуанкаре 1886 г. [1], в которой было введено понятиеасимптотического ряда. Понятие пограничного слоя и уравнений,описывающих течение в зоне пограничного слоя, ввел Л. Прандтль в 1904г. [2]. Теория асимптотического интегрирования стала целенаправленноразвиваться, начиная с работ Л. Шлезингера (1907) [3] и Дж. Биркгофа(1908) [4].К середине 20 века были получены многочисленные результаты потеории дифференциальных уравнений с малым параметром. ОбширнаябиблиографиянаэтутемуприведенавкнигеВ.Вазова[5].Определяющими для последующего развития теории дифференциальныхуравнений с малым параметром явились работы А.Н. Тихонова конца 40-х- начала 50-х годов [6-8].
В дальнейшем оформились основныенаправления теории: метод пограничных функций (М.И. Вишик, Л.А.Люстерник [9], В.А. Треногин [10], А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов [11-13] идр.), метод усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский [14-15],В.М. Волосов [16], М.М. Хапаев [17] и др.), методы типа ВКБ (В.П.Маслов [18], М.В. Федорюк [19] и др.), теория релаксационных колебаний(Л.С. Понтрягин [2], Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов [21] и др.), методрегуляризации(С.А.Ломов[22]идр.),методсращиванияасимптотических разложений (А.М.
Ильин [23] и др.). Различныенаправления теории сингулярных возмущений интенсивно развивались иза рубежом [24].В 1957 г. была опубликована статья М.И. Вишика и Л.А. Люстерника[9], в которой был сформулирован общий подход к построениюасимптотическихразложенийрешенийлинейныхсингулярновозмущенных уравнений с частными производными. Такие задачи3возникают в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике,лазерной оптике. Были рассмотрены задачи в областях с гладкимиграницами, и асимптотические разложения решений строились в видесуммы регулярной и погранслойной частей. В 1970-х годах В.Ф. Бутузов[25] применил метод погранфункций к задачам в областях с угловымиточками границы.
Для линейных сингулярно возмущенных эллиптическихуравненийбылаисследованазадачаДирихле.Былипостроеныасимптотические разложения решений в виде суммы регулярной,погранслойной и угловой частей.Переход к нелинейным уравнениям оказался сопряженным спринципиальными трудностями, касающимися, прежде всего, отсутствияметодов решения нелинейных задач и получения необходимых оценок.Возникающих проблем удавалось избежать при рассмотрении задачиНеймана, но для эллиптических уравнений основной интерес представляетзадача Дирихле. Задача асимптотического интегрирования нелинейныхсингулярно возмущенных уравнений с частными производными являетсяестественным обобщением рассмотренных ранее задач, представляетважноенаправлениевтеоретическихисследованиях,имеетмногочисленные приложения к модельным задачам и потому являетсяактуальной.Целью настоящей работы является развитие асимптотическихметодов решения нелинейных задач химической кинетики, широкоиспользуемых в математической физике, позволяющих эффективноисследовать значительный круг модельных задач, именно:– разработка методов построения асимптотических приближений решенийширокого класса нелинейных сингулярно возмущенных задач в областях сугловыми точками границы;– развитие метода угловых погранфункций для указанного класса задачкак эффективного средства построения асимптотических приближений;4–развитиеметодаэффективногобарьеровсредства(верхнихдоказательстваинижнихрешений)существованиякакрешенийнелинейных задач математической физики;– развитие асимптотического метода дифференциальных неравенствдоказательства теорем существования и оценки остаточных членовасимптотик, имеющих пограничные слои.Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являютсяновыми.Теоретическая и практическая значимость. Методы, разработанные вдиссертации, ориентированы на исследование прикладных задач, вчастности, задач химической кинетики. Работа носит теоретическийхарактер:- получены асимптотические разложения решений широкого классанелинейныхсингулярновозмущенныхуравненийсчастнымипроизводными в областях с угловыми точками границы.- модифицирован метод угловых погранфункций и доказано, что этотметод эффективно применим к нелинейным сингулярно возмущеннымэллиптическим и параболическим уравнениям с краевыми условиями 1-города в областях с угловыми точками границы;- введено новое принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров(верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловыепогранфункции;-проведеносглаживаниекусочно–гладкихбарьеровидоказаносуществование решений угловых погранслойных задач, возникающих прииспользованииметодаугловыхпогранфункцийдлянелинейныхсингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областяхс угловыми точками границы;5- модифицирован метод дифференциальных неравенств и с его помощьюпроведена оценка точности построенных асимптотических разложенийрешений сингулярно возмущенных краевых задач.Апробация работы.
Основные результаты диссертации неоднократнодокладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. А.Б.Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (физический ф-т МГУ им. М.В.Ломоносова), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам(Бишкек, 1991), на "Понтрягинских чтениях -- VII" (Воронеж, 1996), наконференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова (Обнинск, 1996), на международной конференции "Теорияприближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), на Международнойконференции «Информатизация образования – 2006» (Тула, 2006), на 3-й и4-й международных конференциях "Математические идеи П.Л.
Чебышеваи их приложения к современным проблемам естествознания" (Обнинск,2006, 2008), на Международной конференции "Тихонов и современнаяматематика"(Москва,2006),намеждународныхконференциях"Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула,2006, 2007) и других конференциях.Публикации.Основныерезультаты,полученныеавторомиизложенные в диссертации, опубликованы в работах [32–41] (списоклитературы приведен в конце автореферата). Всего по теме диссертацииопубликовано 32 работы, все они без соавторов.Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,четырех глав, разделенных на 21 параграф, и заключения. Диссертацияснабжена оглавлением и списком литературы из 90 наименований. Общийобъем диссертации - 224 страницы.6Содержание работы.Во введении обосновывается актуальность темы диссертации,научная новизна полученных результатов, а также кратко изложеносодержание и основные результаты работы.В первой главе рассматривается одна из основных модельных задачхимической кинетики - сингулярно возмущенная эллиптическая задачаε 2 Δu = F (u, x, y, ε )(1)в прямоугольнике Ω = {( x, y ) 0 < x < a, 0 < y < b} с краевыми условиямипервого родаu ( x , y , ε ) = ϕ ( x, y )(2)на границе ∂Ω прямоугольника Ω . Здесь ε - малый положительныйпараметр, Δ =∂2∂2- оператор Лапласа.
Решение задачи (1), (2)+∂x 2 ∂y 2ищется в виде ряда по степеням ε , состоящего из трех частей:u ( x, y , ε ) = u + Π + P ,(3)- регулярной, погранслойной и угловой. При жестких условиях нафункцию ϕ ( x, y ) задача (1), (2) рассматривалась в диссертации В.Ф.Бутузова [25].Результаты, представленные в данной главе, опубликованы в работах[32 – 34, 38, 41]. При построении асимптотики решения используетсяметод угловых пограничных функций В.Ф. Бутузова [13], в которомдополнительно учитываются новые члены асимптотического разложения,соответствующие нелинейным уравнениям.
Вводится принципиальноепонятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач,определяющих угловые погранфункции. Строятся подходящие кусочногладкие барьеры, а затем проводится их сглаживание и доказательствосуществования решения угловых погранслойных задач. Используютсяобщие методы дифференциальных уравнений с частными производными.7Для обоснования построенной асимптотики используется развиваемый дляновогоклассазадачасимптотическийметоддифференциальныхнеравенств, предложенный в свое время Н.Н.
Нефедовым для обоснованияасимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач дляобыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частныхпроизводных [26, 27].В первом параграфе первой главы формулируются условия,достаточныедляполученияасимптотикирешениярегулярнойзадачи(1),(2).ипогранслойнойСчитаютсячастейвыполненнымиследующие условия.Условие I.Функция F (u , x, y, ε ) является достаточно гладкой,а функция ϕ ( x, y ) - непрерывной.Условие II.F (u , x, y,0) = 0УравнениевзамкнутомПроизводнаяFu' (u0 ( x, y ), x, y,0) > 0в замкнутомДля системыdz1= z2 ,dtпрямоугольнике Ω имеет решение u = u0 ( x, y ) .Условие III.прямоугольнике Ω .Условие IV.dz2= F (u0 ( x, y ) + z1 , x, y,0),dtгде x, y - параметры и точка ( x, y ) принадлежит границе ∂Ω , прямыеz1 = ϕ ( x, y ) − u0 ( x, y ) пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя( z1 , z2 ) = (0,0) при t → ∞ .Во втором параграфе первой главы проводится расщеплениеуравнения (1) и строится регулярная часть асимптотики.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
