Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В каждой изподобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (14), подчиненныедополнительным условиям. Именно, вводится следующее понятие.Определение.Функции Z + (ξ ,η ) и Z − (ξ ,η ) называются кусочно-гладкими соответственно верхним и нижним решениями (барьерами)задачи (17), если1)функции Z + (ξ ,η ) и Z − (ξ ,η ) непрерывны в замкнутой области D ;2)существует разбиение области D на конечное число подмножеств,на внутренности каждого из которых функции Z + (ξ ,η ) и Z − (ξ ,η )удовлетворяют неравенствамL( Z + ) = ΔZ + − f ( Z + ) ≤ 0, L( Z − ) = ΔZ − − f ( Z − ) ≥ 0, Z − ≤ Z + ;3)на границе ∂D выполняются неравенства Z − ≤ h ≤ Z + .Доказательство существования решения задачи (14) распадается надва этапа: сначала строятся подходящих кусочно-гладкие барьеры, а затемдля построенных барьеров проводится процедура сглаживания.В подобласти Ω0 на роль барьеров подходят функции вида (18), гдеr и κ - некоторые положительные числа.
В подобласти Ω1 барьеры имеютвид(1)(2)Z ± (ξ ,η ) = −Π k (0,η )e −κξ − Π k (ξ ,0)e −κη − uk (0,0)e −κ (ξ +η ) ± h(η )e −κξ , (19)где функция h(η ) = λ sinπ (η + ρ1 − ρ ), η ∈ [0, ρ ], число ρ1 берется из2 ρ1171⎛π ⎞промежутка ρ < ρ1 < ⎜ ρ +, λ - некоторое положительное число.2⎝2 μ ⎟⎠В подобласти Ω 2 барьеры имеют вид(1)Z ± (ξ ,η ) = −Π k (0,η )e−κξ(2)− Π k (ξ ,0)e −κη − uk (0,0)e −κ (ξ +η ) ± h(ξ )e −κη . (20)С целью сглаживания построенных кусочно-гладких верхнего инижнего решений задачи (14) вводятся обозначения для общей частиграницподобластейΩ0 ,Ω1иΩ2 :Γ 01 = {(ξ ,η ) ξ ≥ ρ , η = ρ } ,Γ 02 = {(ξ ,η ) ξ = ρ , η ≥ ρ } и Γ12 = {(ξ ,η ) ξ = η , 0 ≤ η ≤ ρ } . Функции Z ± (ξ ,η )не являются гладкими на линиях Γ 01 , Γ 02линии сходятся в одной точке( ρ, ρ ) .и Γ12 . При этом все триПоэтому известные методысглаживания [29 – 31] неприменимы и приходится поступать следующимобразом.
Сначала рассматривается линия Γ 01 . По разные стороны от этойлинии значения функций Z ± (ξ ,η ) задаются различными аналитическимивыражениями, и сглаживать нужно функцию⎧h(η ), если 0 ≤ η ≤ ρ.⎨−κη⎩ re , если η ≥ ρОднако сглаживается не эта, а несколько иная функция. Припостроениибарьеровдопускаетсяопределеннаясвободавыборапараметров. Вместо параметра ρ можно взять положительное число τ ,чуть меньшее, чем ρ , и такое, что в области Ω0 = {(ξ ,η ) ξ > τ , η > τ } , во(1)(2)(1)⎛⎞первых, производная F ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ все⎝⎠'uещё положительна, и, во-вторых, функции Z ± (ξ ,η ) все еще являютсябарьерами задачи (14).
Вводится новый достаточно малый положительныйпараметр κ1 и рассматривается непрерывная функция18⎧λ⎪ 0 h(η ), если 0 ≤ η ≤ ρ,⎨λ⎪⎩ re −κ1η , если η ≥ ρгде λ0 = re −κ1η . Доказывается, что существуют положительные числа δ 0 , δи положительная функция v0 (η ) , η ∈ ( ρ − 2δ 0 , ρ + 2δ ) , такие, что функция⎧ λ0⎪ λ h(η ), если 0 ≤ η ≤ ρ − 2δ 0⎪⎨v0 (η ), если ρ − 2δ 0 ≤ η ≤ ρ + 2δ⎪ re −κ1η , если ρ + 2δ ≤ η < ∞⎪⎩дваждынепрерывнодифференцируемаинапромежуткеη ∈ ( ρ − 2δ 0 , ρ + 2δ ) удовлетворяет условиюv0' (η ) + κ1v0 (η ) ≥ 0 .(21)Далее рассматривается новое разбиение области R 2+ на частиΩ1δ = {(ξ ,η ) ξ > η , 0 < η < ρ − 2δ 0 } , Ω12 = {(ξ ,η ) ξ > η , ρ − 2δ 0 < η < ρ + 2δ } ,Ω 2δ = {(ξ ,η ) ξ > ρ + 2δ , η > ρ + 2δ } ,Ω 23 = {(ξ ,η ) ρ − 2δ 0 < ξ < ρ + 2δ , η > ξ } , Ω3δ = {(ξ ,η ) 0 < ξ < ρ − 2δ 0 , η > ξ }и кусочно-гладкие функции(1)(2)Z ± (ξ ,η ) = −Π k (0,η )e −κξ − Π k (ξ ,0)e −κη − uk (0,0)e −κ (ξ +η ) ±⎧ λ0−κ1ξ⎪ q λ h(η )e , если (ξ ,η ) ∈ Ω1δ⎪−κ ξ⎪ qv0 (η )e 1 , если (ξ ,η ) ∈ Ω12⎪± ⎨ qre −κ1 (ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈ Ω 2δ .⎪−κ1η⎪ qv0 (ξ )e , если (ξ ,η ) ∈ Ω 23⎪ λ0−κ η⎪q h(ξ )e 1 , если (ξ ,η ) ∈ Ω3δ⎩ λПри выборе достаточно большого положительного коэффициента qфункции Z ± (ξ ,η ) являются кусочно-гладкими барьерами задачи (14).19ГладкостьZ ± (ξ ,η )функцийнарушаетсятольконалинииΓδ = {(ξ , ξ ) 0 < ξ < ρ + 2δ } .
Доказывается, что при пересечении линии Γδ внаправлениинормаликнейпроизводнаяфункцииZ + (ξ ,η )понаправлению этой нормали испытывает отрицательный скачок. Этопозволяет применить результаты работ [29 – 31] и сгладить верхнеекусочно-гладкое гладкое решение задачи (14) на линии Γδ . Сглаживаниемфункции Z − (ξ ,η ) = − Z + (ξ ,η ) получается нижнее решение задачи (14).
Таккак для функций Z ± (ξ ,η ) выполняются экспоненциальные оценки вида(15), то задача (14) имеет решение Z (ξ ,η ) с экспоненциальной оценкойвида (15).В шестом параграфе первой главы доказывается утверждение 3, еслив качестве условия V принято следующее.Условие V1 .Для каждой угловой точки прямоугольника Ωвыполнено условие типа (A) и одно из условий типа (B).Для доказательства утверждения 3 используется модифицированнаясхема метода дифференциальных неравенств, предложенная ранее Н.Н.Нефедовым [26, 27].В седьмом параграфе первой главы рассматривается случаймонотонного поведения функции F ( u ,0,0,0 ) на промежутке от u0 (0,0) доϕ (0,0) . В качестве дополнительного принимается следующее условие.Условие (C1).Граничноезначениеϕ (0,0)таково,чтопроизводная F ' ( u ,0,0,0 ) > 0 для всех значений u , взятых из промежуткаот u0 = u0 (0,0) до ϕ = ϕ (0,0) .Для определенности считается, чтоопределяется класс функций { F1 ,ϕ } .20ϕ − u0 > 0 .
Кроме этого,Определение.Функция F (u ) = F ( u ,0,0,0 ) принадлежит классу{F1,ϕ} , если для любых значенийs и t , взятых из промежутка [0, ϕ − u0 ] ,выполняются два условия:1)неравенство⎛⎛st ⎞ ⎛s ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −⎟ − ⎜1 −⎟ F ( u0 + t ) − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + s ) ≥ 0 , (22)uuuϕϕϕ−−−0 ⎠0 ⎠0 ⎠⎝⎝⎝либо⎛⎞ ⎛⎛sts ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −Fut1+ C+ ⎟ − ⎜ 1 −+−−()⎟⎜⎟ F ( u0 + s ) > 0 ,0ϕ − u0⎝⎠ ⎝ ϕ − u0 ⎠⎝ ϕ − u0 ⎠(23)где число C+ ∈ (0, u2 − ϕ ) , число u2 > ϕ и производная F '(u ) > 0 напромежутке [u0 , u2 ] ;2)неравенство⎛⎛st ⎞ ⎛s ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −⎟ − ⎜1 −⎟ F ( u0 + t ) − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + s ) ≤ 0 , (24)uuuϕϕϕ−−−0 ⎠0 ⎠0 ⎠⎝⎝⎝либо⎛⎞ ⎛⎛sts ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −− C− ⎟ − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + t ) − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + s ) < 0 ,uuuϕϕϕ−−−00 ⎠0 ⎠⎝⎠ ⎝⎝(25)где число C ∈ (0, u0 − u1 ) , число u1 < u0 и производная F '(u ) > 0 напромежутке [u1 , ϕ ] .В качестве условия V принимается условие (C1) и принадлежностьфункции F (u ) классу{F1 ,ϕ} .Методом верхних и нижних решенийдоказывается утверждение 1.
В качестве барьерных подходят функции(1)вида(2)Π 0 (0,η ) Π 0 (ξ ,0)P± (ξ , η ) = −± Ce −κ (ξ +η ) , где C ≥ 0, κ > 0 - некоторыеϕ − u0постоянные.21ПринадлежностьфункцииF (u ){F1,ϕ}классуявляетсядостаточным, но не является необходимым условием для доказательстваутверждения1.Можноопределитьдругиеклассыфункций,обеспечивающие доказательство этого утверждения.Определение.Функция F (u ) принадлежит классу{F2 ,ϕ} ,еслидля любых значений s и t , взятых из промежутка [0, ϕ − u0 ] , выполняютсядва условия:1)неравенство (22), либо (23);2)неравенство()F u0 + s + t − 2 st − F ( u0 + s ) − F ( u0 + t ) − ( st ) −3 / 2 ⎡⎣ s 2 z (t ) + t 2 z ( s ) ⎤⎦ ≤ 0вместо неравенства (24), либо()F u0 + s + t − 2 st − C− − F ( u0 + s ) − F ( u0 + t ) − ( st ) −3 / 2 ⎡⎣ s 2 z (t ) + t 2 z ( s ) ⎤⎦ < 0 ,wгде функция z ( w) = ∫ F ( u0 + u ) du − wF ( u0 + w ) , вместо неравенства (25).0В качестве условия V можно принять выполнение условия (C1) ипринадлежность функцииF (u )классу{F2 ,ϕ} .Для доказательстваутверждения 1 строятся барьеры вида(1)(2)Π 0 (0,η ) Π 0 (ξ ,0)P+ (ξ , η ) = −+ Ce −κ (ξ +η ) ,ϕ − u0(1)(2)P− (ξ , η ) = −2 Π 0 (0,η ) Π 0 (ξ ,0) − Ce −κ (ξ +η ) ,где C ≥ 0, κ > 0 - некоторые постоянные.В восьмом параграфе первой главы устанавливаются методыпроверки принадлежности функции F (u ) некоторому классу{ F ,ϕ } .Изложение построено в соответствии со следующим планом:1)изучение неравенств (22), (23) и их связь с некоторыми«традиционными» свойствами функций;222)выполнение неравенств (22), (23) для многочленов;3)пример функции, удовлетворяющей условию (C1), но непринадлежащей ни классу { F1 ,ϕ } , ни классу { F2 ,ϕ} ;4)изучение неравенств (24), (25) и их выполнение дляквадратичных функций;5)выполнение неравенств (24), (25) для кубических функций;6)построение барьеров в случае квадратичной функции F (u ) ;7)выводы.В девятом параграфе первой главы рассматривается случайнемонотонного поведения функции F ( u ,0,0,0 ) на промежутке от u0 (0,0)до ϕ (0,0) .
В качестве дополнительного принимается следующее условие.Функция F ( u ,0,0,0 ) является квадратичной поУсловие (C2).переменнойu:F ( u ,0,0,0 ) = − A(u − α )(u − β ) ,гдеA > 0,акорниα = u0 (0,0) < β . Граничное значение ϕ = ϕ (0,0) находится правее вершиныпараболы F ( u ,0,0,0 )α +β2≤ϕ ≤α +β2+ ϕ0 ,где ϕ0 - некоторое число из промежутка 0 < ϕ0 <β −α2.Доказывается утверждение 1, в котором под условием V понимаетсяусловие (C2). Для доказательства область R 2+ разбивается на подобластиΩ0 ,Ω1 иΩ 2 , граница которых – числоρопределяется придоказательстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
