Главная » Просмотр файлов » Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными

Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929), страница 3

Файл №1097929 Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными) 3 страницаУгловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929) страница 32019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В каждой изподобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (14), подчиненныедополнительным условиям. Именно, вводится следующее понятие.Определение.Функции Z + (ξ ,η ) и Z − (ξ ,η ) называются кусочно-гладкими соответственно верхним и нижним решениями (барьерами)задачи (17), если1)функции Z + (ξ ,η ) и Z − (ξ ,η ) непрерывны в замкнутой области D ;2)существует разбиение области D на конечное число подмножеств,на внутренности каждого из которых функции Z + (ξ ,η ) и Z − (ξ ,η )удовлетворяют неравенствамL( Z + ) = ΔZ + − f ( Z + ) ≤ 0, L( Z − ) = ΔZ − − f ( Z − ) ≥ 0, Z − ≤ Z + ;3)на границе ∂D выполняются неравенства Z − ≤ h ≤ Z + .Доказательство существования решения задачи (14) распадается надва этапа: сначала строятся подходящих кусочно-гладкие барьеры, а затемдля построенных барьеров проводится процедура сглаживания.В подобласти Ω0 на роль барьеров подходят функции вида (18), гдеr и κ - некоторые положительные числа.

В подобласти Ω1 барьеры имеютвид(1)(2)Z ± (ξ ,η ) = −Π k (0,η )e −κξ − Π k (ξ ,0)e −κη − uk (0,0)e −κ (ξ +η ) ± h(η )e −κξ , (19)где функция h(η ) = λ sinπ (η + ρ1 − ρ ), η ∈ [0, ρ ], число ρ1 берется из2 ρ1171⎛π ⎞промежутка ρ < ρ1 < ⎜ ρ +, λ - некоторое положительное число.2⎝2 μ ⎟⎠В подобласти Ω 2 барьеры имеют вид(1)Z ± (ξ ,η ) = −Π k (0,η )e−κξ(2)− Π k (ξ ,0)e −κη − uk (0,0)e −κ (ξ +η ) ± h(ξ )e −κη . (20)С целью сглаживания построенных кусочно-гладких верхнего инижнего решений задачи (14) вводятся обозначения для общей частиграницподобластейΩ0 ,Ω1иΩ2 :Γ 01 = {(ξ ,η ) ξ ≥ ρ , η = ρ } ,Γ 02 = {(ξ ,η ) ξ = ρ , η ≥ ρ } и Γ12 = {(ξ ,η ) ξ = η , 0 ≤ η ≤ ρ } . Функции Z ± (ξ ,η )не являются гладкими на линиях Γ 01 , Γ 02линии сходятся в одной точке( ρ, ρ ) .и Γ12 . При этом все триПоэтому известные методысглаживания [29 – 31] неприменимы и приходится поступать следующимобразом.

Сначала рассматривается линия Γ 01 . По разные стороны от этойлинии значения функций Z ± (ξ ,η ) задаются различными аналитическимивыражениями, и сглаживать нужно функцию⎧h(η ), если 0 ≤ η ≤ ρ.⎨−κη⎩ re , если η ≥ ρОднако сглаживается не эта, а несколько иная функция. Припостроениибарьеровдопускаетсяопределеннаясвободавыборапараметров. Вместо параметра ρ можно взять положительное число τ ,чуть меньшее, чем ρ , и такое, что в области Ω0 = {(ξ ,η ) ξ > τ , η > τ } , во(1)(2)(1)⎛⎞первых, производная F ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ все⎝⎠'uещё положительна, и, во-вторых, функции Z ± (ξ ,η ) все еще являютсябарьерами задачи (14).

Вводится новый достаточно малый положительныйпараметр κ1 и рассматривается непрерывная функция18⎧λ⎪ 0 h(η ), если 0 ≤ η ≤ ρ,⎨λ⎪⎩ re −κ1η , если η ≥ ρгде λ0 = re −κ1η . Доказывается, что существуют положительные числа δ 0 , δи положительная функция v0 (η ) , η ∈ ( ρ − 2δ 0 , ρ + 2δ ) , такие, что функция⎧ λ0⎪ λ h(η ), если 0 ≤ η ≤ ρ − 2δ 0⎪⎨v0 (η ), если ρ − 2δ 0 ≤ η ≤ ρ + 2δ⎪ re −κ1η , если ρ + 2δ ≤ η < ∞⎪⎩дваждынепрерывнодифференцируемаинапромежуткеη ∈ ( ρ − 2δ 0 , ρ + 2δ ) удовлетворяет условиюv0' (η ) + κ1v0 (η ) ≥ 0 .(21)Далее рассматривается новое разбиение области R 2+ на частиΩ1δ = {(ξ ,η ) ξ > η , 0 < η < ρ − 2δ 0 } , Ω12 = {(ξ ,η ) ξ > η , ρ − 2δ 0 < η < ρ + 2δ } ,Ω 2δ = {(ξ ,η ) ξ > ρ + 2δ , η > ρ + 2δ } ,Ω 23 = {(ξ ,η ) ρ − 2δ 0 < ξ < ρ + 2δ , η > ξ } , Ω3δ = {(ξ ,η ) 0 < ξ < ρ − 2δ 0 , η > ξ }и кусочно-гладкие функции(1)(2)Z ± (ξ ,η ) = −Π k (0,η )e −κξ − Π k (ξ ,0)e −κη − uk (0,0)e −κ (ξ +η ) ±⎧ λ0−κ1ξ⎪ q λ h(η )e , если (ξ ,η ) ∈ Ω1δ⎪−κ ξ⎪ qv0 (η )e 1 , если (ξ ,η ) ∈ Ω12⎪± ⎨ qre −κ1 (ξ +η ) , если (ξ ,η ) ∈ Ω 2δ .⎪−κ1η⎪ qv0 (ξ )e , если (ξ ,η ) ∈ Ω 23⎪ λ0−κ η⎪q h(ξ )e 1 , если (ξ ,η ) ∈ Ω3δ⎩ λПри выборе достаточно большого положительного коэффициента qфункции Z ± (ξ ,η ) являются кусочно-гладкими барьерами задачи (14).19ГладкостьZ ± (ξ ,η )функцийнарушаетсятольконалинииΓδ = {(ξ , ξ ) 0 < ξ < ρ + 2δ } .

Доказывается, что при пересечении линии Γδ внаправлениинормаликнейпроизводнаяфункцииZ + (ξ ,η )понаправлению этой нормали испытывает отрицательный скачок. Этопозволяет применить результаты работ [29 – 31] и сгладить верхнеекусочно-гладкое гладкое решение задачи (14) на линии Γδ . Сглаживаниемфункции Z − (ξ ,η ) = − Z + (ξ ,η ) получается нижнее решение задачи (14).

Таккак для функций Z ± (ξ ,η ) выполняются экспоненциальные оценки вида(15), то задача (14) имеет решение Z (ξ ,η ) с экспоненциальной оценкойвида (15).В шестом параграфе первой главы доказывается утверждение 3, еслив качестве условия V принято следующее.Условие V1 .Для каждой угловой точки прямоугольника Ωвыполнено условие типа (A) и одно из условий типа (B).Для доказательства утверждения 3 используется модифицированнаясхема метода дифференциальных неравенств, предложенная ранее Н.Н.Нефедовым [26, 27].В седьмом параграфе первой главы рассматривается случаймонотонного поведения функции F ( u ,0,0,0 ) на промежутке от u0 (0,0) доϕ (0,0) . В качестве дополнительного принимается следующее условие.Условие (C1).Граничноезначениеϕ (0,0)таково,чтопроизводная F ' ( u ,0,0,0 ) > 0 для всех значений u , взятых из промежуткаот u0 = u0 (0,0) до ϕ = ϕ (0,0) .Для определенности считается, чтоопределяется класс функций { F1 ,ϕ } .20ϕ − u0 > 0 .

Кроме этого,Определение.Функция F (u ) = F ( u ,0,0,0 ) принадлежит классу{F1,ϕ} , если для любых значенийs и t , взятых из промежутка [0, ϕ − u0 ] ,выполняются два условия:1)неравенство⎛⎛st ⎞ ⎛s ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −⎟ − ⎜1 −⎟ F ( u0 + t ) − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + s ) ≥ 0 , (22)uuuϕϕϕ−−−0 ⎠0 ⎠0 ⎠⎝⎝⎝либо⎛⎞ ⎛⎛sts ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −Fut1+ C+ ⎟ − ⎜ 1 −+−−()⎟⎜⎟ F ( u0 + s ) > 0 ,0ϕ − u0⎝⎠ ⎝ ϕ − u0 ⎠⎝ ϕ − u0 ⎠(23)где число C+ ∈ (0, u2 − ϕ ) , число u2 > ϕ и производная F '(u ) > 0 напромежутке [u0 , u2 ] ;2)неравенство⎛⎛st ⎞ ⎛s ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −⎟ − ⎜1 −⎟ F ( u0 + t ) − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + s ) ≤ 0 , (24)uuuϕϕϕ−−−0 ⎠0 ⎠0 ⎠⎝⎝⎝либо⎛⎞ ⎛⎛sts ⎞t ⎞F ⎜ u0 + s + t −− C− ⎟ − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + t ) − ⎜ 1 −⎟ F ( u0 + s ) < 0 ,uuuϕϕϕ−−−00 ⎠0 ⎠⎝⎠ ⎝⎝(25)где число C ∈ (0, u0 − u1 ) , число u1 < u0 и производная F '(u ) > 0 напромежутке [u1 , ϕ ] .В качестве условия V принимается условие (C1) и принадлежностьфункции F (u ) классу{F1 ,ϕ} .Методом верхних и нижних решенийдоказывается утверждение 1.

В качестве барьерных подходят функции(1)вида(2)Π 0 (0,η ) Π 0 (ξ ,0)P± (ξ , η ) = −± Ce −κ (ξ +η ) , где C ≥ 0, κ > 0 - некоторыеϕ − u0постоянные.21ПринадлежностьфункцииF (u ){F1,ϕ}классуявляетсядостаточным, но не является необходимым условием для доказательстваутверждения1.Можноопределитьдругиеклассыфункций,обеспечивающие доказательство этого утверждения.Определение.Функция F (u ) принадлежит классу{F2 ,ϕ} ,еслидля любых значений s и t , взятых из промежутка [0, ϕ − u0 ] , выполняютсядва условия:1)неравенство (22), либо (23);2)неравенство()F u0 + s + t − 2 st − F ( u0 + s ) − F ( u0 + t ) − ( st ) −3 / 2 ⎡⎣ s 2 z (t ) + t 2 z ( s ) ⎤⎦ ≤ 0вместо неравенства (24), либо()F u0 + s + t − 2 st − C− − F ( u0 + s ) − F ( u0 + t ) − ( st ) −3 / 2 ⎡⎣ s 2 z (t ) + t 2 z ( s ) ⎤⎦ < 0 ,wгде функция z ( w) = ∫ F ( u0 + u ) du − wF ( u0 + w ) , вместо неравенства (25).0В качестве условия V можно принять выполнение условия (C1) ипринадлежность функцииF (u )классу{F2 ,ϕ} .Для доказательстваутверждения 1 строятся барьеры вида(1)(2)Π 0 (0,η ) Π 0 (ξ ,0)P+ (ξ , η ) = −+ Ce −κ (ξ +η ) ,ϕ − u0(1)(2)P− (ξ , η ) = −2 Π 0 (0,η ) Π 0 (ξ ,0) − Ce −κ (ξ +η ) ,где C ≥ 0, κ > 0 - некоторые постоянные.В восьмом параграфе первой главы устанавливаются методыпроверки принадлежности функции F (u ) некоторому классу{ F ,ϕ } .Изложение построено в соответствии со следующим планом:1)изучение неравенств (22), (23) и их связь с некоторыми«традиционными» свойствами функций;222)выполнение неравенств (22), (23) для многочленов;3)пример функции, удовлетворяющей условию (C1), но непринадлежащей ни классу { F1 ,ϕ } , ни классу { F2 ,ϕ} ;4)изучение неравенств (24), (25) и их выполнение дляквадратичных функций;5)выполнение неравенств (24), (25) для кубических функций;6)построение барьеров в случае квадратичной функции F (u ) ;7)выводы.В девятом параграфе первой главы рассматривается случайнемонотонного поведения функции F ( u ,0,0,0 ) на промежутке от u0 (0,0)до ϕ (0,0) .

В качестве дополнительного принимается следующее условие.Функция F ( u ,0,0,0 ) является квадратичной поУсловие (C2).переменнойu:F ( u ,0,0,0 ) = − A(u − α )(u − β ) ,гдеA > 0,акорниα = u0 (0,0) < β . Граничное значение ϕ = ϕ (0,0) находится правее вершиныпараболы F ( u ,0,0,0 )α +β2≤ϕ ≤α +β2+ ϕ0 ,где ϕ0 - некоторое число из промежутка 0 < ϕ0 <β −α2.Доказывается утверждение 1, в котором под условием V понимаетсяусловие (C2). Для доказательства область R 2+ разбивается на подобластиΩ0 ,Ω1 иΩ 2 , граница которых – числоρопределяется придоказательстве.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее