Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными (1097929), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для этогофункцияF (u , x, y, ε )изуравнения(1)заменяетсявыражением,аналогичным (3):F (u, x, y, ε ) = F + ΠF + PF .8(4)Формально равенство (4) оказывается неверным. Но погранфункциистроятся так, что их влияние затухает экспоненциально (быстрее любойстепени ε ) при удалении от соответствующей стороны или вершиныпрямоугольника Ω . Поэтому равенство (4) оказывается верным сточностью порядка ε n при ε → 0 , где n - любое натуральное число. Эторавенство следует рассматривать как один из шагов алгоритма построенияасимптотики решения задачи (1), (2) в виде ряда по степеням ε .Выражения (3) и (4) подставляются в уравнение (1), котороеразделяется на части: регулярнуюε 2 Δu = F ,(5)ε 2 ΔΠ = ΠF(6)ε 2 ΔP = PF .(7)погранслойнуюи угловуюРегулярная часть асимптотики ищется в виде ряда по степеням ε∞u ( x , y , ε ) = ∑ ε k u k ( x, y ) .(8)k =0Функция F представляется в таком же виде:∞F = F (u , x, y, ε ) = ∑ ε k F k ( x, y ) ,(9)k =0и разложения (8) и (9) подставляются в уравнение (5):⎛∞⎞∞⎠k =0ε 2 Δ ⎜ ∑ ε k u k ( x, y ) ⎟ = ∑ ε k F k ( x, y ) .⎝ k =0Далее приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях ε иполучается система уравнений для нахождения коэффициентов ряда (8):0 = F 0 ( x, y ) ,0 = F 1 ( x, y ) ,Δuk −2 ( x, y ) = F k ( x, y ), k ≥ 2.9Корень первого уравнения u0 = u0 ( x, y ) выбирается в соответствии сусловием II.

Из последующих уравнений рекуррентно определяютсяфункции uk = uk ( x, y ), k ≥ 1.В третьем параграфе первой главы строится погранслойная частьасимптотики. Необходимость введения погранслойной части асимптотикивызвана тем, что регулярная часть асимптотики дает решение уравнения(1) только внутри прямоугольника Ω , но на границе ∂Ω функцияu ( x, y, ε ) , вообще говоря, не совпадает с граничным значением ϕ ( x, y ) .Для устранения невязок с граничным условием (2) вводится погранслойнаячасть асимптотики, которой соответствует уравнение (6). В соответствии счислом сторон прямоугольника Ω пограничная функция Π разделяется на(1)(2)(3)(4)четыре типа слагаемых: Π = Π+ Π+ Π+ Π . Каждое слагаемое играет рольтолько вблизи соответствующей стороны прямоугольникаΩ .

Дляпостроения погранфункций вводятся растянутые переменныеxa−xyb− yξ = , η = , ξ* =, η* =.εεεεПогранфункции ищутся в виде рядов по степеням ε :(1)∞(1)∞(2)(2)Π ( x,η , ε ) = ∑ ε Π k ( x,η ), Π (ξ , y, ε ) = ∑ ε k Π k (ξ , y )kk =0и т. д.k =0(1)(2)(3)(4)Аналогично, считается, что ΠF = Π F + Π F + Π F + Π F , где(1)(1)⎡ ⎛⎤⎞,Π F = ⎢ F ⎜ u ( x, y, ε ) + Π ( x,η , ε ), x, y, ε ⎟ − F ( x, y, ε ) ⎥⎝⎠⎣⎦ y =εη(2)(2)⎡ ⎛⎤⎞и т.

д.Π F = ⎢ F ⎜ u ( x, y, ε ) + Π (ξ , y, ε ), x, y, ε ⎟ − F ( x, y, ε ) ⎥⎠⎣ ⎝⎦ x =εξВ соответствии с числом сторон прямоугольника Ω уравнение (6)распадается на четыре уравнения. На стороне y = 0 невязки в граничных(1)(1)условиях призвана устранить функция Π = Π ( x,η , ε ) . При переходе от10переменных ( x, y ) к переменным ( x,η ) прямоугольник Ω при ε → 0растягивается до полуполосы 0 < x < a, 0 < η < ∞ . Задача для определения(1)функции Π 0 ( x,η ) имеет вид(1)(1)∂2 Π0⎛⎞= F ⎜ u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0 ⎟ ,2∂η⎝⎠(1)(1)Π 0 ( x,0) = ϕ ( x,0) − u0 ( x,0), Π 0 ( x, ∞) = 0 ,(10a)(10b)где x играет роль параметра. Уравнение (10) эквивалентно системе из(1)условия IV, в которой следует положить z1 = Π 0 ( x,η ),y = 0, t = η .Условие IV выделяет решения задачи (10), для которых справедливыэкспоненциальные оценки вида(1)Π 0 ( x,η ) ≤ Ce −κη ,(11)где C и κ - некоторые положительные постоянные.

Так как возможенпереход с сепаратрисы на сепаратрису, то решение задачи (10) неединственно. Рассматривается единственное монотонное решение задачи(10).(1)Задачи для определения функций Π k ( x,η ), k ≥ 1,получаютсялинейными:(1)(1)∂2 Πk⎞ (1)'⎛=+ΠFu(x,0),x,0,00⎟Πk + π k ,u⎜ 0∂η 2⎝⎠(1)(1)Π k (0,η ) = −uk ( x,0), Π k ( x, ∞) = 0 ,(12a)(12b)(1)где неоднородности π k рекуррентно выражаются через функции Π j синдексами j < k и имеют экспоненциальные оценки вида (11), если оценкитакого вида имеют функции(1)Π j . Решение11(1)Π k ( x,η )задачи (12)выписывается в явном виде.

Если величина ϕ ( x,0) − u0 ( x,0) не равнатождественно нулю, то решение имеет видη⎡∞⎤Π k ( x,η ) = −uk ( x,0)Φ ( x,η )Φ ( x,0) − Φ ( x,η ) ∫ Φ ( x,τ ) ⎢ ∫ Φ ( x,σ )π k ( x,σ )dσ ⎥ dτ0⎣τ⎦(1)−1−2(1)∂ Π 0 ( x,η ). Если величина ϕ ( x,0) − u0 ( x,0) ≡ 0 , то задачагде Φ ( x,η ) =∂η(1)упрощается, так как для задачи (10) решение Π 0 ( x,η ) ≡ 0 , а коэффициент(1)при Π k ( x,η ) в уравнении (12) оказывается постоянным и положительным:(1)⎛⎞Fu' ⎜ u0 ( x,0) + Π 0 , x,0,0 ⎟ = Fu' ( u0 ( x,0), x,0,0 ) > 0 .⎝⎠Влюбомслучаедля(1)Π k ( x,η )функцийсправедливыэкспоненциальные оценки вида (11). Аналогично определяются все(i )остальные погранфункции Π k , i =2,3,4 . Для этих функций справедливыэкспоненциальные оценки типа (11).В четвертом параграфе первой главы ставятся задачи для угловойчасти асимптотики.

Построение угловых пограничных функций доставляетосновные трудности. Все эти функции ищутся в виде рядов по степеням ε :(1)∞(1)P(ξ ,η , ε ) = ∑ ε P k (ξ ,η ),k =0k∞(2)(2)P (ξ ,η* , ε ) = ∑ ε P k (ξ ,η* )kи т. д.k =0В угловой точке (0,0) задача для определения главного члена(1)P 0 (ξ ,η ) угловой части асимптотики ставится в области растянутыхпеременных ξ > 0, η > 0 , нелинейная и имеет вид(1)(1)(2)(1)⎛⎞Δ P 0 = F ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ −⎝⎠(1)(2)⎛⎞⎛⎞− F ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ),0,0,0 ⎟ − F ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (ξ ,0),0,0,0 ⎟ ,⎝⎠⎝⎠12(13a)(1)(1)P 0 (0,η ) = −Π 0 (0,η ) ,(1)P 0 (ξ ,η ) → 0где(i )Π 0 , i =1,2 ,-(1)(2)P 0 (ξ ,0) = −Π 0 (ξ ,0) ,ξ +η → ∞,припограничные(13b)функции,(13c)играющиерольвблизисоответствующих сторон прямоугольника.(1)Для функций P k (ξ ,η ), k ≥ 1, в области ξ > 0, η > 0 получаютсялинейные задачи(1)(1)(2)(1)⎛⎞ (1) (1)Δ P k = Fu' ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ ⋅ P k + p k ,⎝⎠(1)(1)(1)(2)P k (0,η ) = −Π k (0,η ), P k (ξ ,0) = −Π k (ξ ,0),(1)P k (ξ ,η ) → 0при(14a)(14b)ξ +η → ∞,(14c)где неоднородности удовлетворяют экспоненциальным оценкам видаpk (ξ ,η ) ≤ Ce−κ (ξ +η ) ,(15)(1)(1)если подобным оценкам удовлетворяют функции P 0 (ξ ,η ) ,…, P k −1 (ξ ,η ) .Здесь C и κ - некоторые положительные числа.(1)Коэффициент в задаче (14) в зависимости от величины P 0 (ξ ,η )может принимать как положительные, так и отрицательные значения.Кромеэтого,еслинапромежутке⎡⎣u0 ( 0,0 ) ;ϕ ( 0,0 ) ⎤⎦производнаяFu' ( u,0,0,0 ) принимает отрицательные значения, то коэффициент в задаче(14) будет принимать отрицательные значения в приосевых полосах0 < ξ < ρ , 0 < η < ρ определенной ширины ρ > 0.Есливеличинаϕ (0,0) − u0 (0,0) ≡ 0 , то решение задачи (13)(1)P 0 (ξ ,η ) ≡ 0 и коэффициент в задачах (14) постоянен и положителен:13(1)(2)(1)⎛⎞Fu' ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ = Fu' ( u0 (0,0),0,0,0 ) > 0 .⎝⎠В этом случае решения задач (14) выписываются в явном виде и дляних получаются экспоненциальные оценки вида (15).

Если величинаϕ (0,0) − u0 (0,0) не равна тождественно нулю, то мы, вообще говоря, неможем знать, имеет или нет задача (13) решение и удовлетворяет лирешение, в случае существования, экспоненциальной оценке вида (15).Кромеэтого,взадачах(14)коэффициент(1)(2)(1)⎛⎞F ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ может в зависимости от⎝⎠'uвеличины ϕ (0,0) принимать как положительные, так и отрицательныезначения. Нас интересует установление условия V, при котором можнодоказать следующие утверждения.Утверждение 1.

Если выполнены условия I – V, то задача (13) имеет(1)решение P 0 (ξ ,η ) , удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (15).Утверждение 2. Если выполнены условия I – V, то задачи (14)(1)имеют решения P k (ξ ,η ) , удовлетворяющие экспоненциальным оценкамвида (15).Утверждение 3. Если выполнены условия I – V, то для достаточномалых ε задача (1), (2) имеет решение u ( x, y, ε ) , для которого ряд∞⎡⎣(1)(2)(3)(4)∑ ε k ⎢uk ( x, y) + Π k ( x,η ) + Π k (ξ , y) + Π k ( x,η* ) + Π k (ξ* , y) +k =0(1)(2)(3)(4)⎤+ P k (ξ ,η ) + P k (ξ ,η* ) + P k (ξ* ,η* ) + Pk (ξ* ,η ) ⎥⎦являетсяасимптотическимразложениемприε →0(16)впрямоугольнике Ω , то есть для всех точек ( x, y ) ∈Ω максимумmax u ( x, y, ε ) − U n ( x, y, ε ) ≤ cε n+1 ,14замкнутомгде U n ( x, y, ε )- n -я частичная сумма ряда (16), c- некотораяположительная постоянная.Еслипредположитьразрешимостьзадач(13)и(14),тодоказательство последнего утверждения все равно останется проблемой.(1)Это связано с тем, что, не зная величины P 0 (ξ ,η ) , мы не можем знать(1)(2)(1)⎛⎞явного вида коэффициента Fu' ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟⎝⎠в задаче (14), который может оказаться как положительным, так иотрицательным.В пятом параграфе первой главы находится угловая частьасимптотики решения при выполнении следующего условия.Условие (A).Задача(13)имеетрешение(1)P 0 (ξ ,η ) ,удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (15).При выполнении условия (A) найдется положительное число ρтакое, что в области ξ > ρ , η > ρ значения производной на полном(1)(2)(1)⎛⎞нулевом приближении Fu' ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ ≥ γ 2 ,⎝⎠где γ - некоторое положительное число.

Однако в приграничных полосах0 < ξ < ρ, 0 <η < ρзнак производной может быть отрицательным.Поэтому задачи (14) не всегда будут иметь решения, удовлетворяющиеэкспоненциальным оценкам вида (15). В связи с этим к условию (A) нужнодобавить дополнительное условие (B), которое вместе с условием (A)сформирует условие V, достаточное для доказательства утверждения 2.Сначала предполагается выполненным следующее условие.Условие (B1).Во всей области R 2+ = {(ξ ,η ) ξ > 0, η > 0} значенияпроизводной на полном нулевом приближении15(1)(2)(1)⎛⎞Fu' ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ ≥ γ 2 ,⎝⎠где γ - некоторое положительное число.Для доказательства утверждения 2 применяется метод верхних инижних решений (барьеров), который заключается в том, что задачаL( Z ) ≡ ΔZ − f ( Z ) = 0 в областиD,(17a)Z = h на границе ∂D(17b)имеет решение Z , заключенное в промежутке Z − ≤ Z ≤ Z + , если в областиD выполняются неравенстваL( Z + ) = ΔZ + − f ( Z + ) ≤ 0, L( Z − ) = ΔZ − − f ( Z − ) ≥ 0, Z − ≤ Z + ,а на границе ∂D выполняются неравенства Z − ≤ h ≤ Z + .Если выполнены условия I – IV, (A) и (B1), то для задач (14) барьерыимеют вид(1)(2)Z ± (ξ ,η ) = −Π k (0,η )e −κξ − Π k (ξ ,0)e−κη − uk (0,0)e−κ (ξ +η ) ± re−κ (ξ +η ) ,(18)где r и κ - некоторые положительные числа.Если условие (B1) не выполняется, то функции вида (18) уже неподходят на роль барьерных.

Более того, верхнее и нижнее решения задачи(14) не удается построить сразу в виде одной гладкой функции. Далеезадача рассматривается в предположении, что выполнено следующееусловие.Условие (B2).В области ξ > ρ , η > ρ значения производной наполном нулевом приближении(1)(2)(1)⎛⎞Fu' ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ ≥ γ 2 ,⎝⎠где γ - некоторое положительное число, а в приграничных полосах0 < ξ < ρ, 0 <η < ρR 2+области16значенияпроизводной(1)(2)(1)⎛⎞Fu' ⎜ u0 (0,0) + Π 0 (0,η ) + Π 0 (ξ ,0) + P 0 (ξ ,η ),0,0,0 ⎟ ≥ − μ 2 , где положительное⎝⎠число μ удовлетворяет условию μρ < π / 2 .С учётом знака производной на полном нулевом приближенииобластьR 2+разбиваетсяначастиΩ0 = {(ξ ,η ) ξ > ρ , η > ρ } ,Ω1 = {(ξ ,η ) ξ > η , 0 < η < ρ } и Ω 2 = {(ξ ,η ) 0 < ξ < ρ , η > ξ } .

Характеристики

Список файлов диссертации