диссертация (1097841), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

локальный параметр нелинейности имеет величину порядка нескольких единиц. Предполагая, что на длине упругойволны в микронеоднородной среде содержится большое число дефектов (хотявносимая ими поправка к упругому модулю E среды-матрицы еще мала), исуммируя вклады мягких и относительно жестких элементов, для связимакроскопической деформации и упругого напряжения в среде можно получить[Зайцев и др., 2001]:t ( )  E  E  d ( )   ( )e  (t  ) d t E  d ( )  e ( t  ) F     ( )e  (  ) d ' d ,(4.3)151где обозначено  E, так что   соответствует характерной релаксационнойgчастоте дефектов, а функция  () описывает их распределение по параметрумягкости . Первое слагаемое E в (4.3) соответствует вкладу однородной средыматрицы, второй релаксационный член описывает линейный вклад дефектов вупругость и диссипацию, а последнее слагаемое соответствует нелинейному вкладудефектов. В низкочастотном пределе, когда характерные частоты  деформациилежат значительно ниже  , последнее нелинейное слагаемое описывает обычный“мгновенный” нелинейно-упругий отклик среды.

Наличие релаксационногооператора в нелинейном слагаемом описывает релаксационное “замораживание”реакции дефектов на быстропеременные воздействия с частотами  >>  . Этоозначает, что для микронеоднородных сред должна быть характерна выраженнаядисперсия их нелинейных свойств [Зайцев и др., 2001].Кроме того, последнее нелинейное слагаемое описывает и выраженнуюнелинейную диссипацию [Зайцев, Матвеев, 2006], хотя это следствие уже не такочевидно. Интуитивно кажется, что гораздо более существенным являетсялинейный диссипативный вклад дефектов, описываемый вторым слагаемым в (4.3),а амплитудно-зависимые релаксационные потери окажутся лишь малой поправкойк линейному поглощению. Подобным образом малой поправкой обычно являетсявклад нелинейного упругого слагаемого по сравнению с линейной упругойсоставляющей напряжения.

Проверим справедливость такого интуитивноговпечатления, считая, что в среде созданы квазистатическая приливная деформация 0 и осциллирующая сейсмическая деформация     0 eit на частоте  ипринимая квадратичной форму нелинейной функцииF(..) (квадратичногоприближения (4.2) достаточно для оценки роли малых квазистатическихприливных деформаций). Для большей наглядности результатов примем покаодинаковое значение параметра мягкости дефектов .

Тогда (4.3) можно записатькакt ( )  E E   ( )e ( t  )td  E  e ( t  ) F     ( )e (  ) d  d . (4.4) Подставляя в (4.4) выражение для деформации152 (t )   0      0   0 eit ,(4.5)выделим осциллирующую часть напряжения   (t )   0 eit , то есть содержащуюслагаемые с eit , но сначала преобразуем нелинейную функцию F(..), входящую в(4.4): F     ( )e  (  ) d    F   0  e  (  ) d     0  ei 'e  (  ) d    e i     i   F  0    0ei  2 F  0    0i       2 2 Используя разложение в ряд Тейлора в окрестности.(4.6)0, (4.6) разбивается надва слагаемых, первое из которых не является осциллирующей компонентой и непредставляет для нас интереса, а второе войдет в дальнейшее преобразование (4.4):     i  02  2   0   i  ei F  0   F  0      0ei  2 2 2222 2  0            (4.7)Тогда  (t )  E  0eit  1 2   0    i    i2 2 2   2 2   2 2   i    i  i 2 2 E  0e  1  2 2 2    0 222 2 2   1  i 2   0 1  i 2  E  0eit  1 22 2   1 21  itгде введена нормированная частота  .(4.8).Выделяя при указанных предположениях реальную и мнимую частиосциллирующего напряжения, получим из (4.3) следующие выражения дляэффективного упругого модуля средыEeff и декремента   Im EeffRe Eeff[O'Connell, Budiansky, 1978] для осциллирующей компоненты деформации вприсутствии квазистатического воздействия  0:153Eeff  0 1 2 1 12E 1 2 2 (1   2 ) 2  lin   nl     0 2 2 1 2 2 (1   2 ) 2,(4.9),(4.10)где использовано уже заложенное в (4.3) вполне оправданное предположение, чтовкладом однородной среды-матрицы в поглощение можно пренебречь.

Дляодинаковых дефектов их линейный вклад в декремент  lin демонстрирует хорошоизвестный релаксационный максимум, соответствующий  =  . Учет болеереалистичного широкого и плавного распределения дефектов  () по их мягкости(и частотам релаксации) позволяет получить [Zaitsev, Sas, 2000; Зайцев, Матвеев,2006] приблизительно постоянное в широком частотном диапазоне значениедекремента, что, как известно, типично для горных пород и многих другихмикронеоднородных сред. Однако простые уравнения (4.9) и (4.10) с единственнымвременем релаксации дают особенно наглядное представление о взаимосвязяхмежду линейными и нелинейными (в нашем случае – зависимыми от приложеннойквазистатической деформации  0) упругими и диссипативными свойствамиматериала, которые обычно упускаются в значительно более сложных моделяхсреды, используемых в акустике и геофизике.Последнее слагаемое в выражении (4.10) показывает, что учтенные в моделихорошо известные свойства приводят к выраженной амплитудно-зависимойдиссипации.

Как видно из (4.9) и (4.10), линейные и нелинейные вклады дефектов(как реактивный упругий, так и диссипативный) определяются одними и теми жеих параметрами в похожих комбинациях. Однако, при этом имеется следующаясущественная разница: дефекты дают одинаковые по порядку величинынелинейные вклады в относительное изменение упругого модуляEeffEи вабсолютное (а не относительное!) изменение декремента . Поэтому, в связи с тем,что даже в средах с дефектами (таких, как горные породы) декремент практическивсегда много меньше единицы ( << 1), оказывается, что амплитудно-зависимые (в154нашем случае от  0) относительные вариации декрементамногократно  ~выше,чемсопутствующиеимвариации~ nlоказываются linупругогомодуляE.

Ниже будет показано, что и абсолютная величина амплитудноEзависимых вариаций декремента может быть сравнима с его начальной линейнойвеличиной  lin при реалистичных значениях параметров дефектов.4.2.1 Сопоставление модели с данными по приливной модуляции волн,излучаемых высокостабильными сейсмическими источникамиПрежде, чем обратится непосредственно к модуляции сейсмических шумов,проверим обоснованность выбора параметров модели среды, сопоставив ее сданными по наблюдению приливной модуляции излучения искусственныхсейсмических источников [Reasenberg, Aki, 1974; Глинский и др., 1999; Solodov,Korshak, 2002; Боголюбов и др., 2004].

Для выполнения соответствующих оценоквведенные параметры модели нетрудно соотнести со свойствами реальныхдефектов в геоматериалах. Например, как хорошо известно [Reasenberg, Aki, 1974],различные модели трещин согласованно предсказывают, что трещины с аспектотношением  (т.е. отношением раскрыва трещины к ее характерному диаметру)могут быть закрыты при создании в среде макроскопической деформации  0 ~ .Это означает, что в наших терминах показатель мягкости такого дефекта  ~ , приэтом для трещин в реальных горных породах вполне типичны значения ~ 10-4 − 10-5 [Reasenberg, Aki, 1974].

Кроме того, следует учесть, что реальныетрещины представляют собой не просто гладкие разрезы, а обычно имеютволнообразные неровности на поверхностях. Такие неровности создают втрещинах вытянутые области, образующие (или способные образовать принебольшом дополнительном сжатии) контакты с полосковой геометрией. Длянашего обсуждения очень важно то, что в области такой неровности контакт междуповерхностями трещины может возникать (или наоборот пропадать) даже придеформации среды много меньшей (скажем, в 10 − 100 раз) по сравнению с155деформацией, необходимой для полного закрытия/открытия трещины [Zaitsev et al.,2002, 2003]. При этом существенно, что жесткость, вносимая таким полосковымконтактом, может быть уже сравнима с арочной жесткостью всей трещины[Fillinger et al., 2006]. Это означает, что для трещины с аспект-отношением ~ 10-4 − 10-5 и полосковым контактом внутри (наличие которых является скорееправилом, чем исключением для реальных трещин) эффективная жесткость можетбыть изменена на величину ~ 50% при создании в среде деформации  0 ~ 10-6 − 10-7,т.е.

в 10 − 100 раз меньшей, чем деформация  0 ~  ~ 10-4 − 10-5, требующаяся дляполного закрытия/открытия трещины. Следовательно, в терминах обсуждаемоймодели, для такой трещины с контактом эффективный параметр мягкости ,характеризующий ее чувствительность к создаваемой в среде деформации,оказывается уже не просто порядка аспект-отношения  ~ 10-4 − 10-5, а можетдостигать значений  ~ 10-6 − 10-7. Важно подчеркнуть, что в рамках традиционноиспользуемого представления о трещине-разрезе такие значения параметрамягкости представляются совершенно нереалистичными, так как требуютсоответствующих нереально малых значений аспект отношения, при которыхтрещины будут просто полностью закрыты очень незначительными внешниминапряжениями.Далее можно отметить, что введенному в модель на реологическом уровнелинейному релаксационному поглощению могут быть сопоставлены линейныетермоупругие потери (которые оказываются на порядки повышенными на мягкихконтактахитрещиноподобныхдефектахвсилулокальноповышенныхдеформаций и градиентов вызванных ими вариаций температуры [Zaitsev et al.,2002, 2003].

Это могут быть и обычные вязкие потери, вызванные присутствием вдефекте жидкости. Однако для получения дальнейших оценок детальное знаниеприроды соответствующего механизма даже не требуется, поскольку эти потериучитываются в модели через характерные релаксационные частоты дефектоврелаксаторов и их концентрацию .Необходимое для дальнейшего рассмотрения отношение, которое входиткак в линейные, так и нелинейные слагаемые, связанные с присутствием дефектов,156можно оценить, используя типичные для горных пород значения линейногопоглощения. Так, предполагая типичную величину добротности Q  100 длярелаксационного пика, описываемого линейным слагаемым в уравнении (4.10),получаем, что 2  2 102 . QТогда,  = 210-6 для  = 10-4 и  = 210-7 для  = 10-5.Далее для оценки величин нелинейных членов примем значения локального(собственного) параметра нелинейности  дефектов на уровне ”обычного” уровнянелинейности  = 3 − 8, типичного для однородной среды [Зарембо, Красильников,1970].

Этого достаточно для получения на основе (4.9) и (4.10) оценки величинымакроскопического параметра нелинейности: macro 22 (8...24) 102 для  = 10-4,macro = (8 … 24)103 для  = 10-5.Допуская (как пояснено выше) наличие дефектов с еще большей эффективноймягкостью,скажем, = 10-6,получаемещеболеевысокиезначения56макроскопического параметра квадратичной нелинейности  macro ~ 10 ...10 длятого же значения.На этом этапе необходимо подчеркнуть, что исходное уравнение (4.3) былополучено [Зайцев и др., 2001] для достаточно малой концентрации дефектов <<  , причем увеличение их концентрации дает только ограниченный ростпараметра нелинейности.

Характеристики

Список файлов диссертации