Диссертация (1097781), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5.2 . Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå óðîâíåé ýíåðãèè â ñèñòåìå ñâÿçàííûõ êâàíòîâûõòî÷åê. Êâàíòîâàÿ òî÷êà ñ óðîâíåì ýíåðãèèε2 (âòîðàÿ) âçàèìîäåéñòâóåò ñ ñîñòîÿíèÿìèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà.Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âñÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà â ñèñòåìå ëîêàëèçîâàíà â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå íà óðîâíå ýíåðãèè ε1 è èìååòâåëè÷èíó n1 (0).  ïåðâóþ î÷åðåäü äëÿ àíàëèçà ïðîöåññîâ ðåëàêñàöèè íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü òî÷íûå çàïàçäûâàþùèå ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ êàæäîé èçêâàíòîâûõ òî÷åê.  îòñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó êâàíòîâûìè òî÷êà′′0Rìè ôóíêöèè Ãðèíà G0R11 (t − t ) è G22 (t − t ) îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè:′′′′′′−iε1 (t−t )G0R11 (t − t ) = −iΘ(t − t )e′−iε2 (t−t )−γ(t−t )G0R22 (t − t ) = −iΘ(t − t )e(5.11)ãäå γ = πνk0 Tk2 ñêîðîñòü ðåëàêñàöèè çàðÿäà èç âòîðîé êâàíòîâîé òî÷êèâ ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà.
Çàïàçäûâàþùàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿýëåêòðîíîâ GR11 îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé â ïåðâîé òî÷êå è ìîæåòáûòü âû÷èñëåíà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ:0R0R 2 0R RGR11 = G11 + G11 T G22 G11(5.12)217êîòîðîå ïðåäñòàâèìî â ýêâèâàëåíòíîé äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:′R(G0R−1− T 2 GR1122 )G11 = δ(t − t )′0R−1(GR−1− T 2 )GR22 G1111 (t, t ) = 0(5.13)(5.14)′ïðè (t ̸= t )((i∂∂′− ε2 + iγ)(i − ε1 ) − T 2 )GR(t,t)=011∂t∂t(5.15)Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøàÿ óðàâíåíèå (5.15), ïîëó÷èì âðåìåííóþ çàâèñè′ìîñòü äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà GR11 (t, t ):′′−iE1,2 (t−t )GR11 (t, t ) ∼ e(5.16)Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû E1,2 óðàâíåíèÿ (5.12) ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ:(E − ε1 )(E − ε2 + iγ) − T 2 = 011√E1,2 = (ε1 + ε2 − iγ) ±(ε1 − ε2 + iγ)2 + 4T 2(5.17)22Çàïàçäûâàþùàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà, îïðåäåëÿþùàÿ èçìåíåíèå ñïåêòðà,âûçâàííîå ìåæ÷àñòè÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì, èìååò âèä:′GR11 (t, t )E1 − ε2 + iγ −iE1 (t−t′ ) E2 − ε2 + iγ −iE2 (t−t′ )= iΘ(t − t )(−)eeE1 − E2E1 − E2(5.18)′Çíàÿ ÿâíûé âèä âûðàæåíèÿ äëÿ çàïàçäûâàþùåé ôóíêöèè Ãðèíà(5.18), ðàññìîòðèì êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì ýëåêòðîííàÿ ïëîòíîñòü èññëåäóåìîé ñèñòåìû, âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ′êåëäûøåâñêîé ôóíêöèåé Ãðèíà G<11 (t, t ) ïðè ñîâïàäàþùèõ âðåìåííûõ àðãóìåíòàõ.G<11 (t, t) = in1 (t)(5.19)218Óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè G<11 èìååò âèä:′0<0< 2 0A A0R 2 0R <0R 2 0< AG<11 (t, t ) = G11 + G11 T G22 G11 + G11 T G22 G11 + G11 T G22 G11 (5.20)Äåéñòâóÿ ñëåâà îïåðàòîðîì G0R−1, ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5.20) â âè11äå:′<G0R−1G(t,t)1111∫∂′′<2 ∞<= (i − ε1 )G11 (t, t ) = Tdt1 G0R(t,t)G(t,t)+1122110∂t∫∞′A+ T2dt1 G0<(5.21)22 (t, t1 )G11 (t1 , t ),0Óðàâíåíèå (5.21) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå:0R−1<2 0< A(G11− T 2 G0R22 )G11 = T G22 G11(5.22)Ôóíêöèÿ Ãðèíà G<11 îïðåäåëÿåòñÿ ñóììîé îäíîðîäíîãî è íåîäíîðîäíîãî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (5.22).
Íåîäíîðîäíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èìååòâèä:′G<11 (t, t )=T2∫ t0dt1∫ t′0′0<Adt2 GR11 (t − t1 )G22 (t1 − t2 )G11 (t2 − t )(5.23)Ôóíêöèÿ Ãðèíà G0<22 ìîæåò áûòü íàéäåíà èç óðàâíåíèé äëÿ ôóíêöèè<G11 ñ çàìåíîé èíäåêñà 1 íà èíäåêñ 2. Òîãäà, âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ÃðèíàG0<22 èìååò âèä:′′i∫′−γ(t+t )−iε2 (t−t )G0<(t,t)=in(0)·e·e+dω · f (ω) ·222π′′′γ−iω(t−t )−iε2 (t−t )−γ(t+t )··[e+e−(ω − ε2 )2 + γ 2′′′−e−iε2 t−γt+iωt − eiε2 t −γt −iωt ](5.24)Âûðàæåíèå (5.24) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà G0<22 ñîäåðæèò ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàþùåå ñëàãàåìîå, îñöèëëèðóþùåå ñëàãàåìîå è ñëàãàåìîå, êîòîðîåîïðåäåëÿåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå. Äàëåå äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñëóF÷àé, êîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå εi −ε>> 1. Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ñòàöèγîíàðíûå ÷èñëà çàïîëíåíèÿ âî âòîðîé êâàíòîâîé òî÷êå â îòñóòñòâèè âçàèìîγäåéñòâèÿ ìåæäó òî÷êàìè èìåþò ïîðÿäîê âåëè÷èíû ε2 −ε<< 1.
Òàêèì îáFðàçîì, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ñîîòâåòñòâóþùèìè ÷ëåíàìè â âûðàæåíèè (5.24)äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà G0<22 .219Ìû ðàññìàòðèâàåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, êîãäà âåñü çàðÿä â ñèñòåìåëîêàëèçîâàí â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå. Ôóíêöèÿ Ãðèíà G0<22 (0, 0) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïðèíèìàåò çíà÷åíèå áëèçêîå ê íóëþ (G0<22 (0, 0) ≃ 0),′<è ôóíêöèÿ Ãðèíà G11 (t, t ) îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî îäíîðîäíûì ðåøåíèåìäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Îäíîðîäíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ èìååò âèä:′′′−iE1 tG<+ f2 (t )e−iE2 t11 (t, t ) = f1 (t )e(5.25)′Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèè G< (t, t ) âûïîëíåíû òðåáîâàíèÿ ñèììåòðèè,òî âåðíî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:′′∗<(G<11 (t, t )) = −G11 (t , t)(5.26)Òîãäà∗ ′∗ ′′−iE1 t+iE1 t+ iBe−iE1 t+iE2 t +G<11 (t , t) = iAe∗ ′∗ ′+iB ∗ e−iE2 t+iE1 t + iCe−iE2 t+iE2 t(5.27)Ðåøåíèå (5.27) äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü îäíîðîäíîìó èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (5.22) (áåç ïðàâîé ÷àñòè).
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (5.25) â óðàâíåíèå (5.22) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå′′ñîîòíîøåíèå ìåæäó ôóíêöèÿìè f1 (t ) è f2 (t ):′f1 (t )ε2 − E1 − iγ=−′f2 (t )ε2 − E2 − iγ(5.28)Ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ(5.29)<G11(0, 0) = in01 ,ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü ÷èñåë çàïîëíåíèÿ n1 (t) îò âðåìåíè â ïåðâîéêâàíòîâîé òî÷êå:′∗′∗′∗n1 (t) = n01 · (A e−i(E1 −E1 )t + 2Re(B e−i(E1 −E2 )t ) + C e−i(E2 −E2 )t ) (5.30)220ãäå êîýôôèöèåíòû A′ , B ′ è C ′ èìåþò âèä:|E2 − ε1 |2 ′|E1 − ε1 |2;C=|E2 − E1 |2|E2 − E1 |2(E2 − ε1 )(E1∗ − ε1 )′B = −|E2 − E1 |2′A =(5.31)Âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ âî âòîðîé êâàíòîâîé òî÷êå′<îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà G<22 (t, t ) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì G22 (0, 0) =0.
 ñîîòâåòñòâèè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè n2 (0) = 0, n1 (0) = n0 , ýâîëþöèÿ÷èñåë çàïîëíåíèÿ âî âòîðîé êâàíòîâîé òî÷êå n2 (t) îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîðîäíîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Çàâèñèìîñòü ýëåêòðîííûõ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ îò âðåìåíè n2 (t) âî âòîðîé êâàíòîâîé òî÷êåèìååò âèä:∗∗∗n2 (t) = (De−i(E1 −E1 )t + 2Re(Ee−i(E1 −E2 )t ) + F e−i(E2 −E2 )t )(5.32)ãäå èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ D, E èF:D=F =T2;|E2 − E1 |2E=−T2|E2 − E1 |2(5.33)Âûðàæåíèÿ (5.30) è (5.32) îïèñûâàþò ñóùåñòâîâàíèå â ñèñòåìå òðåõêàíàëîâ (ìîä) ðåëàêñàöèè, õàðàêòåðèçóþùèõñÿ ðàçëè÷íûìè âðåìåííûìèìàñøòàáàìè.
Ïåðâîìó è âòîðîìó êàíàëàì ñîîòâåòñòâóþò ñêîðîñòè ðåëàêñàöèè (|E1 − E1∗ |) è (|E2 − E2∗ |) . Åùå îäèí õàðàêòåðíûé âðåìåííîé ìàñøòàáâ ñèñòåìå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (|E1 − E2∗ |). Ýòîò âðåìåííîé ìàñøòàáïðèâîäèò ê ôîðìèðîâàíèþ çàðÿäîâûõ îñöèëëÿöèé â îáåèõ êâàíòîâûõ òî÷êàõ, êîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû T è γ : T /γ > 1/2.Ïðîàíàëèçèðóåì ïîäðîáíî ðàçëè÷íûå ðåëàêñàöèîííûå ðåæèìû, âîçíèêàþùèå â ñèñòåìå, â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèé ìåæäó ïàðàìåòðàìè.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ñëó÷àè: ñëó÷àå ðåçîíàíñíîãî òóííåëèðîâàíèÿ ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè âêâàíòîâûõ òî÷êàõ ε1 ≃ ε2 :2211) Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2T < γ ïðèâîäèò ê îòñóòñòâèþ îñöèëëÿöèéçàðÿäîâîé ïëîòíîñòè â êàæäîé èç êâàíòîâûõ òî÷åê ïðè ðåëàêñàöèè çàðÿäà. ýòîì ñëó÷àå âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:E1 −E2 −E1 −E1∗E2∗E2∗√= −iγ(1 − 1 − (4T 2 )/γ 2 )√= −iγ(1 + 1 − (4T 2 )/γ 2 )= −iγ(5.34)2)  ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå 2T ≪ γ , âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿçàðÿäîâîé ïëîòíîñòè â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì:2T 2 − 2Tγ 2 t 2T 2 −γt 0 n1 (t) = n1 1 + 2 e− 2 eγγ(5.35)Îñíîâíàÿ ÷àñòü çàðÿäà çàòóõàåò ñî ñêîðîñòüþ(5.36)γres = 2T 2 /γ3)  ñèñòåìå äâóõ ñâÿçàííûõ êâàíòîâûõ òî÷åê ñóùåñòâóåò îñîáûé ðåæèì ðåëàêñàöèè çàðÿäà, êîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå 2T = γ .
 ýòîì ñëó÷àåçàðÿä â êàæäîé èç êâàíòîâûõ òî÷åê ðåëàêñèðóåò íå ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìóçàêîíó. Âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ òî÷åê îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèÿìè:n1 (t) = n01 (1 + γt)e−γtn (t) = γ 2 T 2 e−γt2(5.37)4) Ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèÿ 2T > γ ðåëàêñàöèÿ çàðÿäîâîé ïëîòíîñòè â ñèñòåìå ñîïðîâîæäàåòñÿ ôîðìèðîâàíèåì îñöèëëÿöèé â êàæäîé èç√êâàíòîâûõ òî÷åê ñ õàðàêòåðíîé ÷àñòîòîé Ω = 4T 2 − γ 2n1 (t) = n01 e−γt1[1 + cos(2T t)]2(2T ≫ γ2 )(5.38)Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé íåðåçîíàíñíîãî òóííåëèðîâàíèÿ ìåæäóêâàíòîâûìè òî÷êàìè.
Âäàëè îò ðåçîíàíñà, êîãäà âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå222ìåæäó ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû |ε1 − ε2 | ≫ γ, T , ðåëàêñàöèÿ çàðÿäîâîé ïëîòíîñòè â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì:2T 2 − (ε 2T−ε2 )2 γt2T 20 n1 (t) = n1 1 −e 1 2+cos[(ε1 − ε2 )t] e−γt 22(ε1 − ε2 )(ε1 − ε2 )(5.39)Ñêîðîñòè ðåëàêñàöèè γres è γnonres â ñëó÷àÿõ ðåçîíàíñíîãî è íåðåçîíàñíîãî òóííåëèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìèñîîòíîøåíèÿìè:γres2T 2=γγnonresγ2= γres(ε1 − ε2 )2(5.40) íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àå ñêîðîñòü ðåëàêñàöèè îñíîâíîé ÷àñòè çàðÿäà ñèëüíî óìåíüøàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðåçîíàíñíûì ñëó÷àåì.
Ðàçëè÷èåñêîðîñòåé ðåëàêñàöèè â ðåçîíàíñíîì è íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àÿõ ìîæåò áûòüèñïîëüçîâàíî äëÿ êîíòðîëèðóåìîãî èçìåíåíèÿ ëîêàëüíîé çàðÿäîâîé ïëîòíîñòè â ñèñòåìå ñâÿçàííûõ êâàíòîâûõ òî÷åê ïðè èçìåíåíèè âî âðåìåíè ïîëîæåíèÿ óðîâíÿ ýíåðãèè îäíîãî èç ëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé, íàïðèìåð,çà ñ÷åò ïåðèîäè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ âíåøíèì ïîëåì. Êðîìå òîãî, â òàêèõñèñòåìàõ âîçíèêàåò íåñòàöèîíàðíûé òóííåëüíûé òîê ïðè íóëåâîì íàïðÿæåíèè íà êîíòàêòå. Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ êâàíòîâûõ òî÷åê, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ñîñòîÿíèÿìè íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà,ìîæåò áûòü ñîçäàí ýëåêòðîííûé çàðÿäîâûé íàñîñ. Ìîäåëü òàêîãî íàñîñà,îöåíêà åãî õàðàêòåðèñòèê, à òàêæå âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ â íàíîýëåêòðîíèêå ðàññìîòðåíû â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå [286]. 5.3.
Ìîäåëü íåàäèàáàòè÷åñêîãî ýëåêòðîííîãî çàðÿäîâîãî íàñîñà íà îñíîâå ñâÿçàííûõ êâàíòîâûõ òî÷åê íàñòîÿùåå âðåìÿ ýëåêòðîííûå íàñîñû íà áàçå íàíîñòðóêòóð ÿâëÿþòñÿ îáúåêòîì èíòåíñèâíûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé. Òàêèå èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ àêòóàëüíûìè äëÿ ñîçäàíèÿ âûñîêî÷àñòîòíûõ óñèëèòåëåé è äåòåêòîðîâ, ôóíêöèîíèðóþùèõ íà ýôôåêòå ðåçîíàíñíîãî òóííåëèðîâàíèÿ, àíàëîãîâûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé, ìèêðîñåíñîðîâè èçëó÷àòåëåé, ãåíåðèðóþùèõ ñâåðõêîðîòêèå èìïóëüñû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
