Диссертация (1097698), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Представление Дирака (стандартное представление)Матрицы в блочном виде:()()1̂ 00 0 = 0 =, = − =,0 −1̂− 0(Σ = 0 5 = 00 )(, 5 =0−1̂−1̂0( = 0 =)0 ) 0(, C = 2 0 = −2 = −0 22 0;).(А.13)А.2.2. Спинорное представление (киральное, вейлевское)Матрицы в блочном виде:()()()0 1̂0 − 0, = − =, = 0 =; 0 = 0 = 00 −1̂ 0)()()(−1̂ 0−2 0 0, 5 =, C = 2 0 = −2 = −.Σ = 0 5 =0 0 1̂0 2(А.14)Связь спинорного (вейлевского) представления со стандартным [292]:)(()1̂ 1̂105− (А.15)== V V+ , V = √ 21̂ −1̂А.2.3. Майорановское представлениеМатрицы в блочном виде:()()()0 23 00 −20 =, 1 =, 2 =,2 00 32 0)()()(−10−2 00 −2, 5 =, C=.3 =−2 00 −10 2(А.16)Связь майорановского представления со стандартным:1 122√ (1 − = √ (1 + )).22(А.17)Приложение БРелятивистски-ковариантные операторыполяризации спина1)Б.1.
Операторы для свободной частицыБ.1.1. Векторный оператор поляризацииОбщее выражение для четырехмерного псевдовектора спина:Ŝ = 5 ( − p / ) .Его компоненты можно перечислить в виде{}Ŝ = (Σp) / , 0 Σ − 5 p/ .(Б.1)(Б.2)Все компоненты этого оператора являются интегралами движения для случая свободной частицы Дирака.Б.1.2. Тензорный оператор поляризацииOбщее выражение для тензорного оператора поляризации – антисимметричного тензора второго ранга:Π̂ = − ( p − p ) ,отличные от нуля компоненты тензора Π̂ имеют вид() ( ) ()1020300ˆΠ̂[Σ×p]Π̂Π̂Π̂ ===.ˆΠ̂23 Π̂31 Π̂12Σ + 0 5 [Σ × p](Б.3)(Б.4)Операторы и называются компонентами электрической и магнитной поляризации. Они коммутируют со свободным гамильтонианом Дирака, и поэтому являются интегралами движения.1)См.
работы [228, 291].259Заметим, что «на решениях уравнения Дирака», т. е. в предположении,что все операторы реализуются, действуя на волновую функцию, удовлетворяющую уравнению Дирака, оператор может быть записан в следующемэквивалентном виде:ˆ = 0 Σ + 0 5 p.(Б.5)Б.2. Операторы для заряженной частицыво внешнем полеПри движении заряженной дираковской частицы во внешнем электромагнитном поле операторы поляризации спина Ŝ и Π̂ допускают простое обобщение, которое достигается заменой оператора p на оператор = p − ( = {, A}).
После этой замены операторы Ŝ и Π̂ уже не являются, вообще говоря, интегралами движения, то есть вопрос об их сохранении долженбыть рассмотрен конкретно для каждой задачи.Б.2.1. Интегралы движенияПри движении электрона в однородном магнитном поле H = {0, 0, } сохраняется проекция оператора Ŝ на направление поляŜ3 = 0 Σ3 − 5 3 / ,(Б.6)а также проекция на направление поляˆ3 = Σ3 + 0 5 [Σ × ]∣3 .(Б.7)Б.2.2.
Инвариантные операторы поляризацииИногда полезно рассмотреть инвариантные операторы поляризации:M1 = ˜ Ŝ ;M2 = Π̂ /2,(Б.8)где ˜ – дуальный тензор поля (А.4), = /2 – магнетон Бора. В случаеоднородного магнитного поля оба инварианта сводятся к операторуM1 = M2 = M = ˆ3 .(Б.9)Приложение ВЧастоты плазмонов спинового света нейтриноКак было указано в разделе 6.3.4, одной из характерных особенностейкинематики процесса спинового света нейтрино, проявляющейся при учетевлияния электронной плазмы на SL-фотоны, является двузначная зависимость частоты излучаемых плазмонов от угла вылета , т.
е. от угла между импульсами начального нейтрино и излучаемого плазмона. При этом длякаждого фиксированного значения угла вылета фотона (плазмона) (при < 0 , см. (6.84) и (6.97)) возможно излучение спинового света на двух частотах: 1 и 2 (см. формулу (6.83) и рис. 6.11).Данные выводы требуют небольшого уточнения. Учитывая характерныезначения энергии нейтрино и плотности среды, использованные в разделе6.3.4, рассмотрим угловую зависимость для частоты плазмонов 1 (см. (6.83)и рис. 6.11) в области очень малых углов .
Указанная зависимость изображена на рис. В.1а (данная область углов не отображалась на рис. 6.11).Анализ показывает (см. рис В.1а), что при 2 < < 0 частота излучаемых плазмонов равна 1 и определяется формулой (6.83) (сплошная линияна рис В.1а), но при углах 0 < < 2 излучение плазмонов будет идти начастоте 3 (штрих-пунктирная линия на рис. В.1а при < 2 ), причем√()222√ cos − − 4 sin 223 = 3 + , где 3 =.(В.1)2 sin2 Угол 2 определяется точкой пересечения кривых, отвечающих угловым зависимостям для частот 1 и 3 (см. рис. В.1а), и равен[ √][ √]24˜ − 2˜ (1 − )2 = arcsin=arcsin.
(В.2)2 ( + (1 + (˜˜)2 − 2/))2 − 4˜/В последнем равенстве в формуле (В.2) использован параметр (см. (6.90)),характеризующий степень «удаленности» от порога реакции. Заметим, что261Рис. В.1. Угловые зависимости частот плазмонов при малых углах вылета. Сплошнаялиния: частота 1 (6.83), штрих-пунктирная линия: частота 3 (В.1). Рассматриваетсяслучай, далекий от порога: импульс нейтрино = 3,07 ⋅ 102 ТэВ, масса плазмона = 8,87 МэВ, параметр плотности среды ˜ = 3,2 эВ.
(а) = 0, (б) = 0,1 эВ.пересечение кривых, отвечающих частотам 1 и 3 , происходит только в предположении о нулевой массе нейтрино ( = 0), см. рис. В.1а. Если же массанейтрино не равна нулю в точности, то пересечение кривых отсутствует благодаря взаимному «отталкиванию» соответствующих уровней энергии, см.рис. В.1б.В итоге, если пренебречь массой нейтрино (а именно в этом приближениипроделаны все основные расчеты в разделе 6.3.4), то мы получаем следующую картину. Двузначная зависимость частоты SL-плазмонов от угла вылета имеет место во всем диапазоне углов 0 < < 0 , однако при 2 < < 0излучаются плазмоны с частотами 1 и 2 (см.
рис. 6.11), а при 0 < < 2– плазмоны с частотами 3 и 2 . В условиях большой удаленности от порогапроцесса (когда → 0) угол 2 становится исчезающе малым (см. (В.2)), поэтому излучение на частоте 3 практически отсутствует. Это хорошо виднои на рис. В.1, где параметр имеет значение = 0,02 ≪ 1.По мере приближения к порогу реакции (когда → 1) ситуация изменяется, и излучение плазмонов с частотой 3 начинает играть все бóльшую роль(см. рис. В.2, где изображены угловые зависимости для частот плазмонов 1 ,2 и 3 в «ближней» надпороговой области, причем участки соответствующих кривых, отвечающие физическим значениям параметров, т.
е. непосредственно относящиеся к излучению, выделены «толстыми» линиями). Из рис.262Рис. В.2. Угловые зависимости частот плазмонов в ближней надпороговой области.Сплошная и штриховая линии: частоты 1 и 2 (6.83), штрих-пунктирная линия:частота 3 (В.1). (а) (1 − ) ≃ 10−11 , (б) (1 − ) ≃ 10−13 . Во всех случаях массаплазмона = 8,87 МэВ, параметр плотности среды ˜ = 3,2 эВ, пороговая энергияп ≃ 6,14 ТэВ, см. (В.5); масса нейтрино = 0.В.2б, в частности, видно, что при (1 − ) < ˜/ ≪ 1 излучение идет толькона частотах 2 и 3 , а роль предельного угла углового распределения (см.(6.97)) играет уже не угол 0 , а угол 1 , который определяется из уравнения2 = 3 . Решение последнего уравнения дает для угла 1 значение, в точностисовпадающее с 2 (т. е.
1 = 2 , см. (В.2)).Приведем приближенные выражения для углов 1 и 0 , справедливые врассматриваемом здесь пределе (1 − ) ∼ ˜/ ≪ 1 :[]1/21 = 2 ≃ arcsin 2 (˜/) (1 − ),(В.3)[]1/20 ≃ arcsin (˜/) ((1 − ) + ˜/) .(В.4)Из выражения (В.3) следует, что при достижении порога ( = 1) предельный угол углового распределения обращается в ноль, и, следовательно, приэтом излучение отсутствует.
Интересно отметить, что в данном предельномслучае кривые, определяющие угловые зависимости для частот 2 и 3 , будуткасаться друг друга при = 0 (см. рис. В.2б), поэтому решение уравнения2 = 3 при = 0 позволяет получить значение порога нашего процесса (вслучае, когда → 0, см. (6.82)):пор = пор ≃ 2 /4˜.(В.5)Список литературы1. Паули В. К старой и новой теории нейтрино // Теоретическая физика20 века. Памяти Вольфганга Паули: пер. с англ. / Под ред.
Я. А. Смородинского. — М. : ИЛ, 1962. — С. 386–412.2. Bethe H., Peierls R. The “Neutrino” // Nature. — 1934. — Vol. 133. — P. 532.3. Reines F., Cowan, Jr. C. L. Free Anti-Neutrino Absorption Cross-Section.1: Measurement of the Free Anti-Neutrino Absorption Cross-Section byProtons // Phys. Rev. — 1959. — Vol. 113, no. 1. — P. 273–279.4. Fermi E. Versuch einer Theorie der -Strahlen I // Z. Phys. — 1934. —Vol.
88, no. 1,2. — P. 161–177.5. Perrin M. F. Possibilité d’émission de partikules neutres de masseintrinsèque nulle dans les radioactivités // C. R. Ac. Sci. — 1933. — Vol.197, no. 13. — P. 1625–1627.6. Boehm F., Vogel P. Physics of Massive Neutrinos. — 2nd edition. —Cambridge, New York : Cambridge University Press, 1992. — 249 p.7. Olive K.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
