Диссертация (1097582), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Алгоритм Ванга-ЛандауК методам расширенных ансамблей близок метод мультиканонического (илиэнтропического) моделирования [296,304]. Фактически это микроканонический ансамбль,48“расширенный” по энергии. Предложен весьма эффективный его вариант (вариант савтоматической настройкой параметров), – алгоритм Ванга-Ландау [25,26].Алгоритм Ванга-Ландау (ВЛ) позволяет рассчитать плотность состояний g(A) длянекоторой наблюдаемой физической величины A, т.е. число (микро)состояний системы сданным значением величины A.
Изначально этот алгоритм [25,26] был предложен длярасчета плотности состояний g(E) для полной энергии E, но в общем случае в качественаблюдаемой величины A может фигурировать не только полная энергия, но и, например,один из вкладов в полную энергию, или характерный линейный размер системы, иливеличина характерного для данной системы параметра порядка и т.д.Более того, в качестве величины A может выбираться даже не значение некоторойвнутренней физической величины, которая может быть рассчитана для данной системы,но и значение какого-либо внешнего входного параметра моделируемой системы, еслисамо моделирование проводится не при фиксированном значении, а сразу в некоторомдопустимом интервале значений этого параметра. Обычно здесь имеется в виду «параметррасширения» в некотором расширенном ансамбле.
В этом случае терминология другая:алгоритм ВЛ позволяет рассчитать весовую функцию g(A) для внешнего входногопараметра A, которая есть функция, обратно пропорциональная функции плотностивероятности выбрать данное значение входного параметра A для моделирования системы(см. уравнение (16) выше).В данной главе обсуждаются обе такие реализации алгоритма ВЛ, и соответственнопод величиной A мы будем подразумевать либо полную энергию системы E, либозначение параметра расширения («внешнее поле») h расширенного ансамбля вчетырехмерном пространстве. Для удобства будем здесь называть эти две реализациисоответственно алгоритмами ВЛ по внутреннему и по внешнему параметру.Суть алгоритма ВЛ по внутреннему параметру состоит в использованиинебольцмановской выборки с целью получить равномерную гистограмму для энергии(или другой внутренней наблюдаемой величины A). В вероятность принятия пробногошага входит очередная (актуальная на данный момент) итерация функции плотностисостояний.
Функция плотности состояний изменяется в ходе специальной итерационнойпроцедуры в ходе моделирования до тех пор, пока ее изменения не станут меньше заранеезаданной точности, т.е. пока итерационная процедура не сойдется к правильной функцииплотности состояний. Зная функцию плотности состояний и накопив гистограммузначений наблюдаемых физических величин, можно рассчитать статсумму и пересчитатьравномерные гистограммы на функции распределения наблюдаемых величин в нужномстатистическом ансамбле.49Суть алгоритма ВЛ по внешнему параметру немного другая. При моделировании врасширенном ансамбле по параметру расширения надо обычно делать равномерноеблуждание, т.е.
обеспечить примерно одинаковую частоту использования всех значенийвнешнего параметра расширения в ходе моделирования, чтобы дойти от однойпредельной системы (идеальной в некотором смысле) до нужной нам реальной системы.Достигается это с помощью введениея весовых функций, которые рассчитываются в ходеспециальной итерационной процедуры.Алгоритм Ванга-Ландау реализуется следующим образом:1) в самом начале необходимо задать стартовую конформацию системы, значениягистограммы величины A приравнять нулю, а значения функции g приравнять единице,H(A)=0, g(A)=1 для всех значений A, задать начальное f0 и конечное ffinal значенияпараметра f, который является множителем для функции g, и максимальное значение δmaxпараметра δ, характеризующего равномерность гистограммы величины A; такимпараметром может служить, например, относительная разность максимального иминимального значений гистограммы, δ = ( H max - H min ) H max ; значения этих параметров,как правило, выбираются такими: f0 = 2 или f0 = e (основание натурального логарифма),ffinal = 1.0000001(некоторыепоясненияотносительновыборадаютсяниже),0.1 < δmax < 0.2;2) производится попытка изменения конформации системы (попытка перехода изсостояния 1 в новое состояние 2); для этого используются любые элементарные пробныешаги смещения, которые допускаются данным конкретным алгоритмом МК, с помощьюкоторого производится моделирование системы (локальные шаги смещения, алгоритм«скользящей змеи», алгоритм с конформационным смещением выборки, алгоритмы врасширенных ансамблях и т.д.); но вот только вероятность перехода в новуюконформацию определяется теперь не критерием Метрополиса [19], а другимиформулами; для ВЛ по внутреннему параметру вероятность перехода в новуюконформацию есть! g ( A1 ) "p ( A1 → A2 ) = min $1,%,gA()2 '&(18а)где A1 и A2 есть значения величины A соответственно в исходном (старом) ипробном (новом) состоянии, а для ВЛ по внешнему параметру вероятность принятия шагапереключения значения внешнего параметра A из A1 в A2 (шаг (г) в алгоритме впредыдущем подразделе 2.2) есть50p A1A1()AA1 A2 (A2A2min 1,g A2,(8 )A()," g ( A1 ) ρ {H ( A22.2))} #(18б)p ( A1 → A2 ) = min %1,&,2)ρ{g A'%1 g ( AHAH2 ( A1 )} &(p A1A2 min 1,,(8 )где ρ – плотность вероятностис гамильтонианом H,g данногоA2A1Hмикросостояния( )зависящим от – значения параметра A (само микросостояние не изменяется при шагеH,A (переключения значения внешнего параметра A); в частности, для конкретного случая,расширенного ансамбля вA);четырехмерном пространствеэта формула принимает вид (см.уравнения (6) и (7))( .p h1h2(6)min 1,(7))g h1 exp J h2 n h2 n4 dg h2 exp J h1 n h1n4 d..(8 )(18в)3)3) еслиэта )=g(Aвероятностьреализовалась и система перешла в новое состояние, то,g(A11)f, H(A1)=H(A1)+1,g(A2)=g(A)f,g(A1)=g(A1)f, H(A1)=H(A1)+1, а если попытка оказалась ,не принятойи 2системаосталась вH(A2)=H(A2)+1,gстарой конформации,то g(A2)=g(A2)f, H(A2)=H(A2)+1, то есть соответствующий элементf,1;массива g умножаетсяна параметр f, а соответствующий элемент массива гистограммы4)H(A):увеличивается на 1;,max ,4) производится проверка гистограммы H(A) на равномерность:рассчитывается,3;величина2 параметраδ, и если δ > δ , то есть гистограмма не удовлетворяет критериюmaxравномерности, повторяются пункты 2 и 3;135) если же критерий равномерностигистограммы H(A) выполняется, то естьδ < δ max , то производится изменение параметра f по формуле f = f (если f>ffinal),обнуляется гистограмма величины A, H(A)=0 для всех значений A, и алгоритм продолжаетработать опять с пункта 2; следует подчеркнуть, что значения функции g на этом шагеникак не меняются, то есть функция g продолжает накапливать изменения на протяжениивсего итерационного процесса (пункты 2-5), до тех пор пока множитель f не станетравным ffinal; после этого считается, что итерационная процедура сошлась и в результате ееработы получена с заранее заданной точностью функция g (функция плотности состоянийвеличины A или весовая функция внешнего входного параметра A), то есть можнопродолжать расчет согласно пунктам 2-4, только теперь не надо производить никакихизменений функции g в пункте 2.Типичный вид функции плотности состояний показан в качестве примера на рис.6для случая гибкой и полужесткой цепей, привитых одним концом к плоской поверхности,для разных значений длины цепи и параметра притяжения к поверхности, указанных влегенде (см.
раздел 3.2 ниже). Все кривые на этих графиках смещены таким образом,чтобы логарифм функции плотности состояний обращался в ноль при нулевой энергии51((условие нормировки). В качестве проверки сходимости алгоритма необходимовыполнить несколько независимых прогоны программы и сравнить получающиесяфункции плотности состояний, а также сравнить полученные из этих функцийзависимости средних значений наблюдаемых величин от температуры (см.
ниже формулыдля расчета средних).(a)(b)Рис.6. (a) Логарифм функции плотности состояний для гибких цепей, привитых кплоской поверхности одним концом, для разных значений длины цепи и параметрапритяжения к поверхности, указанных в легенде (см. раздел 3.2 ниже). (b) Логарифмфункции плотности состояний для полужестких цепей (значение параметра жесткостиравно 4), привитых к плоской поверхности одним концом, для разных значений длиныцепи и параметра притяжения к поверхности, указанных в легенде (см.
раздел 3.2 ниже).Рисунки взяты из работы [234].В ходе такого окончательного компьютерного расчета производится вычислениенаблюдаемых физических величин с нужной частотой, а в конце проводится усреднениепо формулам (для ВЛ по внутреннему параметру):52Z (T ) = ∫ exp(−E / kBT ) g ( E)dE ,AT=1A( E ) exp(− E / kBT ) g ( E )dEZ (T ) ∫(19)где A – среднее по всем конформациям с данной энергией Е. Для ВЛ по внешнемупараметру расширения используется простое арифметическое среднее наблюдаемыхфизических величин, так как усреднение требуется только в одной из подсистемрасширенного ансамбля, а именно в той, где находится нужная нам система (например,только для чисто трехмерных конформаций), а все переходы между состояниями в этойподсистеме осуществляются с помощью обычного критерия Метрополиса [19, 20].Осталось сделать еще несколько замечаний.
Первое из них касается условиядетального баланса (микроскопической обратимости) [20, глава 3]. Это условие состоит втом, что произведение функции плотности вероятности найти какое-либо состояние навероятность перехода (за один шаг алгоритма) в другое (доступное за один шаг) состояниедолжно равняться произведению функции плотности вероятности найти это другоесостояние на вероятность обратного перехода. Это условие является достаточным длятого, чтобы у марковского процесса (каковым является последовательность состоянийсистемы,получаемаявходемоделирования)существовалобыстационарное(инвариантное) предельное распределение вероятности состояний. Как видно изуравнения (18), условие детального баланса в алгоритме Ванга-Ландау имеет вид11p ( A1 → A2 ) =p ( A2 → A1 ) ,g ( A1 )g ( A2 )(20)где 1/g(A1) есть вероятность находится в состоянии A1, а p ( A1 → A2 ) естьвероятность перехода из состояния A1 в состояние A2 (за один шаг алгоритма).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
