Диссертация (1097582), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Общая идеология расширенных ансамблей обсуждается в обзоре [20]. Основная идеяданного конкретного алгоритма состоит в расширении пространства конформаций начетырехмерное пространство и разработке специальной процедуры в некотором смысле«равномерного» блуждания цепи в конформационном пространстве между чистотрехмерными и четырехмерными конформациями с разной «степенью выхода» изтрехмерного в четырехмерное пространство.
Четырехмерные конформации могутрассматриваться как трехмерные со снятым условием исключенного объема, т.е. сдопущением перекрывания мономерных звеньев. С этой целью вводится четвертаякоордината для мономерных звеньев, то есть рассматриваются две трехмерныеподрешетки, в одной из которой четвертая координата для мономерных звеньев равна 0, вдругой 1. Это, конечно, не есть четырехмерное пространство в истинном значении этогослова, а фактически две «параллельные» решетки.
Мономерные звенья с разнымизначениями четвертой координаты не взаимодействуют друг с другом (см. рис.4).44(x,y,z,1)(x,y,z,0)Рис.4. Схематическое изображениечетырехмерном пространстве.Рассмотримдалееэтотдвухалгоритмнатрехмерныхпримереподрешетокодиночнойвквази-жесткоцепноймакромолекулы. Гамильтониан такой системы представлен уравнениемN(13)H = H 0 + ∑ hx4 ( i )i =1где H0 – гамильтониан обычной трехмерной системы, x4(i) - четвертая координата iой частицы, принимающая значения 0 или 1. «Внешнее поле» h контролируетраспределение мономерных звеньев между двумя подрешетками. Для h=0 мономерныезвенья распределены равномерно между двумя подрешетками.
Дляh→∞всемономерные звенья имеют четвертую координату равную x4(i)=0, то есть находятся вобычном трехмерном пространстве. При уменьшении значений «внешнего поля»некоторые звенья оказываются во второй подрешетке, в то время как в первой подрешетке(трехмерие) уменьшается эффективная плотность структуры. Взаимодействие междумономерными звеньями в разных подрешетках отсутствует.
Таким образом различныечасти полимерной глобулы лучше перемешиваются, и укоряется процесс получениянезависимых конформаций.Гамильтониан одиночной полугибкой полимерной цепи, находящейся в трехмерии,записывается следующим образомN −2 UH0stiff (θ i )= − Jn + ∑k BTk BTi =145(14).,.z–(z–). ,,,.H0k BT.N, 2Jn.U stiffi 1ik BT,,(5)N 2Uгде n – полное число контактовмежду мономерными звеньями Hполимернойцепи.stiff В i0,n –JnN 2 U мономерных звеньев J kявляетсяk BTi 1.общем[23]случае параметр HвзаимодействияфункциейBTstiffi0Jn(5)n –h, J(h)., Jk BTk BTпараметра h, J(h). Тогда гамильтонианансамбля (4). выражается формулой1(4) iрасширенногоn –[24].....,0,1.,.H0(4)(4)ix (i) » 4h- 1.1.JN 2J h n bcosh, J(h).hn4 d(4)(6)i 1J h n b cos (15)hn4 d(4)ikTx4(i)=1n4d –i 1BN 2Hгде n(4d –, числомономерныхзвеньевhnx4(i)=1 (это,, 4сd четвертойn4d – координатойJ ,h n b cos(6)ikT( ,степень выхода,, ),i 1собственно, и естьB параметр, характеризующийконформацийиз.–x(i)=1n4d4h h k B, T .( ,,h h k BT ..
Статсумма цепи в такомтрехмерногопространства в четырехмерное),, . .N 2),1N 21ZJhnbhn(7)expcosансамблевыражаетсяформулойZJhnbexpcosid4h h k BT .h g ( h) ci 1h g ( h) ci 1N 21«g(h)–«,,Zhn»– h, (7)exp J h n b cos g(h)(16) » h,J»Hh, J(h).k BThg ( h)iicHN 24di 1«».« g(h) –».«» h,.где g(h) – весоваяфункция «внешнего поля» h, а суммы берутся соответственно по: ): ),«».цепи и по)«всем конформациямвсем значениям «внешнегополя»..)«» [18, 20], ): )ансамбле элементарным шагом МК являются,следующие шаги:( .
.4- а)В расширенномN)«»[18,20],)h.( .(4).4), )hx4 iлокальноеперемещениеслучайновыбранногозвена,б)билокальныеперемещенияпо,i 1h.h( . . , x4(i) 4), ),.алгоритму «скользящей змеи» [18, 20], в) переключениеслучайновыбранногоh.h,01.,,. координаты этогоx4=1).мономерного звена между подрешетками(т.е. изменение значения 4-ойn(4d( ), ( )( ),.h=0x4=1).(звена), г) случайное изменение значения внешнего поляh.n4dЗначениеполя h меняется910( ), ( )( )x4=1).только( ),на( значения,которыеявляютсясоседнимикданному.Изначальнодискретный)( )10набор значений поля выбирается такимобразом, чтобы происходило перекрывание10гистограмм величины n4d (рис.5а). Элементарные шаги (а), (б) и (в) измененияконформации принимаются в соответствии с критерием Метрополиса [19], а шагиизменения значения внешнего поля (г) принимаются в соответствии с алгоритмом ВангаЛандау (см. следующий подраздел 2.3, уравнение (18в)).Таким образом, в обычной решеточной модели допускается нахождение двухмономерных звеньев в одной точке трехмерного пространства, то есть с одинаковымикоординатами в обычном трехмерном ансамбле.
Такие конформации не соответствуютреальным и служат в модели только промежуточным этапом между двумя равновеснымии статистически независимыми трехмерными конформациями, которые только и имеютфизический смысл. Из-за возможности таких промежуточных конформаций системабыстрее приходит к состоянию равновесия и уменьшается время моделирования.Весовые коэффициенты g(h) в формуле (16) рассчитываются с помощью алгоритмаВанга-Ландау (см.
следующий подраздел 2.3). Алгоритм устроен таким образом, чтополучающиеся в результате значения g(h) позволяют системе посещать с равной частотой46i(рис.5b, 5c) все значения из дискретного набора для поля h, т. е. функция g(h)«регулирует» количество мономерных звеньев, находящихся в «четвертом измерении». Извсех получающихся конформаций выбираются только чисто трехмерные, и по нимпроводится усреднение наблюдаемых величин.a)0,0750,100,080,0500,06HistHist0,040,0250,020,0000,00-16 -14 -12 -10 -8-6-4-200µb)64128192N4256c)Рис.5. (a) Зависимость гистограммы числа звеньев, имеющих четвертую координату,равную 1, от величины внешнего поля.
(b) Гистограмма величины внешнего поля. (c)Гистограмма числа звеньев, имеющих четвертую координату, равную 1.2.2.5. Метод «параллельного регулирования»Метод «параллельного регулирования» (parallel tempering technique) идейноотносится к категории обобщенных (расширенных) ансамблей. В системах с большимчислом минимумов на профиле свободной энергии (как говорят, в системах с сильноизрезанным ландшафтом свободной энергии) возникает проблема: каким образомпреодолеть барьеры между состояниями и помочь системе найти глобальный минимум? Вметоде «параллельного регулирования» рассматривается набор невзаимодействующихреплик системы.
Одна реплика – это отдельное состояние (конфигурация) при некоторомзначении какого-либо контрольного параметра, например, температуры, или параметра47потенциала межчастичного взаимодействия и т.п. Статистическая сумма полной системызаписывается в видеrΩ = ∑ Z ( N ,V , Ti )i =1где Z ( N ,V , Ti ) – статистическая сумма i-той реплики.
В дополнение к обычнымшагамМКразрешаетсяэлементарныйшаг,состоящийвовзаимномобменеконформациями между двумя репликами i и j с вероятностью принятия шага{},pacc (i ↔ j ) = min 1, exp ( Δβ ij ΔU ij )(17)где учитывается не только разность энергий исходного и пробного состояний, но иразность значений контрольного параметра у двух этих реплик.2.2.6. Метод пересчета гистограмм.Нельзя не упомянуть о важном техническом приеме – методе пересчета гистограмм[297].
Исторически это была одна из первых методик расчета функции плотностисостояний (а через нее и статистического интеграла системы) на основе использованиятого факта, что гистограммы энергии и параметра порядка в окрестности критическойточки являются очень широкими и включают в себя достаточно много информации обольшом числе состояний системы. Эти гистограммы могут быть использованы дляпересчета данных на другие значения контрольных макропараметров системы, например,температуры; о взаимосвязи метода пересчета гистограмм и мультиканоническогомоделирования см. [262], стр.111-157.2.2.7. Метод конечномерного масштабирования.Еще одна из основополагающих методик, без которой не обойтись приисследовании фазовых переходов с помощью машинного моделирования, – это методконечномерногомасштабирования[14,238,256,298].Этотметодпозволяетэкстраполировать результаты компьютерного моделирования, полученные для системдостаточно малых размеров, на системы бесконечно больших размеров, для которых,собственно, только и можно говорить о фазовых переходах.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
