Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Для аппаратуры, использующей высокоскоростные умножители, мы должны учитывать как умножения, так и сложения. Подходящее сравнение обеспечивается Глава 13. Маленькие хит ости ци овей об аботки с'игналов 494 разностью общего количества операций в (13-47) и (13-47') и общего количества операций в (13-48) и (13-48'). В этом случае относительная экономия вычисле- ний в процентах вычисляется как 14У ' (1о82У+1) + 6У ' (1о82У+1) — (2У ' 1о82У+ 8У+ ЗУ ' 1о82У+ 8У)]/ /(4У ' (1о82У+1) + 6У ' (1оя2У+1)] ° 100%- [10 ° (1оя2У+1) — 5 ° 1оя2У вЂ” 16]/110 ° (1о82У+1)] ° 100 % = = (5 ° 1о82У вЂ” 6]/(10 ° (1о82У+1)] ° 100% . (13-50) Эконоиин вычионвний ори исссльзоввнии 2М % 20 го ио 1о' 1о' 1о' и Рис.
13.13. Экономия объема вычислений при использовании алгоритма 2У-точечного действительного БПФ по сравнению с отдельным 2И-точечным комплексным БПФ. Верхний график показывает экономию с учетом и сложений, и умножений. Нижний график показывает зкономию с учетом только умножений Экономия полного количества операций (умножений и сложений) согласно (13-50) в зависимости от У показана в виде верхнего графика на рисунке 13.13. 13.6.
Вычисление обратного БПФ с помощью прямого БПФ Часто в системах цифровой обработки сигналов требуется вычислять обратное БПФ. Это может создавать проблемы, если имеющаяся аппаратура или библиотечная процедура могут выполнять только прямое БПФ. К счастью, существуют два простых способа вычисления обратного БПФ, используя прямое БПФ. 13.6.1. Первый метод вычисления обратного БПФ Первый метод выполнения обратного БПФ реализуется в соответствии со схемой, показанной на рисунке 13.14. 13.6. Вычисление об атного БПФ с помощью л ямого БПФ Чтобы понять, как она работает, рассмотрим выражения для прямого и обратного ДПФ: Н-1 Прямое ДПФ Х(т) = ~~~ х(и)е 12л"и/Н (13-51) л-0 Н-1 х(п) = (1/Ы),Г,Х(т)еРл™/Н. (13-52) Обратное ДПФ .
х,(п) Х„ (т) Х, (т) х, (л) -1 -1 Рис. 13.14. Последовательность обработки при использовании первого метода вычисления обратного БПФ Повторим: нашей целью является использование преобразования, описываемого выражением (13-51), для реализации (13-52). На первом шаге мы используем операцию комплексного сопряжения. Напомним, что эта операция (обозначаемая надстрочным индексом ') состоит в инверсии знака показателя степени комплексной экспоненты — если х = е)0, то х = е 10. Итак, на первом шаге мы заменяем обе части (13-52) комплексно-сопряженными величинами, а именно х"(и) = (1/ЖЯ Х(т)е12™/Н ~". и-0 (13-53) Одно из свойств комплексных чисел, обсуждаемое в приложении А, состоит в том, что сопряженное произведения равно произведению сопряженных: если с = аЬ, то с" - (аЬ)" - а "Ь".
Используя это свойство, мы можем показать, что правая часть (13-53) имеет вид Н-1 х (и) = (1/Ы)~~ Х(т)+(е12 "'"/и)" = и-0 Н вЂ” 1 = (1/Ы) ~> Х(т)'е 12лл"'/Н. (13-54) и 0 Потерпите еше немного, мы почти у цели. Обратите внимание на сходство выражения (13-54) и выражения для прямого ДПФ (13-51). Если мы выполним прямое ДПФ последовательности, сопряженной исходной последовательности Х(т) в (13-54), и разделим результат на М, мы получим последовательность, сопряженную нашей искомой последовательности х(и). Построив сопряжение для обеих частей (13-54), мы получаем более прямое выражение для х(п): Н-1 х(п) - (1/Ы)~~~> Х(т) е 12лли/Н] .
(13-55) и-0 Глава 13. Маленькие хит ости и овей об богки сигналов 13.6.2. Второй метод вычисления обратного БПФ Второй метод реализуется в соответствии с интересной схемой, показанной на рисунке 13.15. В этой остроумной схеме нам не нужно возиться с сопряженными последовательностями.
Вместо этого мы просто меняем местами действительные и мнимые части последовательностей комплексных отсчетов [211. Чтобы понять, как работает эта схема, рассмотрим еще раз выражение для обратного ДПФ, представив входную последовательность Х(т) в виде действительной и мнимой части и помня, что е)г = соь(ф) +/ь(п(ф). Х,,(м) х„ (а) х, (л) х, (в] Рис. 13.16. Обработка данных вторым методом вычисления обратного БПФ М вЂ” 1 х(п) = (1/М~~~> Х(т)032лат/М Обратное ДПФ~ и-О ))( — 1 = (1/М) г[Х,аа((т) + 1Х;, (т)1[соь(2лтп/М) + и-0 +)ып(2лтп/Х)1 .
(13-56) Перемножение комплексных членов (13-56) дает нам и-1 = (1/М)~,[Хгаа((т)соь(2лтп/)()) — Х;, (т)ь(п(2лтп/ИЯ + и-0 +/[Х„аа)(т)ып(2лтп/Х) + Х; (т)соь(2лтп/М)] . (13-57) Формула (13-57) представляет общее выражение для обратного ДПФ, и мы скоро покажем, что процесс, представленный на рисунке 13.15, реализует это выражение. ПосколькУ Х(т) = Х„, ((т) +/Х„ааа(т), пеРестановка этих членов пРиводит к Хяаар(т) - Х(маа(т) +/Х„аа)(т) (13-58) Прямое ДПФ последовательности Х „(т) имеет вид М вЂ” 1 ~> [Х(~~(т) +)Х„, )(т)1[соь(2лтп/М) -/ь(п(2лтп/))))) - (13-59) и=0 Перемножение комплексных множителей в (13-59) дает ~> [Х( (т)соь(2лтп/М) + Х~а)(т)ь(п(2лтп/))))) + Прямое и-0 +Я Х )(т)соь(2лтп/1))) — Хап (т)ь(п(2лтп/(())) .
(13-60) 13.7. Уп щенная с а КИХ- иль Поменяв местами действительную и мнимую части результата этого ДПФ, мы получаем то, к чему стремились: М-1 ~]Х„~Ят)соз(2лтп/Х) — Х;„мв(т)з(п(2лтп/Ж)) + ДПФепаР О +1) Х, (т)соз(2лтп/И) + Х ы(т)з]п(2птп/Ю)) . (13-61) Если мы разделим (13-61) на Ь1, то получим в точности выражение для обрат- ногаДПФ (13-57), и это как раз то, что мы хотели показать. 13.7.
Упрощенная структура КИХ-фильтра Если мы реализуем цифровой КИХ-фильтр с линейной ФЧХ, используя стандартную структуру, показанную на рисунке 13.16 (а), то мы можем уменьшить количество умножителей в случае, когда длина фильтра нечетна. Посмотрим на верхнюю часть рисунка 13.16 (а), где коэффициенты КИХ-фильтра с пятью ответвлениями обозначены как Ь(0) — Ь(4), а выходной сигнал у(п) вычисляется как у(п) - Ь(4) х(п — 4) + Ь(3)х(п — 3) + Ь(2)х(п — 2) + Ь(1)х(п — 1) + Ь(0)х(п) (13-62) Если коэффициенты КИХ-фильтра симметричны, мы можем уменьшить количество умножений: если Ь(4) = Ь(0) н Ь(3) = Ь(1), мы можем реализовать (13-62) как у(п) - Ь(4)~х(п — 4)+х(п)) + Ь(ЗЯх(п — 3)+х(п — 1)) + Ь(2)х(п — 2) (13-63) которое требует всего трех умножений, как показано в нижней части рисунка 13.16 (а).
В данном примере фильтра с пятью ответвлениями мы убрали два умно- жителя за счет добавления двух сумматоров. Эта структура с минимальным количеством умножителей называется сложенной структурой КИХ-фильтра. В общем случае КИХ-фильтров с симметричными коэффициентами, имеющих 5 ответвлений, мы можем обменять (5 — 1)/2 умножителей на (5 — 1)/2 сумматоров, когда 5 является нечетным числом. Таким образом, в случае нечетного количества ответвлений нам необходимо выполнить только (5 — 1)/2 + 1 умножений на каждый выходной отсчет фильтра. В случае четного количества симметричных ответвлений, как показано на рисунке 13.16 (Ъ), этот метод позволяет нам уменьшить количество необходимых умножений до Я/2.
В настоящее время программируемые ЦПОС не могут использовать преимущества сложенной структуры КИХ-фильтров, потому что она требует выполнения сложения перед каждой командой умножения с накоплением. 13.8. Уменьшение шума квантования АЦП В разделе 12.3 мы обсуждали математические детали и вредные эффекты шума квантования аналого-цифровых преобразователей (АЦП). Для уменьшения шума квантования практикующие специалисты по ЦОС обычно используют два приема. Это сверхдискрет изация (очегзаш р11пя) и ран домизацил, или размывание (йгЪеппй). 498 Глава 13.
Маленькие хит ости ци свой об аботки сигналов Рис. 13.16. Обычная и упрощенная структуры КИХ-фильтра: (а) с нечетным количеством ответвлений; (Ь) с четным количеством ответвлений 13.8.1, Сверхдискретизация Сущность процесса сверхдискретизации с точки зрения уменьшения шума квантования АЦП очевидна. Мы просто увеличиваем частоту дискретизации Г' до значения, превышающего минимально необходимое согласно критерию Найквиста (вдвое большее, чем ширина спектра сигнала), а затем пропускаем дискре- 13.8.
Уменьшение ш мв квантования АЦП Общая мощность шума квантования = = о 2 - (значение МЗР)2/12. (13-64) Мы вывели это выражение в разделе 12.3. Еще одно предположение состоит в том, что отсчеты шума квантования являются совершенно случайными, и в частотной области шум квантования имеет равномерный спектр. (Эти предположения верны, когда диапазон изменения входного сигнала АЦП составляет значительную часть допустимого диапазона входных сигналов преобразователя и входной сигнал не является периодическим или его период превышает интервал наблюдения.) Далее мы рассмотрим понятие спектральной плотности мощности (СПМ) шума квантования, описывающей шум квантования в частотной области и измеряемой в единицах мощности шума на один Герц, как показано на рисунке 13.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
