Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Это дополнение нулями не исказит результат свертки. Таким образом, для использования 13.11. Гене ация но мально асп деленныхсл айныхсигналов 509 быстрой свертки мы должны выбрать размер БПФ, удовлетворяющий условию У ~ (Р+Я-1) и дополйить л(Й) их(п) нулями до длины Н. Интересной особенностью быстрой свертки с точки зрения аппаратурной реализации является то, что проблема бит-реверсивной перестановки отсчетов БПФ, обсуждавшаяся в разделах 4.5 и 4.6, здесь отсутствует. Если на рисунке 13.28 идентичные структуры БПФ используются для получения Х(т) и Н(т) в бит-реверсивном порядке, перемножать можно перемешанные последовательности Н(т) и Х(т).
Затем можно использовать подходящую структуру БПФ, которая принимает на вход последовательности в бит-реверсивном порядке. Это обратное БПФ выдает на выход последовательность у(п) в естественном порядке! 13.11. Генерация нормально распределенных случайных сигналов В разделе Г).4 приложения 0 обсуждается нормальное распределение случайных данных. Мы можем столкнуться с задачей генерации данных с нормальным (Гауссовым) распределением.
Существует прямой путь решения этой проблемы с использованием программного генератора равномерно распределенных случайных чисел [27]. На рисунке 13.29 наша задача представлена графически. Нам необходимо получить данные, распределенные по нормальному закону со средним (математическим ожиданием) р' и стандартным отклонением о', как на рисунке 13.29 (а), н при этом в нашем распоряжении есть только программа, генерирующая случайные числа, которые распределены равномерно на отрезке от нуля до единицы, как на рисунке 13.29 (Ь).
Равномерное распределение Нормальнее -За' -2а' .а' Н' +а' +2а' +За' (в) Рис. 13.29. Функции плотности вероятностей (ФПВ): (а) Нормальное распределение со средним = и' и стандартным отклонением а", (Ь) Равномерное распределение на интервале от нуля до единицы К счастью, в теории вероятностей доказана Центральная Предельная Теорема, которая говорит о том, что при суммировании М случайных чисел с произвольным распределением вероятностей с ростом М распределение суммы приближается к нормальному (28 - 30]. Другими словами, если мы генерируем набор Ю случайных отсчетов, которые распределены равномерно на отрезке от нуля до единицы, мы можем прибавлять к первому набору отсчетов последующие наборы из Ю отсчетов.
По мере увеличения количества суммированных наборов распределение суммарной последовательности из Нотсчетов все больше приближается к 310 Глава 13. Меленькие хит ости ци вой об аботки сигналов нормальному. Чтобы произвести впечатление, мы можем сказать: «Сумма становится асимптотически нормальной».' Как показал опыт, в практических задачах распределение суммы при М ~ 30 достаточно близко к нормальному. Запомнив это правило, мы прошли половину пути к решению проблемы. После суммирования М наборов равномерно распределенных отсчетов суммарный набор у будет иметь распределение, показанное на рисунке 13.30.
р= М!2 Предполагается, что расстояние равно во Рис. 13.30. Распределение вероятностей набора данных, полученного суммированием данных с равномерным распределением Поскольку мы просуммировали М наборов, среднее узшв равно р = М/2. Чтобы определить стандартное отклонение а последовательности узшп, мы предположим, что шести стандартным отклонениям соответствует точка М-,и: (13-68) ба =М вЂ” ф. Это предположение оправданно, т. к. мы знаем, что вероятность появления в у значений, больших М, равна нулю, а при нормальном распределении вероятность получения отсчета, равного шести стандартным отклонениям составляет одну шестимиллионную, т.
е. практически равна нулю. Поскольку р = М/2, из (13-68) следует, что стандартное отклонение у равно а = (М вЂ” д)/6 = (М вЂ” М/2)/6 = М/12. (13-69) Для преобразования у в требуемый набор данных со средним д 'и стандарт ным отклонением а', мы: а вычитаем М/2 из каждого элемента, чтобы сделать среднее равным нулю; а обеспечиваем равенство ба'значению М/2 путем умножения каждого элемента в последовательности с нулевым средним на 12а '/М; а переносим новый набор данных на новое среднее 1т', прибавляя ф'к каждому элементу нового набора данных.
Если мы обозначим требуемую нормально распределенную случайную после- довательность У,1 „го~, то и-й отсчет этой послеДовательности математически описывается как М у,1 ~(п) -(12а/М)) ~~х1(п)~ — М/21 +,и. (13-70 Наши рассуждения до сих пор явно относились к программной реализации генератора случайных чисел, но разработчикам аппаратуры тоже иногда необходимо 13.
12. Филь ция с и левым сдвигом з генерировать нормально распределенные данные с высокой скоростью. Для вас, разработчики аппаратуры, в работе [30] описывается эффективный метод генерации нормально распределенных данных с использованием ИС, реализующих арифметику с фиксированной запятой. Описанный выше метод генерации нормально распределенных случайных чисел работает достаточно хорошо, но его результаты несовершенны, потому что хвосты распределения вероятностей, показанного на рисунке 13.30, не приближаются к Гауссовым'. Более совершенный и более корректный статистически (с улучшенной случайностью) метод, который, возможно, вы захотите исследовать, называется методом зиккурата (Е(ййцга1) 131 - 331. 13.12.
Фильтрация с нулевым сдвигом фаз Вы можете устранить нелинейность ФЧХ БИХ-фильтра, используя схему, показанную на 13.31 (а). Выходная последовательность у(п) будет представлять собой отфильтрованную версию входной последовательности х(п) без фазовых искажений, вносимых фильтром. В этой схеме один и тот же БИХ-фильтр используется дважды, а инверсия времени представляет собой простое изменение порядка следования отсчетов последовательности на обратный.
Рассмотрим следующую ситуацию. Если некоторая спектральная составляющая х(п) имеет произвольную начальную фазу а градусов, а первый фильтр вносит фазовый сдвиг — 15 градусов, то начальная фаза этой спектральной составляющей в узле А будет а — 0 градусов. Первая инверсия времени приведет к изменению знака начальной фазы н внесет дополнительный сдвиг — 0 градусов.
(Этот эффект 'объясняется в приложении С.) Следовательно, начальная фаза составляющей в узле В будет равна — а +10 — 0 градусов. Вносимый вторым фильтром сдвиг фаз — 0 градусов дает в узле С начальную фазу — а — 0 градусов. Окончательная инверсия времени (часто опускаемая при описании этого метода фильтрации с нулевым сдвигом фаз) приведет к изменению знака начальной фазы и внесет дополнительный сдвиг фаз — 0 градусов. Начальная фаза рассматриваемой спектральной составляющей в у(н) будет равна а + 0 — 0 = а градусов, т. е. будет такой же, как и у х(н). Это свойство приводит к тому, что полная ФЧХ такого фильтра оказывается равной нулю градусов во всем диапазоне частот. Эквивалентный фильтр с нулевым сдвигом фаз показан на рисунке 13.31 (Ъ).
Конечно, эти методы нельзя применять в реальном масштабе времени, т. к. мы не можем обратить ход времени (по крайней мере, в нашей вселенной). Такая фильтрация представляет собой блочную обработку, или отложенную обработку, такую как фильтрация аудиозаписи в компьютере. Мы должны иметь в наличии все отсчеты сигнала до начала обработки. Начальная инверсия времени на рисунке 13.31 (Ъ) подчеркивает это ограничение. В начале и в конце фильтрованной последовательности будут присутствовать переходные процессы. Если в каком-то приложении эти переходные процессы являются проблемой, следует рассмотреть возможность отбрасывания 1.
отсчетов в начале и в конце последовательности у(н), где Т. в 4 — 5 раз превосходит порядок БИХ-фильтра. 1 Я благодарю моего коллегу но ЦОС доктора Питера Куцукоса (РеСег КооГзоо1соз) нз университета в Квннсленде, Австралия, за его замечание но этому поводу. 312 Глава 13. Маленькие хи ости ци овей об абогки сигналов я(л) БИХ А Инверсия в БИХ с Инеерсия у(л) фильтр времени фильтр еремени времени фильтр времени ь Инеерсия БИХ Инверсия БИХ фильтр Рис. 13.31. Два эквивалентных метода фильтрации с нулевым фазовым сдвигом Кстати, общая неравномерность АЧХ в полосе пропускания (в дБ) такого фильтра будет в два раза больше неравномерности одного БИХ-фильтра.
Результирующее подавление в полосе задерживания также будет в два раза больше. 13.13. Повышение крутизны АЧХ КИХ-фильтров Рассмотрим интересный метод улучшения подавления в полосе задерживания цифровых фильтров в ситуации, когда мы не можем по каким-либо причинам модифицировать коэффициенты фильтра. Мы можем удвоить подавление, просто включив последовательно два одинаковых фильтра. Этот прием работает, как показано на рисунке 13.32 (а), где АЧХ одного фильтра (Н(т) ! показана штриховой линией, а АЧХ двух одинаковых фильтров, включенных последовательно, (н2(пт)(, показана сплошной линией. недостаток такого простого приема в том, что одновременно с увеличением подавления удваивается и неравномерность АЧХ в полосе пропускания, как показано на рисунке 13.32 ()т).
Частотная ось на рисунке 13.32 нормирована так, что значение нормированной частоты 0.5 соответствует половине частоты дискретизации. -20 1О -40 -50 -50 0 0.1 0.2 О.З 0.4 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 О.З Частота Частота (ь) (е) Рис. 13.32. АЧХ одного фильтра и последовательно соединенных двух фильтров: (а) полная характеристика; (Ь) полоса пропускания Есть лучший метод повышения подавления в полосе задерживания без ухудшения неравномерности в полосе пропускания, который не требует изменения коэффициентов фильтра.
Этот метод называется повышением крутизны А ЧХ фильтра (341, а его блок-схема обозначена Н, на рисунке 13.33. 13. 13. Повышение к зныАЧХКИХ- иль ов 513 Рис. 13.33. Повышение крутизны АЧХ фильтра Элемент задержки на рисунке 13.33 обеспечивает задержку на (М вЂ” 1)/2 отсчетов, где Ж вЂ” количество коэффициентов )т((т), или длина импульсной характеристики, исходного КИХ-фильтра.
Процесс повышения крутизны дает улучшенные характеристики фильтра )гг',(и) ~, показанные на рисунке 13.34 сплошными линиями, на котором хорошо видно повышение подавления и уменьшение неравномерности АЧХ в полосе пропускания по сравнению с исходным фильтром Н(ят). Из-за необходимости выравнивания задержек повышение крутизны неприменимо к фильтрам, групповая задержка которых непостоянна, таким как минимально-фазовые КИХ-фильтры или БИХ-фильтры. -го от -4а -во -во О 0.1 О.г 0.3 04 Частота а.в о о.ов ол о.тв о.г о.гв о.з Частота (а) (ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
