Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Частоты анализа могут быть либо 2лт/Лг, либо 2л(т+ 1/2)/У, где целое т находится в диапазоне О < т < У вЂ” 1. Таким образом, мы можем построить анализатор СДПФ, который имеет резонансы на любой из 2Ж частот в диапазоне от 0 до /, Гц. Конечно, если коэффициент гребенчатого фильтра равен +1, то коэффициент резонатора должен быть равен е)2л(и+ 1/2)/ч, чтобы обеспечить взаимное уничтожение полюса и нуля.
632 Глава 13. Маленькие ки ости ци овей об аботки сигналов Коэффициент гребенчатого фильтра = -1 Коэффициент гребенчатого фильтра = +1 1~ й=б О о о В -1 о о й четное -1 О 1 -1 О 1 Действительная часть Действительная часл, 1 И Э о о ь 0 а и бягй ° ив О О 1 И=эо о о 4я/И 0 О о о -1 о -1 О 1 Действительная часть и гг я я И нечетное о о о -1 О 1 Действительная часть Рис. 13.31.
Четыре варианта расположения нулей гребенчатого фильтра на единичной окружности 13.19. Увеличение масштаба БПФ по частоте БПФ с увеличением масштаба представляет большой интерес, т. к. оно сочетает комплексное понижающее преобразование, низкочастотную фильтрацию и изме- нение частоты дискретизации посредством прореживания в спектральном анализе. Этот метод спектрального анализа используется тогда, когда необходимо высокое разрешение в небольшой части полного частотного диапазона. В этом случае он более эффективен, чем традиционное БПФ.
Рассмотрим спектральный анализ в случае, когда нам необходимо высокое разрешение, т. е. близкое расположение бинов, в частотном диапазоне интересую- щего нас сигнала, показанном на рисунке 13.52 (а). (Остальные сигналы нас не интересуют.) Чтобы получить требуемую разрешающую способность, мы могли бы накопить достаточно большое количество отсчетов и выполнить БПФ по основанию 2 большого размера. Это решение неэффективно, потому что нам при- шлось бы отбросить большинство результатов БПФ.
Растянутое БПФ может по- мочь нам повысить вычислительную эффективность посредством: с1 преобразования частоты с помощью комплексного понижающего преобразования, низкочастотной фильтрации, ш прореживания, ш вычисления БПФ уменьшенного размера. 13. 19. Увеличение масштаба БПФ по частоте 333 (Х(гл)) Требуемый сигнал (а) Частота /„/2 о -/„/2 Яэ (Ь) (с) Частоте /„/2 -/и/2 г Частота Рис.
13.32. Спектр при растянутом БПФ: (а) исходный спектр; (Ъ) схема обработки; (с) спектр после понижающего преобразования; (б) спектр отфильтрованного и прореженного сигнала х,(п) = 1(п) + //т(п), (13-100) Мы начинаем анализ с оцифровки непрерывного сигналах(г) с частотой/,/ с помощью аналого-цифрового преобразователя, выдающего последовательность х(п) длиной А/точек, спектр которой )Х(т) ! показан на рисунке 13.52 (а).
Метод растянутого БПФ требует узкополосной фильтрации и прореживания для уменьшения количества отсчетов перед завершающим БПФ, как показано на рисунке 13.52 (Ъ). Спектр сигнала после понижающего преобразования с центром на частоте 0 Гц, (Л;(т) (, показан на рисунке 13.52 (с). (АЧХ ФНЧ показана штриховой линией.) После фильтрации перед БПФ выходной сигнал фильтрах,(л) прореживается в Р раз, в результате чего получаем последовательность х',(п) с частотой дискретизации / ~ = ~,//Р.
Ключевым моментом здесь является то, что длина последовательности хо(л) равна Х/Р, благодаря чему мы можем выполнить БПФ уменьшенного размера. (А//Р должно быть равно целой степени двойки при использовании БПФ по основанию 2.) Мы вычисляем БПФ только в диапазоне частот прореженного сигнала. Интересно отметить, что, поскольку входная последовательность БПФ является комплексной, БПФ длиной А//Р точек покрывает безызбыточный диапазон частот от -/;з/2 до +1;з/2. (В отличие от случая действительного сигнала, когда отсчеты в области положительных и отрицательных частот являются комплексно-сопряженными.) Реализация растянутого БПФ показана на рисунке 13.53, где все последовательности действительны.
Сравнивая дискретные последовательности на рисунках 13.52 (Ъ) и 13.53, мы можем записать комплексную последовательность х,(п) аналитически в виде: 334 Глава 13. Маленькиекит остици оаойоб аботкисигналоа а прореженную комплексную последовательность х 'с(п) — в виде х'(и) =г'~р (и) +1(/~р (и). (13-101) Опорная комплексная последовательность е 11/~~""(, где 1,1 = 1Д;1, может быть представлена в двух формах е >2~/сто( = соз(2яЯМ 1) 1зш(2яУс лгут) = = соз(2ггтус//г1) /зш(2яп/с//гт).
(13-102) х(» -еп(2чг,п(;,! Рнс. 13.33. Растянутое БПФ Чтобы показать возможность уменьшения объема вычислений при растянутом БПФ, рассмотрим пример. Допустим, мы имеем сигнал, дискретизированный с частотой 1,1 - 1024 кГц, и хотим получить расстояние между бинами в 2 кГц. Для этого необходимо накопить 512 отсчетов сигнала (1024 кГц/2 кГц) и выполнить 512-точечное БПФ. Если ширина спектра интересующего нас сигнала меньше /гт/8, мы можем использовать понижающее преобразование, ФНЧ с последующим прореживаннем в В - 8 раз и выполнить 512/8 - 64-точечное БПФ, получив требуемое разрешение по частоте в 2 кГц.
Мы свели 512-точечное БПФ (требующее 2304 комплексных умножения) к 64-точечному БПФ (требующему 192 комплексных умножения). Таким образом, выигрыш в количестве операций составил более 90 %! Для вычисления процентного уменьшения объема вычислений при использовании ()ч/В)-точечного растянутого БПФ по отношению к стандартному БПФ мы используем следующее выражение: % снижения объема вычислений- - 100 (1 — число умножений(И/В) точечного БПФ/число ум шженийИ-точечного БПФ) - 100 (1 — (Я/В)/2~1 1о82(1ч/Р)/1((ч/2) 1о82(!ч)1)- = 100 (1 — (1/В) + [!о82(В)/В(о82(й!)!) .
(13-103) На рисунке 13.54 приведены графики (13-103) для разных значений коэффициента прореживания и ряда значений размера БПФ (все они являются целыми степенями двойки). Мы видим, что растянутое БПФ может дать существенную экономию по сравнению с обычным БПФ при анализе узкополосной части спектра Х(т) — и эта экономия увеличивается при увеличении коэффициента прореживания В. Но 535 13.кО. П актическвя еализация анализато а спе а здесь есть подводный камень. При увеличении 1) полоса пропускания ФНЧ должна сужаться, что приводит к увеличению порядка фильтра, а, следовательно, количества необходимых для его реализации операций; здесь необходимо найти компромисс. Вы должны задать себе вопрос: «Компенсирует ли уменьшение размера БПФ дополнительные операции понижающего преобразования частоты и фильтрации?» Это определенно так, если выполнение БПФ большого размера невозможно на имеющейся аппаратуре или в программе.
Если есть возможность сделать центральную частоту спектра интересующего нас непрерывного сигнала равной/,(/4, то можно выполнить квадратурное смешение без умножений (см. раздел 13.1). Если фаза составляющих сигнала не важна, для фильтрации можно использовать эффективный БИХ-фильтр. Если же фазовые искажения недопустимы, то можно использовать полифазные или полуполосные КИХ-фильтры. Следует также рассмотреть возможность использования КИХ-фильтров на основе частотной выборки и интерполирующих фильтров (см. главу 7).
Если спектр сигнала очень узок по сравнению с частотой дискретизации);г, и требуется большой коэффициент прореживания и сложный фильтр нижних частот, можно попробовать использовать комбинированный интегратор — гребенчатый фильтр. я й Йзо о с " зо 40 0 200 400 600 800 1000 и Рис. 13.54. Процентное снижение объема вычислений (комплексных умножений) (й/О)-точечного БПФ по сравнению со стандартным Ы-точечным БПФ 13.20. Практическая реализация анализатора спектра Рассмотрим остроумный прием реализации практического анализатора спектра путем модификации данных во временной области перед вычислением БПФ.
Допустим, нам необходимо построить анализатор спектра для отображения в некотором виде модуля спектра последовательности. Мы хотим, чтобы наш анализатор — банк полосовых фильтров — имел амплитудно-частотную характеристику, похожую на характеристику, приведенную на рисунке 13.55 (а). В случае спектрального анализа первое, что приходит на ум — использование БПФ. Однако частотная характеристика отдельных бинов БПФ имеет вид, показанный на рисунке 13.55 (Ь), ее полоса пропускания не является плоской, боковые лепестки БЗВ Глава 13. Маленькие хи ости ци овей об вботки сигналов слишком велики, а главные лепестки соседних фильтров перекрываются.
Мы можем уменьшить уровень боковых лепестков с помощью окон, но зто приводит к расширению главного лепестка, к большему перекрытию соседних характеристик, показанному на рисунке 13.55 (с) и к уменьшению разрешающей способности, кроме того, неравномерность АЧХ в полосе пропускания по-прежнему остается высокой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
