Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 106
Текст из файла (страница 106)
(Если вы хотите вычислить все )а' бинов ДПФ, потребуются !а' резонаторов с т = 0 ... Ю вЂ” 1, на входы которых подается выходной сигнал единственного гребенчатого фильтра.) Задержка гребенчатого фильтра в Жотсчетов приводит к тому, что переходная характеристика фильтра СДПФ имеет длину Л!отсчетов, так что выходные отсчеты не будут иметь установившихся значений до появления отсчета Аоп(Ж-1). Выходные отсчеты будут неправильными, т. е.
не будут эквивалентны отсчетам Хпт(т7) в (13-86), до тех пор, пока не будут обработаны !а'входных отсчетов. При этом г-преобразование (13-93) имеет вид Хпт(г) - е)гкнт/тч[Хпт(г)г Г+ Х(г) -Х(г)г 'У] . (13-94) Приведя подобные члены, содержащие Хпт(г) и Х(г), получаем передаточную функцию в г-области для фильтра т-го бина СДПФ в виде ОсдпФ(г) - Хпт(г)/Х(г) - (1 — г-'и) егхктпР'/(1 — еРк~/'Уг-т).
(13 95) Этот комплексный фильтр имеет )У нулей, распределенных равномерно по единичной окружности г-плоскости, обусловленных гребенчатым фильтром с Ж элементами задержки, а также единственный полюс, подавляющий ноль в точке г - е1 кпт/~. Комплексная импульсная характеристика фильтра СДПФ й(п) и карта его нулей и полюсов показаны на рисунке 13.48 для нашего примера, где т = 2 и !и' - 20.
828 Глава 13. Маленькие хит ости ци вой об абогки сигналов Благодаря гребенчатому субфильтру импульсная характеристика фильтра СДПФ, имеющая форму комплексной синусоиды, ограничена по длительности — усечена до )т) отсчетов — и эта особенность делает АЧХ фильтра СДПФ идентичной характеристике вида яп(№)/яп(х) отдельного бина ДПФ с центральной частотой 2ггт/)т). о~ 1 о ооо о о э о о ~ 2яп~)И о о =2 о =го оо о 0.5 .й й о в я я -0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Действительная часть (П(п)) а Действнтепьная часть 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Мнимая часть (П(п)) (а) Рис. 13.48.
Характеристики скользящего ДПФ при т = 2 и )у = 20: (а) комплексная импульсная характеристика; (Ь) карта полюсов и нулей 13.18.2. Устойчивость СДПФ Фильтр СДПФ находится на грани устойчивости, т. к. его полюс расположен на единичной окружности 2-плоскости. Если ошибки округлеиия коэффициентов фильтра незначительны, фильтр СДПФ устойчив в смысле «ограниченный вход — ограниченный выход». Неустойчивость может возникнуть, если в результате округления коэффициентов полюс выйдет за пределы единичного круга.
Мы можем использовать коэффициент затухания г, чтобы разместить полюсы и нули, Одной их особенностей СДПФ является то, что, как только получено значение Хчп(П), КОЛИЧЕСТВО ОПЕрацИй дЛя ВЫЧИСЛЕНИЯ Х'"(Л41) фИКСИрОВаНО И НЕ ЗаВИСИт от Лг. Сравнение вычислительной сложности фильтров Герцеля и СДПФ приведено ниже. В отличие от БПФ по основанию 2, в случае СДПФ Ж может быть любым положительным числом, что обеспечивает более гибкую настройку центральной частоты СДПФ путем задания целого лт, такого, что т = М~; /~, где/; — интересующая нас частота в Гц, а ~; — частота дискретизации в Гц.
Кроме того, СДПФ не требует бит-реверсивной индексации, в отличие от БПФ. Как и алгоритм Герцеля, СДПФ особенно эффективно при узкополосном спектральном анализе. Для полноты упомянем о том, что существует метод скользящего БПФ по основанию 2, позволяющий вычислять все 7тт бинов Хтп(17) в ()3-85) (47, 48]. Этот'метод привлекателен с точки зрения объема вычислений, т. к. он требует только Ж комплексных умножений для обновления Ж-точечного БПФ для всех Жбинов; но он требует 3)т)ячеек памяти (2)т)ячеек для данных и Лгячеек для поворачивающих множителей).
В отличие от СДПФ, схема скользящего БПФ по основанию 2 требует реализации бит-реверсивной адресации и реализуется только для значений У, равных целой степени двойки. 18. 18. Скользящее ДПФ 529 показанные на рисунке 13А8 (Ь), на окружности радиуса т, немного смещенной внутрь единичного круга и обеспечить таким образом устойчивость фильтра, пе- редаточная функция которого в этом случае имеет вид Нсдпф,(з) = ((1 — т~г п)теР™Р~~/(1 — телах'"~па Г), (13-96) где индекс 8з обозначает гарантированную устойчивость. (В разделе 7.1.3 приведены математические детали смещения нулей и полюсов внутрь единичного круга.) Коэффициенты фильтра при этом превращаются в — т Уи те1ЗЯи1Л. Разностное уравнение устойчивого СДПФ фильтра приобретает вид Л'"(п) = теР™ПЦХт (и — 1) + х(п) — тЫл-7У)'1, (13-97) а структура фильтра с гарантированной устойчивостью показана на рисунке 13.49.
В этом случае мы выполняем пять действительных умножений и четыре действительных сложения на выходной отсчет. Использование коэффициента затухания на рисунке 13.49 гарантирует устойчивость, но выходные отсчеты фильтра Х~(д), определяемые выражением у-~ Х'" ~(д) = ~ х(л)те 12~"~1У, я=О (13-98) Рис. 13.49. Структура фильтра скользящего ДПФ с гарантированной устойчивостью Другой метод повышения устойчивости, заслуживающий упоминания, состоит в уменьшении наибольшей составляющей (действительной или мнимой) коэффициента обратной связи е1ЗЯи1У на единицу младшего разряда.
Этот метод можно применять избирательно к бинам, вызывающим проблемы. Он эффективен в борьбе с неустойчивостью, вызванной ошибками округления, которые приводят к тому, что коэффициенты е12яи1~~, представленные в ограниченной разрядной сетке, могут оказаться больше единицы. Как и в случае ДПФ, выходные значения СДПФ пропорциональны Ж, и, соответственно, в реализациях с фиксированной запятой разработчики должны предусматривать регистры достаточной для сохранения результатов длины. теперь не равны т-му бину Лг-точечного ДПФ в (13-85).
Хотя можно уменьшить эту ошибку, сделав значение т очень близким к единице (но меньшим единицы), существует схема, позволяющая устранить ошибку полностью один раз на каждые Лг выходных отсчетов за счет дополнительных логических операций 149]. Определение необходимости введения коэффициента затухания т в каждом конкретном применении СДПФ требует тщательного эмпирического исследования. Это значит, что вы должны очень тщательно и внимательно тестировать реализации СДПФ! 630 Глава 13.
Мэленькивхит ости ци овойоб аботкисигналов 13.18.3. Уменьшение утечки СДПФ Будучи эквивалентным ДПФ, СДПФ также подвержено влиянию утечки спектра. Как и в случае ДПФ, утечку СДПФ можно уменьшить с помощью взвешивания входной последовательности х(и) окном, как обсуждалось в разделе 3.9. Однако, умножение на окно во временной области разрушило бы вычислительную простоту СДПФ. Благодаря теореме о свертке мы можем реализовать взвешивание с помощью свертки в частотной области, как было описано в разделе 13.3. Уменьшение утечки спектра в частотной области выполняется путем вычисления свертки соседних отсчетов Хм(д) с ДПФ выбранного окна.
Например, ДПФ окна Хэмминга содержит только три ненулевых отсчета: — 0.23, 0.54 и — 0.23. Поэтому мы можем вычислить отсчеты Хтв(о), взвешенные окном Хэмминга с помощью трехточечной свертки вида Х'"(о), взвешенный окном Хэмминга = = -О.гЗХ -'(о)+О54Х (о) -О.гЗХ."И). (13-99) На рисунке 13.50 показан этот процесс с использованием трех резонаторов, настроенных на соседние бины ДПФ (т — 1, т и т+1).
Каскад гребенчатой фильтрации при этом реализуется только один раз. -о гз Рис. 13.30. Структура вычисления Х в'(о), взвешенного окном Хэмминга, с исполь- зованием трех резонаторов В таблице 13.5 приведены сравнительные данные по вычислительной сложности разных схем спектрального анализа при вычислении начальных значений Х'"(п) и последующих отсчетов Хи(и+1). Для вычисления начальных значений Хи(п), взвешенных окном, в таблице 13.5, трехточечная свертка в частотной области должна выполняться только один раз, по приходу Ж-го входного отсчета.
Однако она должна выполняться при всех последующих вычислениях. . Мы напоминаем читателю, что в разделе 13.3 обсуждаются некоторые особенности реализации взвешивания окном Хэмминга в частотной области с использованием двоичных сдвигов для устранения умножений в (13-99), а также использование других окон. 661 13.
18. Скользящее ДПФ Таблица 13.6. Сравнение методов вычисления отдельного бина ДПФ Вычисление Вычисление)О"(л+1) начального )г"(л) Метод Действ и- Действи- Действи- Действительные тел ьныр тельные тельные умножения сложения умножения сложения 4И 2И 4И 2И ДПФ 2И+1 И+2 2И+ 1 Алгоритм Герцеля Скользящее ДПФ (на грани устойчивости) Скользящее ДПФ (с гарантированной устойчивостью) 12И+ 6 10И+ 4 18 Скользящее ДПФ с трехчленным окном (на грани устойчивости) 13И+ 6 10И+ 4 19 Скользящее ДПФ с трехчленным окном (с гарантированной устойчивостью) 14 13.18.4.
Малоизвестное свойство СДПФ СДПФ обладает особым свойством, которое не очень широко известно, но очень важно. Если мы изменим коэффициент гребенчатого фильтра (рисунок13А7) с — 1 на +1, нули фильтра повернутся в направлении против хода часовой стрелки вдоль единичной окружности на угол л/Урадиан. Эта ситуация при Ю = 8 показана в правой части рисунка 13.51 (а).
Нули располагаются на угловом расстоянии 2л(т + 1/2)/И радиан. Нули при и = О показаны черными точками. На рисунке 13.51 (Ь) показано расположение нулей при Ж = 9 и двух значениях коэффициента гребенчатого фильтра — 1 и +1. Это свойство весьма полезно: мы можем расширить набор центральных частот спектрального анализа, получив болыпе чем И угловых частот, распределенных равномерно по единичной окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
