Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Попробуем решить эту проблему следующим способом. Рассмотрим последовательность х(п) длиной М, М-точечное ДПФ которой равно ы — 1 Х(А) = () х(п) е 12лт)Ж (13-104) л-О Далее рассмотри разбиение х(п) на Р субпоследовательностей, длиной )т(отсчетов каждая. Следовательно, РХ = М. Если мы сложим позлементно эти Р субпоследовательностей, мы получим новую последовательность у(п) длиной Ж, ))(-точечное ДПФ которой имеет вид Л-1 У(т) - Я у(п) е 12лат/)((. а=О (13-105) Хорошей для нас новостью является то, что Щл)) ~ = ~Х(Р) ) ~ .
(13-106) (а) Частота т+1 т+2 т-1 т т-2 1Г (ь) о-' Частота т-1 т т+1 т+2 (с) Частота т-2 т-1 т т+1 т+2 Рис. 13.ЬБ. Анализатор спектра: (а) требуемая частотная характеристика; (Ь) частотная характеристика бинов стандартного БПФ; (с) частотна характеристика БПФ при использовании окна Это значит, что модули отсчетов ДПФ последовательности у(п) равны модулям подмножества отсчетов ДПФ последовательности х(п) большей длины. У(т) представляет собой прореженную в Р раз версию Х()т).
Соотношение между )У(в))) и )Х(Ртл) ) кажется не слишком важным, но мы можем им воспользоваться с выгодой для себя. Мы создадим М-точечную последовательность, для которой частотная характеристика одного бина М-точечного БПФ будет такой, как показанная на 13.20. П актическая еализацияанализато асле а 637 рисунке 13.56 (а) сплошной жирдой черной линией. Вместо вычисления всех М выходных отсчетов БПФ мы вычислим только каждый Р-й отсчет М-точечного БПФ, реализовав (13-105) и получив прореженные бины БПФ, показанные на рисунке 13.56 (Ь).
На этом рисунке Р = 5. (а) 0 т к+з «.з Частота К-З К-3 Ы1 К+1 (Ь1 т-1 то+1 Частота Рис. 13.66. Частотные характеристики анализатора спектра на основе БПФ Такое прореживание спектра (Х(Й)( в частотной области выполняется во временной области путем'наложения, показанного на рисунке 13.57, где Р = 5. Мы разделяем взвешенную окном последовательность х(п), содержащую М отсчетов, на Р = 5 субпоследовательностей, суммируем субпоследовательности поэлементно для получения последовательности у(п) с наложениями длиной Ж отсчетов. Затем вычисляем модули спектральных отсчетов (У(т)~ с помощью БПФ по основанию 2.
(Поскольку входная последовательность х(п) действительна, симметрия спектра позволяет нам вычислять только М/2ч.1 значений (У(т) !.) Этот процесс, такой привлекательный своей простотой, называется взвешенным наложением-сложением (50, 51], или, иначе, БПФ с предварительным суммированием [521. Наиболее сложной частью построения такого анализатора является проектирование М-точечного окна, используемого для взвешивания исходной последовательности х(п). Мы решаем эту задачу, задав требуемую частотную характеристику точно так же, как для цифровых фильтров, и используя программу расчета фильтров для вычисления импульсной характеристики фильтра.
Эта импульсная характеристики и есть требуемое окно. При частоте дискретизации сигнала ~; ширина полосы пропускания будет немного меньше /,/М. Поэтому односторонняя полоса пропускания фильтра равна примерно/,/2Ж. На рисунке 13.58 показан пример анализатора на основе БПФ с/, = 1 МГц, Х = 64, Р - 5, откуда М = 320. Расстояние между бинами составляет 15.63 кГц, так что при проектировании фильтра ширина полосы пропускания была принята равной 10 кГц (следовательно, в программе Паркса-Маклеллана односторонняя ширина полосы пропускания была задана равной 5 кГц).
На рисунке 13.58 (а) приведен график 320-точечного окна, а на рисунке 13.58 (Ь) показана характеристика анализатора для бинов т - 3, 4 и 5, а характеристика (У(4) ) показана сплошной линией. Ширина полос пропускания анализатора спектра определяется главным образом шириной главного лепестка окна. Центральные частоты полос пропускания анализатора определяются как /,/Ж. Это значйт, что перекрытие полос пропускания анализатора зависит как от ширины главного лепестка окна, так и от/ и от Ж.
Динамический диапазон анализатора можно расширить, увеличив Р, 638 Глава 13. Маленькие хи ости ци евой об ботки сигналов что приводит к увеличению М и длины последовательности х(п). С увеличением М более длинные окна будут давать полосы пропускания анализатора, приближающиеся к прямоугольной форме с более низким уровнем боковых лепестков и неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Окно ~ М отсчетов во временной области Время — 3» ~ Рис. 13.67.
Принцип построения анализатора спектра на основе БПФ 0.0г 0.01 (а) -0.01 0 50 100 150 200 250 300 Время -го (ь) -40 0 20 40 50 80 100 Кгц частота Рис. 13.68. Пример анализатора на основе БПФ: (а) окно; (Ь) характеристики анализатора для бинов ) У(3) ), ( У(4) ) и ) У(5) ! 64-точечного БПФ Для реализации такого анализатора спектра длина М исходной последовательности должна быть ровно в Р раз больше целой степени двух Х. 13.21.
Эффективная аппроксимация арктангенса Быстрые и точные методы вычисления арктангенса отношения мнимой и действительной частей комплексного числах = 1+10 исследовались весьма активно, т. к. оценка аргумента О комплексного значения находит множество применений в цифровой обработке сигналов. Аргумент числа х определяется как д = гап- 1(Ц/1). Специалисты, добивающиеся максимальной скорости вычисления арктангенса, обычно используют поисковые таблицы, в которых значение Д/1 задает адрес 13.21.
Э ективная апп оксимация а ктангенса ячейки ПЗУ, содержащей значение аргумента О. Те же, кто заинтересован в повышении точности вычислений, реализуют вычисление приближенного значения аргумента с помощью алгебраических полиномов высокого порядка, при этом наиболее популярными являются полиномы Чебышева и ряд Тейлора.
(К сожалению, из-за своей нелинейности арктангенс плохо поддается аппроксимации с помощью полиномов разумного порядка. Поэтому для вычисления арктангенса мы выбираем метод наименьшего ухудшения.) Вот еще один претендент на реализацию вычисления арктангенса, который не использует ни поисковые таблицы, ни полиномы высокого порядка. Мы можем оценить аргумент 0 комплексного числах = 1+Я в радианах, используя следующую аппроксимацию сап Щ 1) = 0' = (14/1)/[1 + 0 28125(Я/1)2] радиан, (13-107) где — 1 < Д/1< 1. Величина 0 лежит в пределахот — 45'до+45'( — л/4 < 0 <+л/4 радиан).
Выражение (13-107) обеспечивает удивительно хорошее приближение. Судя по рисунку 13.59, максимальная ошибка аппроксимации при использовании (13-107) составляет 0.26', если угол 0 находится в пределах от -45 до +45'. 0.4 ч о.г с й о о -0.2 в -0.4 -4О -го о 20 .40 Истинный угол 0 (гоадусы) Рис.
13.59. Ошибка оценки угла в градусах Привлекательность этой аппроксимации состоит в том, что формулу можно записать в виде: (13-108) 0'=Щ(12+ 02812592), устранив операцию деления Я/1 за счет двух дополнительных умножений. Другая особенность (13-108) заключается в том, что одну операцию умножения можно заменить двоичным сдвигом вправо. Произведение 0 28125Я2 — это ( 1/4+ 1/32) Я2, так что мы можем вычислить произведение, прибавляя )')2, сдвинутое вправо на два бита, к Я2, сдвинутому вправо на пять бит. Эта схема вычисления арктангенса может быть особенно полезной в цифровых приемниках, где 12 и Я2 были вычислены ранее, в процессе демодуляции сигнала или автоматической регулировки усиления (АРУ).
Мы можем расширить диапазон углов, в котором работает эта аппроксимация. Если мы разобьем окружность на восемь октантов по 45, первый из которых соответствует углам от 0' до 45', мы можем вычислить арктангенс для углов в любом октанте. Это возможно благодаря симметрии арктангенса относительно поворотов: 540 сап ~(-Д/1) = — сап-т(Ц/1) сап-~ЩГ) = и/2 — Сап 1(1/Я) (13-109) (13-109') Упомянутые свойства позволили нам составить таблицу 13.6.
Таблица 13.6. Расположение октантов и соответствующие формулы для арктангенса Октант Аппроксимация арктантенсв Итак, мы должны проверить знаки Я и 1и проверить условие (Щ >)11 определив' таким образом номер октанта, а затем используем соответствующее приближенное выражение из таблицы 13.6. Максимум ошибки равен 0.26' во всех октантах. Когда 0 находится в б-м октанте, формула даст значение, превышающее +я радиан. Если необходимо удерживать оценки 0 ' в диапазоне от — и до + и, мы можем повернуть любой угол О, лежащий в 5-м октанте, на + и /4 радиан (45'), умножив (1+1(1) на (1+1), что перемещает угол в 6-й октант.
Это умножение дает новые значения действительной и мнимой частей согласно Г = (1-12) Я -1(1 ~(2). (13-110) Затем, используя 1'и (1; оцениваем 0'в 5-м октанте с помощью формулы О ~-й окт = — 3п/4 — Г(1/Щ ~ ~- О 28125Г2) (13-110') 13.22. Алгоритмы демодуляции частотно-модулированных сигналов В разделе 9.2 мы обсуждали измерение мгновенной частоты комплексного синусоидального сигнала путем вычисления производной мгновенной фазы сигнала 0(п), как показано на рисунке 13.60. Это традиционный метод демодуляции ЧМ-сигналов, и он работает хорошо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
