Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Это значит, что Ь(Ь) и х(л) необходимо дополнить нулями в конце до одинаковой длины, равной или превышающей (Р+ Я вЂ” 1). Это дополнение нулями не исказит результат свертки. Таким образом, для использования 13.11. Гене ация но мально асп деленныхсл айныхсигналов 509 быстрой свертки мы должны выбрать размер БПФ, удовлетворяющий условию У ~ (Р+Я-1) и дополйить л(Й) их(п) нулями до длины Н. Интересной особенностью быстрой свертки с точки зрения аппаратурной реализации является то, что проблема бит-реверсивной перестановки отсчетов БПФ, обсуждавшаяся в разделах 4.5 и 4.6, здесь отсутствует. Если на рисунке 13.28 идентичные структуры БПФ используются для получения Х(т) и Н(т) в бит-реверсивном порядке, перемножать можно перемешанные последовательности Н(т) и Х(т).
Затем можно использовать подходящую структуру БПФ, которая принимает на вход последовательности в бит-реверсивном порядке. Это обратное БПФ выдает на выход последовательность у(п) в естественном порядке! 13.11. Генерация нормально распределенных случайных сигналов В разделе Г).4 приложения 0 обсуждается нормальное распределение случайных данных. Мы можем столкнуться с задачей генерации данных с нормальным (Гауссовым) распределением.
Существует прямой путь решения этой проблемы с использованием программного генератора равномерно распределенных случайных чисел [27]. На рисунке 13.29 наша задача представлена графически. Нам необходимо получить данные, распределенные по нормальному закону со средним (математическим ожиданием) р' и стандартным отклонением о', как на рисунке 13.29 (а), н при этом в нашем распоряжении есть только программа, генерирующая случайные числа, которые распределены равномерно на отрезке от нуля до единицы, как на рисунке 13.29 (Ь).
Равномерное распределение Нормальнее -За' -2а' .а' Н' +а' +2а' +За' (в) Рис. 13.29. Функции плотности вероятностей (ФПВ): (а) Нормальное распределение со средним = и' и стандартным отклонением а", (Ь) Равномерное распределение на интервале от нуля до единицы К счастью, в теории вероятностей доказана Центральная Предельная Теорема, которая говорит о том, что при суммировании М случайных чисел с произвольным распределением вероятностей с ростом М распределение суммы приближается к нормальному (28 - 30].
Другими словами, если мы генерируем набор Ю случайных отсчетов, которые распределены равномерно на отрезке от нуля до единицы, мы можем прибавлять к первому набору отсчетов последующие наборы из Ю отсчетов. По мере увеличения количества суммированных наборов распределение суммарной последовательности из Нотсчетов все больше приближается к 310 Глава 13. Меленькие хит ости ци вой об аботки сигналов нормальному.
Чтобы произвести впечатление, мы можем сказать: «Сумма становится асимптотически нормальной».' Как показал опыт, в практических задачах распределение суммы при М ~ 30 достаточно близко к нормальному. Запомнив это правило, мы прошли половину пути к решению проблемы. После суммирования М наборов равномерно распределенных отсчетов суммарный набор у будет иметь распределение, показанное на рисунке 13.30. р= М!2 Предполагается, что расстояние равно во Рис. 13.30. Распределение вероятностей набора данных, полученного суммированием данных с равномерным распределением Поскольку мы просуммировали М наборов, среднее узшв равно р = М/2. Чтобы определить стандартное отклонение а последовательности узшп, мы предположим, что шести стандартным отклонениям соответствует точка М-,и: (13-68) ба =М вЂ” ф. а = (М вЂ” д)/6 = (М вЂ” М/2)/6 = М/12.
(13-69) Для преобразования у в требуемый набор данных со средним д 'и стандарт ным отклонением а', мы: а вычитаем М/2 из каждого элемента, чтобы сделать среднее равным нулю; а обеспечиваем равенство ба'значению М/2 путем умножения каждого элемента в последовательности с нулевым средним на 12а '/М; а переносим новый набор данных на новое среднее 1т', прибавляя ф'к каждому элементу нового набора данных.
Если мы обозначим требуемую нормально распределенную случайную после- довательность У,1 „го~, то и-й отсчет этой послеДовательности математически описывается как М у,1 ~(п) -(12а/М)) ~~х1(п)~ — М/21 +,и. (13-70 Наши рассуждения до сих пор явно относились к программной реализации генератора случайных чисел, но разработчикам аппаратуры тоже иногда необходимо Это предположение оправданно, т. к. мы знаем, что вероятность появления в у значений, больших М, равна нулю, а при нормальном распределении вероятность получения отсчета, равного шести стандартным отклонениям составляет одну шестимиллионную, т. е.
практически равна нулю. Поскольку р = М/2, из (13-68) следует, что стандартное отклонение у равно 13. 12. Филь ция с и левым сдвигом з генерировать нормально распределенные данные с высокой скоростью. Для вас, разработчики аппаратуры, в работе [30] описывается эффективный метод генерации нормально распределенных данных с использованием ИС, реализующих арифметику с фиксированной запятой.
Описанный выше метод генерации нормально распределенных случайных чисел работает достаточно хорошо, но его результаты несовершенны, потому что хвосты распределения вероятностей, показанного на рисунке 13.30, не приближаются к Гауссовым'. Более совершенный и более корректный статистически (с улучшенной случайностью) метод, который, возможно, вы захотите исследовать, называется методом зиккурата (Е(ййцга1) 131 - 331. 13.12. Фильтрация с нулевым сдвигом фаз Вы можете устранить нелинейность ФЧХ БИХ-фильтра, используя схему, показанную на 13.31 (а). Выходная последовательность у(п) будет представлять собой отфильтрованную версию входной последовательности х(п) без фазовых искажений, вносимых фильтром.
В этой схеме один и тот же БИХ-фильтр используется дважды, а инверсия времени представляет собой простое изменение порядка следования отсчетов последовательности на обратный. Рассмотрим следующую ситуацию. Если некоторая спектральная составляющая х(п) имеет произвольную начальную фазу а градусов, а первый фильтр вносит фазовый сдвиг — 15 градусов, то начальная фаза этой спектральной составляющей в узле А будет а — 0 градусов.
Первая инверсия времени приведет к изменению знака начальной фазы н внесет дополнительный сдвиг — 0 градусов. (Этот эффект 'объясняется в приложении С.) Следовательно, начальная фаза составляющей в узле В будет равна — а +10 — 0 градусов. Вносимый вторым фильтром сдвиг фаз — 0 градусов дает в узле С начальную фазу — а — 0 градусов. Окончательная инверсия времени (часто опускаемая при описании этого метода фильтрации с нулевым сдвигом фаз) приведет к изменению знака начальной фазы и внесет дополнительный сдвиг фаз — 0 градусов.
Начальная фаза рассматриваемой спектральной составляющей в у(н) будет равна а + 0 — 0 = а градусов, т. е. будет такой же, как и у х(н). Это свойство приводит к тому, что полная ФЧХ такого фильтра оказывается равной нулю градусов во всем диапазоне частот.
Эквивалентный фильтр с нулевым сдвигом фаз показан на рисунке 13.31 (Ъ). Конечно, эти методы нельзя применять в реальном масштабе времени, т. к. мы не можем обратить ход времени (по крайней мере, в нашей вселенной). Такая фильтрация представляет собой блочную обработку, или отложенную обработку, такую как фильтрация аудиозаписи в компьютере. Мы должны иметь в наличии все отсчеты сигнала до начала обработки. Начальная инверсия времени на рисунке 13.31 (Ъ) подчеркивает это ограничение. В начале и в конце фильтрованной последовательности будут присутствовать переходные процессы. Если в каком-то приложении эти переходные процессы являются проблемой, следует рассмотреть возможность отбрасывания 1. отсчетов в начале и в конце последовательности у(н), где Т. в 4 — 5 раз превосходит порядок БИХ-фильтра.
1 Я благодарю моего коллегу но ЦОС доктора Питера Куцукоса (РеСег КооГзоо1соз) нз университета в Квннсленде, Австралия, за его замечание но этому поводу. 312 Глава 13. Маленькие хи ости ци овей об абогки сигналов я(л) БИХ А Инверсия в БИХ с Инеерсия у(л) фильтр времени фильтр еремени времени фильтр времени ь Инеерсия БИХ Инверсия БИХ фильтр Рис.
13.31. Два эквивалентных метода фильтрации с нулевым фазовым сдвигом Кстати, общая неравномерность АЧХ в полосе пропускания (в дБ) такого фильтра будет в два раза больше неравномерности одного БИХ-фильтра. Результирующее подавление в полосе задерживания также будет в два раза больше. 13.13. Повышение крутизны АЧХ КИХ-фильтров Рассмотрим интересный метод улучшения подавления в полосе задерживания цифровых фильтров в ситуации, когда мы не можем по каким-либо причинам модифицировать коэффициенты фильтра.
Мы можем удвоить подавление, просто включив последовательно два одинаковых фильтра. Этот прием работает, как показано на рисунке 13.32 (а), где АЧХ одного фильтра (Н(т) ! показана штриховой линией, а АЧХ двух одинаковых фильтров, включенных последовательно, (н2(пт)(, показана сплошной линией. недостаток такого простого приема в том, что одновременно с увеличением подавления удваивается и неравномерность АЧХ в полосе пропускания, как показано на рисунке 13.32 ()т). Частотная ось на рисунке 13.32 нормирована так, что значение нормированной частоты 0.5 соответствует половине частоты дискретизации.
-20 1О -40 -50 -50 0 0.1 0.2 О.З 0.4 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 О.З Частота Частота (ь) (е) Рис. 13.32. АЧХ одного фильтра и последовательно соединенных двух фильтров: (а) полная характеристика; (Ь) полоса пропускания Есть лучший метод повышения подавления в полосе задерживания без ухудшения неравномерности в полосе пропускания, который не требует изменения коэффициентов фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
