Якушенков Ю.Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов (4-е изд., 1999) (1095908), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Основными характеристиками случайных величин являются: интегральный закон (функция) распределения случайной величины х, плотность распределения или дифференциальный закон распределенияр(х), математическое ожидание М(х), дисперсия )г=ол или среднее квадратическое значение (стандарт) а. Одним из наиболее распространенных на практике является гауссовский (нормальный) дифференциальный закон распределения -М(х) '1 р(х) = —,-=ехр— а-~2к ~ 2ол Математическим ожиданием или средним значением дискретного случайного сигнала х является сумма произведений всех возможных значений хт на соответствующие им вероятности р„т.е.
для конечного числа п значений х, Глава 2. Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах 'г хр, л М(х) = ~ хтр, или М(х) = — '-' —, так как ~„р, = 1 г=т % ьг гг ~=г Для непрерывной случайной величины х математическое ожидание, являющееся начальным моментом первого порядка, М(х) = (хр(х)т(х . Математическое ожидание центрированной случайной величины х — М(х) равно нулю. Дисперсией Ю дискретной случайной величины является математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания, т.
е. центральный момент второго порядка П(х) =М([х — М(х)) ~='г )х — М(х)т р, = г=г л ~~' (х-М(х)1 =~**Нмг*гГ. Для непрерывной случайной величины хг(х) = Ях-М(х)т р(х)г(х= г)х~р(х)г(х — )М(х)1 = о~ Семейство случайных скалярных или векторных величин, зависящих от скалярного параметра (например, времени, пространственной координаты и др.), с заданными конечномерными функциями распределения случайных величин называется случайной функцией или случайным процессом. В практике ОЭП часто встречаются случайные функции не одного, а нескольких аргументов, например двух координат на плоскости и времени.
При фиксированном значении аргумента одномерная случайная функция превращается в обычную случайную величину. В отличие от характеристик случайных величин, представляемых опРеделенными числами, характеристики случайных функций являются в общем случае не числами, а функциями. Так, математическое ожидание случайной функции в(х) является неслучайной функцией 30 31 Ю.Г. Якушенкоа. Теория и расчет оптико-электронных приборов аргумента х, равной при каждом значении этого аргумента матема- тическому ожиданию сечения случайной функции, т.
е. М,(х) = М[в(х)] = ~ вр(в,х) т)з. Дисперсией случайного процесса з (х) называется неслучайная функция 2»,(х), значение которой для каждого х равно дисперсии случайной величины х, т.е. дисперсии соответствующего сечения случайной функции: )У,(х) = ХУ[з(х)]= [[»-М,(х)] р(з,х)Юв. Случайные сигналы считаются стационарными, если их характеристики (математическое ожидание, дисперсия, другие начальные или центральные моменты) не зависят от аргумента (от начала отсчета аргумента) случайной функции. Стационарный случайный процесс очень часто обладает эргодическим свойством — усреднение его характеристик но множеству реализаций случайного процесса с вероятностью, близкой к единице„эквивалентно усреднению по одной его реализации при достаточно большом изменении аргумента.
Ковариационной функцией стационарного случайного процесса з(х) называется математическое ожидание произведения значений этого процесса в, и зв, взятых для аргументов х и »+ах, или второй смешанный начальный момент, т. е. выражение вида К,(т!х) = М[зт(х) зв(х+ Лх)] = ] [зт(х) зл(х+ тТ»)р(вт.зл, Лх)г!зг таза, где * - знак сопряженности функции. Для центрированного случайного процесса пользуются понятием «корреляционная Функция», которая определяется как второй смешанный центральный момент В,( ) И„(.)-М,(.)][„(., )--,(., )]~ = ] ] [вт(х)-М;(»)][за(»+як»)-М«(»«бх)])т(вг вв к!»)к!акт!вв где М,(х) и М,(х+ к!х) - математические ожидания сечений случайного процесса з(х) для аргументов х и »+ах.
Глава 2. Сигналы и помехи а оптам-электроплит приборак Ковариационная и корреляционная функции связаны между собой следующим соотношением: )к,(ах) = К,(к!х) — М,(х).М,(х+ Лх). Для эргодичеекого стационарного случайного процесса М,(х)= !пп(- — ) [з(х)огх; -х ,х кг,(х) = оа = !ттп ! - — ) ) [в(х) — М,(х)] огхт х Г,2Х -х Г ) ~Х К,(Л») = !пп( — ! ) з(х)в (»+ах)т!»Т -х )к,(ЛХ) = !ПП [~- — 1 ) [В(Х) -М,(Х)][в*(Х ~-ЬХ) -М,(Х+ ЛХ)]ГЕХТ х '2Ху -х где Х - область определения случайного процесса.
Статистическая связь между отдельными значениями (ординатамн) случайного процесса количественно оценивается интервалом (радиусом) корреляции Корреляционная функция обладает в общем случае свойством В,(Ь»)=Я*,(-Ь»), а если з(х) — действительная Функция, кк,(Ь»)= В,(-Ь»). В последнем случае корреляционная Функция имеет максимум при Ьх = О. Корреляционная Функция периодического процесса з(х) также является периодической и имеет тот же период, что и в(х).
Корреляционная функция стационарного случайного процесса з(х) являетея четной и зависит только от промежутка Лх между двумя рассматриваемыми сечениями случайного процесса. В отличие от детерминированных сигналов преобразование Фурье к амплитудным значениям случайных функций неприменимо, так как спектральная плотность самой случайной функции — понятие бессмысленное. Можно ввести понятие спектральной плотности дисперсии, так как последняя — неслучайная функция. Эта величина часто эквивалентна мощности, приходящейся на единицу полосы.
Поэтому 2 Лкуш«нк»в Ю Г 32 33 Ю.Г. йкушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов ее называют энергетическим спектром случайной функции (статистическим спектром).А. и. Хинчин и Н. Винер показали, что ковариационная функция и энергетический спектр стационарного случайного процесса являются парой преобразования Фурье, т.е. ТТ'(в) = )ГК,(Лх) ехр(- ув Лх) с((Лх) К,(Лх) = — ] ТТх(в) ехр(ув Лх) с(в.
1 2л На практике часто используется следующая связь между значен нем корреляционной функции В,(Лх) при Лх=О и дисперсией Р случайного процесса: В,(0) Р,=а,~. Для двумерных случайных функций, например, функций, ояисывающих случайный закон распределения яркости по полю, указанные выше положения сохраняют евою силу. Например, взаимная ковариационная функция для стационарного процесса в двумерном представлении х г К„(Лх, Лу) = йп — ( ]з(х, у)з*(х+ Лх,у+ Лу) с(у сух, х-~ бХT У-г -х-т" где Х, У - пределы действительных значений аргументов х и у; з*~)— функция, комплексно-сопряженная с з ().
Часто выражение для ус,('Лх, Лу) записывают в виде х г К,(Л,Лу) = — — ] ) з(х,у)з*(х+ Л,у+ Лу)с(ус(х, х-г т.е. ковариация раесматриваетея по площади перекрытия функций з(х, у) и з* с'х+ Лх, у+Лу). Двумерный спектр Хинч ина Винера для ар год ич век ого двумерного случайного процесса имеет вид (в"' ~х) = ) ) К,(Лх,ЛУ) ехР(-У(в.Лх+ ввЛУ)]с((Лх) з(ЛУ) Характеристики стационарного случайного сигнала так же, как и детерминированного, можно записать в векторной форме. Например, Й"(й ) = )К,(лр)ехр(-уй (лр))с((лр), е,р где Вл — область существовании Лр. Если подставить в последнее выра- 34 Глава 2.
Сигналы и помехи е оптико-электРонных лриборах жение ковариационную функцию случайного процесса з(р) К,(Лр) = 1!т — ) з(р)з*(р+ Лр) с(р, лл В. лел где Ол — область существования р; В; - предел действительного значения р, то получим йх(йл) = 1ип — ]з(р) ]з*(р+Лр)ехр(-уй (Лр)]су(Лр)сур. "г "Влв в, С учетом теоремы запаздывания внутренний интеграл ) з*(р+лр)ехр( — уйл(лр)]с((Лр)=Я(вл)ехр(-уйлр). Тогда И"(йл) = 1ип — Я(йл) ]з(р)ехр[у( — йл)р]схр= !ип — ~Я(й )~ . вл Вл Прохождение случанного сигнала через линейные звенья.
При прохождении гауссовского случайного процесса со спектральной плотностью нг,„(в) через линейное звено(линейный фильтр) его выходное распределение остается гауссовским. Спектральная плотность этого сигнала на выходе тк",„„(в) = В;„(в))К(ув)~ х, где К(ув) — частотная характеристика линейного звена. 2.3. Информационные характеристики сигналов Многие ОЭП служат для сбора информации об исследуемом поле сигналов, например, о структуре поля яркостей в пространстве объектов. Для таких приборов важно свести к минимуму потери информации, содержащейся в исследуемом поле. В качестве меры информации, содержащейся в том нли ином поле (в оптическом сигнале), обычно служит энтропия Н вЂ” сумма произведений вероятностей различных состояний поля (сигнала) р, на логарифмы этих вероятностей, взятая с обратным знаком: Н = - ) р, 1оярг г=с Величина п определяется числом возможных выборок сигнала.
Логарифм в атой формуле может быть взят по любому основанию; на 35 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов практике за основание чаще всего выбирают 2, что хорошо согласуется с распространенной двоичной системой счисления. Знак минус перед суммой показывает, что энтропия положительна, поскольку р,. < 1 и логарифмы р, отриплтельны. Легко видеть, что энтропия обращается в нуль, когда полностью достоверна лишь одна из выборок сигнала, а другие невозможны.
При росте и энтропия увеличивается. При объединении независимых сигналов или полей их энтропии складываются. Легко показать, что в случае в равновозможных состояний сигнала, т. е. при р,=1/и, энтропия равна логарифму числа состояний: Н= 1ойвл. Формула (2.10) пригодна для дискретного представления сигналов в виде совокупности в выборок. При непрерывном сигнале или процессе, описываемом переменной у, плотность вероятности которой характеризуется функцией р(у), энтропия определяется как Н = — ) р(у)1оал[туур(у)]йу, где тТу — наименьший интервал значений у, с точностью до которого может быть определено это значение. Если случайный сигнал у является функцией некоторого аргумента х, то оцениваемое энтропией количество информации, которое может быть получено на интервале значений аргумента 0 < х < Х, определяется с помощью теоремы Котельникова, и при отсутствии статистической связи между отдельными отсчетами случайного стационарного процесса у(х) Н = — (1+ 2/„Х) [) р(у)1ойл )/хур(у) 4у где граничная частота / та же, что и в выражении (2н8).
Здесь плотность вероятности р(у) стационарного случайного процесса, описывающего сигнал, одинакова во всех точках х. К. Шенноном было показано, что полезная информация 1 смеси гауссовского случайного полезного сигнала и гауссовской случайной помехи равна разности энтропий смеси полезного сигнала с шумом Н, и помехи (шума) Н т 1=Н,„— Н .
При статистически независимых сигнале и шуме, характеризуемыхдисперсиямиа, ио. в, Глава 2. Сигналы и помехи в сптико-элехтроннык приборах 1= О Б(1+ 2/ Х)1оа (1+ах /о~~), При 2/ Х»1 1 = /,„Х1ойл (1+ о, / ттв ) = / Х!ой (1+ Ф, /Ф ), где Ф, и Ф вЂ” мощности сигнала и шума соответственно. Если сигнал и шум не являются гауссовскими, т. е. спектральные плотности мощности сигнала й',(9 и шума й" (/) непостоянны в полосе частот /т| - О.../ „то плотность информации на единицу интервала х (2.1 1) При прохождении сигнала через линейную систему с частотной характеристикой К(О в полосе частот О.../„ количество информации на ее выходе [171 т.„-хт х[т, ° (~ х,)хГтп'хт~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
