Якушенков Ю.Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов (4-е изд., 1999) (1095908), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Определим вид спектра сложной периодической функции, являющейся суммой отдельных гармоник, используя интегральное преобразование Фурье. Если з(х) = ч ~С„ехр(упв,х), то, применяя преобразование Фурье » к обеим частям этого равенства, получим Я(ув)= ~Ч С„~ехр[у(пвс -в)х)тсух » С учетом (2.4) ) ехр()(пвс -в)х)с(х= 2лЪ(в-пвс) Я(ув)=2л ~' С„Ъ(в — псо ). »- (2.6) Одной из основных особенностей оптических приборов и ОЭП является то, что сигнал часто нельзя представить одномерной функцией. Информацию об излучающем объекте можно описать функцией двух переменных (например, в виде функции координат в плоскости изображения) или более (например, как функцию трех линейных координат, длины волны, времени).
Важным для практики следствием из теорем о спектрах является равенство Парсезалл, определяющее„что полная энергия процесса, описываемого функцией з(у), равна полной энергии спектра: Глава 2, Сигналы и помехи в оптико-электронных приборах Так, двумерную дельта-функцию можно использовать как модель точечного излучателя, находящегося в начале координат: при =О,у=О хпо,уыо Ъ(х,у) = или в векторной форме р=О при рыо Я(в.) = 2л) з(р)р У»(вьр)б .
е 25 ,р~=чсгх'~-~', ( [Ъ(х,у)дхс(у=1. В этих случаях преобразования Фурье можно записать в многомерной форме, например в двумерной: Я(ув,ув„) = ) ) з(х,у)ехр[-)(в„х+в„у)1сУхс(у или в векторной форме Я(Ув ) = ) з(Р)ехР( — УВьР)с(Оь, еь где в„, в„- так называемые пространственные частоты по осям х и у соответственно (см. ниже); вь — вектор пространственной частоты; (вьр) — «формальное» скалярное произведение векторов вь и р; Ор— область плоскости вектора р с бесконечно большими пределами.
Пространственная частота является мерой повторяемости оптического сигнала, например яркости объекта или освещенности изображения, вдоль какого-либо направления, например, вдоль ортогональных осей х и у. Величины в, и в„связаны с числами пространственных периодов Х и У на единицу длины, т.е. с циклическими пространственными частотами („и (к: в„=2л(„=2л/Х; в„=2л/У.
Часто пространственную частоту рассматрйвают как меру повторяемости по углу, т.е. размерность в„, в„, в, или соответственно („. (,, (, может быть обратно пропорциональной размерности не только линейной величины, но и угловой. В тех случаях, когда в качестве независимых переменных используются не прямоугольные координаты х и у, а полярные - р и а, причем х=р сова, у р а)па, для нахождения пространственно-частотного спектра Я(усо ) удобно использовать не преобразование Фурье, а преобразование Гаккеля: Я(в )р = 2х (з(р)р У (в р)т(р, з(р) = (Я(в,)в, У (а р)йо,.
о Я(уй )~=21охВлУ (У~й ~)/В~й-~, (2.7) 1 )х)й-,(У)~ —; з(х у)= О при ~4>-' 1у~> — ' 2 2 )'у'(х) ( = — чту' тиы— "2 27 Ю.Г. Якушенкое. Теорие и расчет оптико. электронных приборов где,У„() - функция Бесселя первого рода и-го порядка. Обратное преобразование имеет вид з(р) = (Я(в )в Ух(в р)т(в о Если з(р, а) симметрична относительно центра полярной системы координат, т.
е. ее форма определяется только радиусом р, то Для дальнейшего рассмотрения удобно определить вид спектра функции з(х, у) в том случае, когда один из ее аргументов, например, у, фиксируется, оставаясь постоянным, т.е. служит параметром. Б этом случае с точностью до постоянной можно записать Я(уа„уа„)= ( ) з(х)ехр[-у(а„х+а„у))с(хк(у= = ) з(х)ехр(-уа„х)т(х ) ехр(- ув„у) к(у = Я(уа„) 2лб(а„), где б (а„) - дельта-функция аргумента то„.
Приведем некоторые используемые на практике преобразования Фурье: прямоугольной двумерной функции з1п(в„— ~ е1п(а„— ) ~В(у „у „)1=1 аЬ— Глава 2. Сигналы и помехи е оптико-электронных приборах двумерной центрально-симметричной функции Гаусса з(р) = уоехр(-рл/а ) „' ~Я(уйл)~=уела ехр(-йза /4); круга равной яркости Ьо. (Д, ~р(<В; О ~(В где,У, — функция Бесселя первого рода 1-го порядка.
Помимо разложения в ряд Фурье нам в дальнейшем понадобится и другое разложение, известное как теорема Котельникова. Оно представляет собой разложение функции у (х), имеющей ограниченный спектр (от О до ( ), по ортогональным функциям тр(х), причем коэффициенты этого разложения у„являютея дискретными значениями у(х), взятыми через интервал Лх, т.е. у(х) = ~Ч ул(х)трл(х). где~(к~= О, 1,2, 3,...; у (х) у (Утйх);ох = 1/(2(„ ); ( ) ~~т г *-Йтн 2х( ( -Мх) Функции трл(х) обладают свойством ортогональности, т.
е. О Утыуу (трл(х)тут(х)т(х= 1 при (2.8) 2Г Й=Е. Из (2. 7) и (2. 8) можно получить выражение для энергии сигнала Для конечного интервала значений х (О... х) действительны разложения вида (2. 7) с заменой пределов интегрирования в (2.8) на О... х и суммирования на 1... и, где и х/стх=2(,„х. При и» 1 погрешность от перехода к новым пределам невелика, т.е. в интервале О...х функция у (х) полностью определяется п выборками из нее.
и,„(х) = — ~ У,„(усо) ехр(увх) сув 1 2л то выходной сигнал Рвс. 2.2. К выводу (2.9) Х 28 Ю.Г. Якуаенкоа. Теория и рас ет оптика-электронных приборов Рвс. 2.2. Представление непрерывных функций двскретнымн эначеявямв Рассмотрим две функции (рис. 2.2). Очевидно, что для дискретизации функции у,('х) (рис. 2.2,а) требуется большее число составляющих, т. е.
Ах у нее меньше, чем у функции уг(х) (рис. 2.2,б). Также очевидно, что первую функцию можно представить рядом или интегралом Фурье с ббльшим числом составляющих. Это согласуется с данным выше определением: чем больше У, тем меньше должен быть интервал Лх. Прохождение детерминированного сигнала через линейные звенья. Для описания процесса прохождения сигнала через линейные звенья с постоянными параметрами применяют спектральный метод и метод суперпозиции. Спектральный метод (метод спектрального разложения) основан на использовании передаточной функции или частотной характеристики К(у в).
Если входной сигнал и,„„(х) = — ] У,„(ув) К(ув) ехр(усох) с(а 1' где К(ув) = — '""~ — = К(в)ехр~уср(а)], У„(уа) т.е. К(в) определяет как бы вес отдельных спектральных состав- ляющих входного сигнала в их вкладе в выходной сигнал, а ср (а) -фа- зовый сдвиг выходного сигнала относительно входного. Глава 2. Сигналы и помехи а оптико-электронных приборах Метод сунерноаиции (метод интеграла наложения) состоит в том, что сложный входной сигнал представляют в виде совокупности очень коротких импульсов и рассматривают выходной сигнал системы как сумму реакций на эти сигналы.
Выходной сигнал системы при воздействии единичного импульса, т. е. дельта-функции, называется импульсной характеристикой системы и обозначается у(х). Так как спектр единичного импульса равен единице для всех частот, то и,„,(х) = у(х) = — ) К(уа)ехр(увх)дв т.е. частотная и импульсная характеристики системы являются парой преобразования Фурье.
Отсюда ясно, что функцию К(у' со) можно определить экспериментально, исследуя реакцию системы на единичный импульс. Например, на вход системы подается короткий импульс, сигнал с выхода поступает на анализатор спектра, в результате находится частотная характеристика К(у в). В оптике короткому импульсу аналогична мира в виде точки. Распределение энергии в кружке рассеяния, т.е. в изображении точки, определяет импульсную характеристику (весовую Функцию) оптической системы. Найдем в общем виде выражение для выходного сигнала и, (х), если на вход линейного звена или системы поступает сигнал и (х), а вх импульсная характеристика системы у(х) известна. Для этого сигнал произвольного вида можно разбить на элементарные импульсы и найти реакцию системы на любой из этих импульсов с координатой х для с произвольного значения аргумента х (рис.
2.3). Если площадь какого-либо элементарного импульса равна единице, то его можно рассматривать как дельта-функцию, возникающую при значении аргумента х,. В этом случае импульсная реакция для Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов произвольного значения х, равна я(х,-х, ). Поскольку площадь одиночного импульса на входе равна и,„(х,) Ьх„а не единице, то выходная реакция на такой сигнал будет и,„(хг) Лхг Фхг-х,).
Складывая результаты действия отдельных элементарных импульсов в точке х„нужно перейти к интегрированию последнего выражения, т.е. к интегралу свертки: и, (х)= ) и, (хг)К(хг-хг)гххг ° Длн системы, У котоРой 2(х) =я*(-х) и з(хг-хг) =К*(хг-хг), (2-9) можно переписать в виде и,„,(хт)= ) и (хг)Ия(хг — хг)к(х, т.е. выходной сигнал является функцией взаимной корреляции входного сигнала и функции, комплексно-сопряженной с импульсной реакцией.
Это часто применимо к оптическим системам. Дальнейшее развитие методов спектрального разложения и метода суперпозиции для оптических систем рассмотрено в гл. 10. 2.2. Случайные сигналы и способы их описания Случайным сигналом принято называть величину, которая может принимать любые значения в определенном интервале с определенной вероятностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
