Якушенков Ю.Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов (4-е изд., 1999) (1095908), страница 4
Текст из файла (страница 4)
15 Глава 2. Сигналы н помехи в оптнко-электронных приборах Ю.Г. Як?агентов. Георнв н расчет оптнко-электронных приборов Контрольныс еоиросы 1. Каковы достоинства и нсдостатки активного, пассивного и полуактивнаго моголов рабаты ОЭП? 2. Какие звенья схемы. ирсдставлснной на рис. 1.1, можно поменять мастями? 3. С какими видами ОЭП и ОЭС .вам приходилось иметь дело (в лабораториях уиивсрсятста, в повседневной жкзни и т,дб? Часть! ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИКО- ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ Глава 2. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В ОПТИКО- ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ 2.1.
Детерминированные сигналы и способы их описания ' Сигналом принято называть физический процесс, несущий информацию — совокупность сведений, являющихся объектом передачи, преобразования, хранения или непосредственного использования. В ОЭП основным носителем информации является электромагнитное излучение. Сигналы могут быть детерминированными и случайными, непрерывными и дискретными, периодическими и непериодическими.
Детерминированные сигналы, т.е. такие, у которых в любой момент времени или в любой точке пространства 1внутри исследуемой области) все значения известны, подразделяются на периодические и непериодические. Каждый из них может быть либо непрерывным, либо дискретным. Случайные онтнческие сигналы характеризуются пространственной и временнбй неоднородностью излучения и описываются случайными функциями. Как правило, случайными сигналами являются шумы и помехи, возникающие в различных звеньях ОЭП и вне его. Способам описания случайных сигналов посвящен следующий параграф. Здесь же кратко рассмотрим детерминированные сигналы.
17 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-мектронных приборов Характерным примером такого сигнала является идеальный единичный импульс, описываемый дельта-функцией, свойства которой определяются следующими соотношениями: 0 х<0; 1 б(х) = )пп — —. = хо о хо от при 0<х<хоу 0 х>хру Гб(х)ух =1: 3'б(у-х)/(х)сух = /(у) В(Х) = — р + Д аи СОВ(Паля)+ Ь„В1П(яатХ)] = 2 "л+'ч, А„сов(па,х-хр„)= ) С„ехр()(патх)], 2 и= где 'ко 1 ~в(х)кух — среднее значение функции в(х); 2 ХУ„ х ,х 2 =2' ) в(х)сов(пагх)гух; Ь„= — ) в(х)в1п(пагх)гух— х коэффициенты ряда Фурье; ху„=агсзб (Ь„/а„) — фаза и-й гармоники; Х вЂ” период; а =2к/Х вЂ” частота первой гармоники; п — целые числа; 1 А„=,~а~+ Ьв; С„= 05(а„— уЬ„); С „=О 5(аи+уЬ„) — гармоники в комп- Последнее выражение является интегралом свеРтки функций б(х) и /(х) и определяет так называемое фильтрующее свойство дельта- функции.
Пользуясь им, можно показать, что интеграл свертки (или просто свертка) функций /(х-х,) и дельта-функции б(х-х ) равен /(х-х,-х ), а свертка двух дельта-функций б(х-х,) и б(х-х ) дает б(х-х,-хв). Периодический сигнал в(х) любой формы можно представить в виде суммы простых гармонических составляющих (гармоник) разложением в(х) в ряд Фурье, если функция в(х) удовлетворяет условию Дирихле (является кусочно-ограниченной и имеет конечное число экстремумов на протяжении периода Х): Глава 2. Сигналы и помехи в оотико-электронных приборах лекс ном представлении ряда Фурье, имеющие одинаковые амплитуды и разные по знаку фазы.
При сложении С„и С „дают действительную функцию аргумента х, т.е. амплитуду реального яфизическогоо колебания. Это легко показать, поскольку ехр ()ах)+ехр (-уах) = 2 сов (ах). Для четных функций в(х) = в(-х) коэффициент Ь„=О; для нечетных в(х) = -и(-х) ковффициент а„=О. Совокупность отдельных гармоник образует спектр функции, который для периодического сигнала дискретен. Отдельные составляющие дискретного спектра отстоят друг от друга на величину а1=2к/Х.
Можно отметить, что при увеличении скважности импульсов (отношение периода следования импульсов к их длительности) линии спектра сближаются, а сам он приближается к сплошному. Для непериодического сигнала (Х-+ко) ряд Фурье вырождается в интеграл Фурье, т.е. спектр становится сплошным. В этом случае в(х) = — Г)3(уа)ехр(уах)гуа у 1 2к (2. 1) (2.2) В()а) = ] в(х)ехр(-)ах)гух; Выражения (2.
2) и (2. 1) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье. Они применимы к абсолютно интег- рируемым функциям, для которых сходится интеграл вида ) ~ в(х) ~ гух . Для функций в(х), четных относительно х. интегралы в (2. 1) и (2. 2) совершенно подобны и переменные а и х взаимозаменяемы. В атом легко убедиться, если учесть, что ехр(+уах)=сов(ах)+)в)п(ах) и ]+)втп(ах)гух=О. Огибающая В (уа) (модуль спектра или спектральной плотности) совпадает по форме с огибающей дискретного спектра периодической функции, полученной из непериодической ее повторением с периодом Х. и отличается только масштабным множителем ат/и. Таким образом, если известен вид спектра одиночного сигнала, например, одиночного импульса, то спектр последовательности таких импульсов можно легко найти.
Рассмотрим несколько примеров. 18 Ю.Г. Якушенкоэ. Теория и расчет оптико-электронных приборое Модуль спектра прямоугольного импульса протяженностью Х» с амплитудой Е (рис. 2.1, а) з1п( — ») Х Х» 2 э( ) к х о хо ~з,ем1! л(х) х ох э 3 Е- 1зс й о в эх и, Х"; л1 л) Рис.2.1. Сигналы и их спектры: а — одиночный прямоугольный импульс; б — дельта-Функция; е — периодическая последовательность прямоугольных импульсов При аХ»/2«1 „т.е. при приближении к дельта-функции, имеем и( Х») 1пп =1 и )Я()а)(=ЕХ»=сопел.
хя- о Х» 2 Таким образом, модуль спектра дельта-функции (рис. 2.1,б) 6(х) = — ~ехр(Х)ах)к(а. 1 2л (2. 4) !Я,()а)~= ) б(х)к(х=1. Последнее выражение можно также получить, используя фильтрующее свойство дельта-функции. Пользуясь преобразованием Фурье, а также учитывая четность дельта-функции, можно представить ее условное определение в виде Глава 2. Сигналы и помехи е оптико-электронных приборах Последовательность импульсов прямоугольной формы (рис. 2.1,в) описывается рядом » Е з(х)=,)' з(х-лх»)т ээ(х)= 10 при ... 2 где 1»- период импульсной последовательности. Спектр этой послдовательности состоит из отдельных гармоник, отстоящих друг дру га на а, = 2к/г», и имеет модуль ,„ з1п(па, †) Х») ~Я()а)~рм2пŠ— » ) — — б(оэ — па,).
у Х, ил= ла г Огибающая амплитуд гармоник повторяет огибающую спектра одиночного прямоугольного импульса. Напомним некоторые свойства преобразования Фурье (теоремы о спектрах), необходимые для дальнейшего изложения. 1. Свойство взаимности. Если повторно применить прямое преобразование Фурье к спектру Я()а) функции з(х), то можно восстановить центрально-симметричный исходный сигнал, т. е. ) Я()а)ехр(-)ах)к(а = 2лз(-х). Действительно, если Я()а) — спектр функции з(х). то с учетом (2.1) можно записать 1 о з(- х) = — ) Я()а)ехр()а(- х)) к)а = — ) Я()а) ехр(- )ах) к1а . 2. Свойство симметрии. Преобразования Фурье обладают свойством симметрии.
Действительно, если вычислить преобразование для функции з" (х), комплексно-сопряженной с з(х). то получим (**ил .~-ъ*м*+ж *.~-л-.и~ *~ - г- -г Для действительной функции з(х) = з*(х) Я*(-)а)=Я()а) и Я*()а)=Я(-)а). 20 21 Я,э(ув) = — ) Ят(уи)Ял[)(в — м)]гБ. 1 за(х) = з(х)ехр( — уйх) .
23 22 Ю.Г. йкушенкое. Теория и расчет оптико-электронных приборов Для действительной четной функции з(х) = з*(х) = з*(-х) Б(ув) = Б *( — )в) = Б е (ув), 3. Свойство линейности (теорема о спектре суммы). Если Я, (ув) и Я (ув) — спектры функций з,(х) и з (х) соответственно, а а и Ь— произвольные комплексные числа, то спектр суммы аз,(х)+ Ьза(х), являющейся линейной комбинацией з,(х) и зэ(х), равен линейной комбинации соответствующих спектров, т.
е. ] [азг(х)+ Ьзх(х)]ехр( — увх)гух = аЯг(ув) + Ь$х()в). 4. Теорема подобия. Если Я(ув) - спектр функции з(х), то для любой действительной постоянной а спектр функции з(ах) равен Я(ув/а)/а. Если заменить ах на у, то ] з(ах)ехр(- увх)сУх = — ) з(у)ехр~ — у — «) гуу = — $(у--) . Таким образом, в результате сжатия сигнала по координате х, ведущего к изменению функции в а раэ быстрее, увеличиваются частоты, составляющие ее спектр, и изменяются амплитуды гармоник. 5.
Теорема запаздывания. Спектр Яо(ув) функции з(х-хо) отличается от спектра Я(ув) функции з(х) множителем ехр Ивхо). Действительно, если сдвинуть функцию з(х) на х, то ее спектр будет Яр(Ув) = ~з(х — хо)ехР( — Увх)Г(х . Заменяя переменную интегрирования х на у=х-хр, получим Яо(Ув) = 5 з(У) ехР[- Ув(У+ хр)]ГУУ = $(Ув) ехр(- У вхо) . Заметим, что модуль спектра остается неизменным, т.е. ~Я.(у )~=,'Б(у") ~. Применительно к случаю дельта-функции 5(х-хр) Я,(ув) = ехр( — увхо) . б. Теорема о переносе спектра.
Если сместить спектр Я(ув), которому соответствует функция з(х), по шкале частот на величину й (действительное число), то сдвинутому спектру Я Т у (в+й)1 соответствует функция Глаза 2. Сигналы и помехи э оптико-электроннык приборах Действительно, Я[у(в+ й)] = [з(х)ехр[- у(в+ й)]гух = ] [з(х)ехр( — ухй)]ехр(-усох)сух, т. е. соответствующая этому спектру функция зо(х) = з(х) ехр(- уйх) .
7. Теорема о спектре свертки. Спектр Я (ув) свертки з(х)= ~зг(у)зх(х-у)г(у двух функций з,(х) и зх(х) равен произведению спектров Я,(ув) и Ях(ув) исходных функций з,(х) и зз(х). Действительно, Я(Ув)= [ ]зг(у)зх(х-У)ехР(-Увх)дхсУУ= = ] зг(у)гхуу ] зх(х-у)ехр(-увх)сух= = ]зт(у)Ях(ув) р(-уву)ду=Бг(ув)Ях(ув). 8. Теорема о спектре произведения (обратная теорема свертки). Произведению функций з,(х) и за(х) соответствует спектр Я, (в), являющийся сверткой спектров Яг(ув) и Ях(уго) исходных функций.
Иэ свойства взаимности преобразований Фурье ЗлЯ( — ув) = [ з(х) ехр(- увх) сух и теоремы о спектре свертки следует, что для свертки спектров Я„(ув) и Ях(уго) ГБ(у")Я[у( - )]д преобразование Фурье Я, (ув)=йпз,(хг) з (х ). Отсюда спектр произведения исходных функций Ю.Г. Якушенков, Теория и расчет оптико-электронных приборов что можно доказать, если рассмотреть свертку з(х) для х = О. При этом свертка 1' з(О) = (зс(у)зл( — у)с)у= — (Яс(ув)Ял(ув)йо Отсюда, учитывая свойство симметрии преобразований Фурье, т.е. тот факт, что при замене зл(у) на зл*(-у) происходит замена Ялов) на Ял*(ув), а также предполагая з,(у) = зл(у) = з(у), легко получить равенство Парсеваля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
