Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Р(х, 1), — г, о, =Л(х, 1), (1)'. т (52) (58) ю уравнения (47) и (48) перепищутся в виде др(х, 1) . 1 дг * ей ' а +1»нор(х, 1) =- — Л (х, 1) М* (1'йг) А„(х, 1), дЛ(х, 1) 21 — = — ( — р (х, 1) Ми ( — Л7) А„(х, 1)+ дг сд +р»(,, 1) М*„(»4~) А„(х, 1)), (55) Введем следующие обозначещщ: Гп (й) = 4~~ (йпр „) Мд (й), 6 ж1 г йайя т ( й)=„р (бид . ) Мр( й) а =,т»~ й» ) р (57) 365 д Операторы Ми(1'йг), зависящие от градиента Т = —., действуют дх ' иа векторный потенциал А„.
В дипольном приближенна М„ постоянное число. Уравнение (49) можно переписать в следу!ощем виде: (" — — с»Т»+ ы»ь ) Аа (х, 1) == д(з — — (бчй — — „, ) (Мд(й)(оД))+ гг, 6, 1 + Мр ( — й) (и('))) ехр (» йх — гйх1). (56) Заменяя в уравнении <56) суммирование по 1 на интегрирование по непрерывному параметру и используя форыулы (50), (51),(52), а также равенство ~, ехр [пй (х — х')) ==. 1'Ь <х — х'), к пол у ч и м (после пренебрежения ы! ) — -" —,' — — сеЛА,„(х, !) = 4пс(РО( — Ю) Р" (х, !)+ Ел (!Чг) Р (х, П). дзА„(х, П (58) Система уравнений (54), (55), (58) является аналогом квазнкласси- ческнх уравнений для резонансной среды.
Как видно, квазиклас- снческне уравнения имеют более сло!кный вид, чем обычно исполь- зуемое уравненве резонансной среды для дппального приближения и существенно зависят от мультипольности перехода. Однако лля одной (усилитель) илн двух (генератор) бегущих волн система уравнений может быть упрощена. Лля примера рассмотрим про- хождение волны через резонансную среду.
Рассмотрим для про- стоты одномерную аадачу вдоль оси х. Обозиачнм проекцию потек. инала Л па матричный элемент перехода М через А. Для одной бегущей волны представим потенциал и ток в виде А .1 < г) !<кх ки! 1 <л ( <) — «<ьлз-м!) (59) р.—.- р, (х, <) ез<кл ""), (60) причем будем предполагать, что А! и р! суть медленно меня!ощнеся функпни по сравнению с экспонентой. Усредняя, как обычно, по Гзйстрым осцнлляпиям и считая плотность атомов постоянной, найдем: дА! , 1 дА! 2к . ', :— — '= — !и< — й)р,, дх ' с д< ы (61) — +1 <мо — ы) р! = — Мл ( й) ЛА! ар, ! д< сй (62) — = — „(Л(л ( — й) Азрл — Л( < — й) А! р!).
дЛ 2! (63) д! Сд Система уравнений (61) — (63) совпадает с уравнениями гл. Ч1 для усилителя. Действительно, сравнивая уравнения (6Ц с (И.21), найдем, что р .= гй< ( — й) р! (что согласуется с определением (Ч1.!9)). Уравнения (У!.26) и (У!.28) также тождественны урав- нениям (63) н (62». Система квазнкласснческих уравнений упра- щаетси также и в случае одномерно~о генератора и приводит к уравнениям, использованным в гл. Ч!. Нужно отметить, что приближение, ко!орос приводит к системе квазнклассяческих уравнений, соответствует замене <А!) <А! <1), (64) поскольну операторы о н о«соответствуют операторам «тока перехода». Можно не производить замены (64), а одела~в следующее приближение: (65) Через л (г) обозначен оператор полного чясла фотонов. Такое приближение лучше, чем кназикласснческое приближение, и приводит к системе, исследованной н работах )16!) — 172).
Сравн«нне двух систем показывает, что в системе (54), (55), (58) огсутствуют эффекты спонтанного излучения. Такой результа г вполнс Сете. с!вен, поскольку в клзсснческ)'ю тсорн!О излучспня, как нзвсстио, спонтанное излучение нужно вводить с помондью специальных дополнительных правил. Обычно при введении спо!манного излучения опираются на соотношения 3!!пн!тейпа между вынужденным и спонтанным излучением.
Таким образом, применимость квазикласспческнх уравнений ограничивается услопием з,ТЛ » —, (66) где з — поперечное сечение, которое означает, что число вынужденных процессов превышает число спонтанных переходов. Это условие обычно выполняется с большим запасом, за исключением области малых Л нли малых .7.
Связь с квпзикласснческнми уравнениями, использующими аппарат матрмцы плотности. Рассмо!.рнм связь использованных в гл. У! уравнений с макроскопическнмп уравнениями Максвелла и с уравнениями для мзтрниы плотности. с!тобы яснее представить физический смысл матрицы плотности, рассмотрим систему атомов, взаимодействующих не только с внешним электромагнитным полем, но н с окружающей средой, например с кристаллической решеткой. Кристаллическая решетка опнсы. вается системой волновых функций грл.
Система атомов непрерывно взаимодействует с решеткой и ие образует замкнутой системы. Поэтому она не обладает полновой функцией. Толька полная си. стена атомов (находящихся в поле А) вместе с кристалл!пеской решеткой описывается волновой функцией Ч': Ч' =: С,Ч !+ОзЧз =- ~л алЧ',. (67) л Функции Ч'„описывают стационарные состояния атомов. Коэффицвеиты а„(<) определяются.
здесь не только взаимодействием с внешним резонансным электромагнитным полем, но и взаимодействием с решеткой. Следовательно, величины ал можно представи~ь в виде ряда по полной системе функций гр„, характеризу!ощих состояния ешеткн, Р пл =- ~~~ Слглгр!л (68) 1л Соотношение (67) примет внд Ч'= ~ ~Слл! <П Чгл!Рл~ (69) Вычислим среднее значение какого-либо оператора р, характеризующего только систему атомов (но не решетку): р=- ~ Члрч'АУ 3~<ж = ,'~ С'„С„,жр„,== ~'„рял,р„,н<-5р (рр). л, л', м л,л' 367 Матрица Р с элементами (70) т носит название матрицы плотности.
Только в том случае, когда решетка в течение всего времени взаимодействия находится в одном н том же состояния т =-тз, элементы матрицы плотности представляются в виде простого произведения (71) В этом случае имеет место равенство (72) В правильности этого рзяеасгзз легко убедиться, используя условие нормировки ~с~( С;)з = 1. Это случай так называемого чистого состоя! ння. Легко проверить, исходя нз приведенных формул, следующие свойства матрицы плотности: 5рр=-! Ртп .=- Рп' и (73) Рзп ~ 1 Уравнение П!Редннгерз для матрицы плотности имеет вид (74) Применим аппарат матрицы плотности к задаче о генерации лазерного излучения. В болыпнпстве работ, посвященных квззнклассической теории излучения, используются макроскопическне уравнения Максвелла: 1 д го! Е;= -- — — (Н+ 4пМ), с дг ! д го! Н:= — - — (Е+ 4ир), с д( бок (Е+4пр) =- О, ( ) 75 г)!т (Н+ 4пМ) --= О, 1 дд Е.== — — —,, В:-- го1 А.
с дг Входящие в уравнения Л(аксвехчла величины М и р определяются но формулам Р--8Р (РР) ==Рырм+Рззрж ( Ржрщ+Ржрщ (76) М =-5р (РМ) --- Мы ры+ Мз зрю Ч- Мзиож+ Мззряэ Уравиегшя Шредингера для элементов матрицы плотности имеет нид (й — Р","!в " —.-((Н, ', и )(б Р(и„-)-йт))„з. ' (77) Взаимодействие Н' в днпольном приближении определяется выражением Н = — РЕ-МН. В атом случае уравнение (77) прнииыает внд дрти 18 —.=- — дехтзртп — Е (РР— РР)тз — Н (МР— РМ)тз (78) где Дттп === Вт — Еп (79) Рассмотрим атомы с двумя уровнями.
Из (75) и (78) для диполь- ного электрического взаимодействия имеем: йгаб брз А-АА+ — —, = — 1 Р)з — + Ргт — ~ (8О) 1 дзА 4п Г дРзг, дрщ х сад(а=с ~ д( д) 1 (й д = — Дюззрзг — Ерш(рзз — Рг!) дрщ (8!) 18 — — = — Е (РзтРхз — Рз! Рж) ')рзз (82) Если пРииить, что Р,я= Рзр, н искать А в том же виде, что н в гл.
1г), то и дипольиом приближейни выписанные уравнения июдтверждают приведенные уравнения гл. 1г1. Аналогичные уравнения получтотся н для магнитного дипольиого взаимодействия. Величина р, введенная иамн и гл. Ч1, связана с элементамн матрицы плотности, Для отдель- ного атома величина р — (ахене) связана с элемеитамн матрицы плот- ности в случае дипольиого приблгпкения следующими формуламн: -1т г (аэхаз)ге з' =рзз, гт с (а,ае)!Е Е1:=- р Ы ) аз(в=рта, ! а, (з = рн. 368 ЛИТЕРАТУРА 1. 3 с Ь а»ч ! о»ч Л. Ь,, Т о чч и е з С. Н.
РЬуэ. Йеч., 1958, ч. 1!2, № 6, р, 1940. 2. Л а н д а у Л. Д., Л н ф ш и и Е. М. Квантовая механика. Физматгиз, 1963. 3. Ш и ф ф Л. Квантовая механика. Нзд-во иностранной литературы, !959, 4. В о г п М., ТЧ о 11 Е. Рг!пс1р!ез о1 орНсз. Регйагпоп Ргеээ, 1964. 5. 3 с Ь а чг ! о чч А. !.. Абчапсез 1п йнап1пп«е1ес1гоп!сз, ед. Ьу Л, Й. 3!пйег. Хе«ч Чогй — Ьопбоп. !961, р. 50. 6. !Ч1111«е Л Р.
Л. Лрр1. РЬуз., 1962, ч. 33, № 7, р. 2333. 7. АЬе1!а 1. Р., Снгпт1пз Н. 2. 3. Лрр!. РЬуз., 1961, ч. 32, Ле 6, р. !!77. 8. Х е! з о п Р. Р., 3! и г 8 е М. Р. РЬуз. йеч., !965, ч. !37, № 4А, р. А!! 17. 9.Ма!шап Т.Н., НозЬ1пз Й.Н.,РНаепепз 1.3., Аза«ча С. К., Еч1пЬоч Ч. РЬуз.
Йеч.,!961, ч.!23, р. ! 151. !О. Б у к к е Е. Е., М о р г е н пг т е р н 3. Л. «Оптика и спектроскопия», !963, т. !4, № 5, стр. 687. 1!. МсС!пп8 Р. а., Зсй«чагх 3. Е. 3. Арр!. РЬуз., 1962, ч. 33, № 10, р. 3!39. 12. М с С 1 и п й Р..1., Н е 1 ! вг а г 1 Ь й. !Ч. Ргос. 1Е ЕЕ, ! 963, ч. 51, № 1, р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
