Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для того, чтобы удовлетворялись граничные условия при х =- 1 [формула (!Х.40)], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение .72о (»):--= гь7ы (» — — ) е' 2-а". (]ХЛ3) (1 1 з») 1 31 512 ) о о са Рис. 1Х.8. Фариа импульса на выходе регеиератявного усилителя; (аЛ вЂ” 811 =- 1, г, =- := га = 0,3. Ю ах/гг 5 га г5 их/л (1Х,81) Л~ (г)=( 382 хз — вх1 Суммируя геометрическую прогрессию, получим Лх(1) =-. (! — га) м|г (1) =: Уа(1 — г1) (! — гх) Х 11 „Хг~ Режим усиления возможен, когда г,г,еа1'х-ви - !. В противном случае усилитель самовозбуждается, т. е. пре- вращается в генератор. Максимальная величина выход- НОГО ИМПуЛЬСа дОСтИГаЕтея В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ 1=- тн + 1/О: хтгх»пах .- 70 (1 г!) (1 — гх) е»С з<аа-ри! х ~ (1Х.48) 11+ и) Вгаа-Щ1 — Гххас Полагая ти -а ао, получим формулу, определяющую усиление в стационарном режиме, „) (1, ) егаа-аи Аналогичным образом рассмотрим теперь спадающий участок импульса.
Если длительность усиливаемого импульса ти достаточно велика ', так что интенсивность прошедшего излучения достигает стационарного уровня, определяемого формулой (!Х.49), то спад импульса на выходе ' Д.ппельиость импульса ти должна быть большой по сравнеишо с наставиной времени усйл»»тели ту, [си. формулу (! Х.зз)1, ущ1лителя (1--, тп . Р-) ОпРелелитсЯ пз 11Х.441 (1) у„ст(„.ее га щ ! г+ — '»--, ВХ бО) Врг мг гпы51 3'1зисимогть /~» (1) дчи Одного из !астныт случаев представлена иа рпс.
1Х.8. х,х/;г Рис. 1Х.ч. Форма сигнала на выходе регенсратнвнага усилители прн ид коротких вхалных пм. пульсах; (па — Р) 1:=- 1, г» га В том случае, кощщ т, -. 20О, сигнал на выходе усилителя представляет собой затуха1ощу»ю последовательность прямоугольных импульсов длительностью тп (рнс.
!Х.9) уа(! г»)е»ах-зи ( „га т»»-ь — ) ,7Е (! — Г,) Е1 а-а1'Г,Гасцаа йи ) 31 ., 31 1 1-'ъти "г ) а ' и / ,УО (! --Г,)Е <аа-З1'(Г,ГХЕХгаа-ан)Х вне уки,а1иых промежутков времени. Аналогичные формулы легко могут быть получены и для отрамгенного импульса. Следует отметить, что в приведенном анализе мы не учитывали зависимость козфф1щиентов от частоты и ширины липин, предполагая, что все величины усреднены около интересующей нас частоты.
Кроме того, мы пренебрегли всеми фазовыми соотношениями в усилителе, Это допусти- и/ьа Рис. 1Х.10. Зависимость коэфриниеита усиления рубинового усилители от энергии накачки. о (1 — г) (1Х. 54) мо лишь в том случае, когда ширина спектра усилнваемого сигнала значительно превосходит расстояние между соседними типами колебаний в оптическом резонаторе, что обычно выполняется иа практике (см., например, 1265!). Таким образом, полученные выражения определяют среднее значение коэффициента усиления в полосе частот. Постоянную времени усилителя тт удобно оценить (с точностью до 2!1в), аппроксимируя выходной импульс д гав гала гала к ч„аа гладкой функцией (пунктирная кривая на рис.
1Х.8). При этом из формулы (1Х.47) нли (1Х.48) получим ш У= — ! 1и — — 2 (6Л вЂ” 1г) ! гага В частном случае Л = 0 эта формула определяет постоянную времени оптического резонатора, образованного двумя плоскими отражающими поверхностями 21 (!Х.53) 1и — +2р1 г,га При»г =- га = г- 1 и () = 0 получаем известное выра- жение Энергетические характеристики регенеративного усилителя легко рассмотреть в общем виде, не задаваясь конкретной формой импульса. Интегрируя соотношение (1Х.44) по времени, получим Ям =-(! — г~) е<аа-а!%о+ »~»геа1оа-ан()аг, (!Х 55) %!: где гни уве гг Определяя отсюда коэффициент усиления по энер, приходим к формуле (1Х.49).
Когда обратная связь личивается до критической величины, т, е. при , аеаы~-Ш' — 1, коэффициент усиления, определяемый этой формулой, неограниченно растет. В действительности, однако, плотность выходной энергии ограничена и не может превышать величины йт,аЫ/2. На рис. !Х.10 в качестве иллюстрации приведена экспериментальная зависимость коэффициента усиления от энергии накачки для рубинового усилителя, работающего в режиме регенерации 12бб!. Обратная связь в усилителе создавалась за счет отражения излучения от ныходного зеркала (г =- 0,3) задающего генератора с вращающейся призмой и свободного торца рубинового образца (» =- 0,08). Как видно, по мере приближения к порогу самовозбужде.
ния усилителя((/аж 1700дж) коэффициент усиления резко возрастает. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ТЕОРИИ ГЕНЕРАЦИИ гок --- сй, Фмк1 Скх ---- С„'. х (О! с где Волновос уравнение (!) удовлетворяется, если коэффициенты Скх подчинщотся уравнению д д, С„„= — !гоьс„,, Квантование электромагнитного поля без заря дов.
Электромагнитное поле в вакууме в классической электро динзмнке описывается векторным потенциалом А, удовлетворяю щнм уравнению чэА — —,— =О 1 дэА гв д!з с дополнительным условием калибровки д(ч А =- О. (2) Условие (2) из всей совокупности решений уравнения (!) отбирает электромагнитные волны с поперечной поляризацией. Напряженности электрического и магнитного полей с помощью векторного потенциала определнются соотнопюниями 1 дА Е=- — —, с д! К=го( А, 0= — ~ (Еа+Нэ) дУ. 1 йп а энергия поля (4) А= ~~ екь(Сккещ*+Свахе !к").
к, Х Условие (2) выполняется, если векторы е ь ортогоиальны волновому вектору й. Каждому вектору й соответствуют два взаиыао ортогональных вектора екх (Х = 1,2). Электромагнитное поле заключено в некотором обаеме, иа границах которого должны выполняться определенные граничные условия, Обычно выбираются периодические граничные условия, а область берется в виде куба с ребром С. В этом случае волновой вектор может принимать лишь дискретный ряд значений 2п й; == — д!, (6) щ:-- О, - 1, =.
2, ..., = !. 2, З. Представим векторный потенциал в виде суперпозиция плоских волн С такой временной зависимостью разложение потенпаала (5) представляет отперпозиаию плоских бегущих волн с волновым век. тором й и частотой гзи. Учитывая ортогонлльность векторов поляризации еию а также соотно|нение ехп("х(й й )) дх=-~-збкк" (8) можно показать, жо дчя классической энергии поля излучения получается выражение )(= — „' ~~ й (С(ас„к+С„.ьХС„.„). (,а (9) к,х Если перейтн к новым амплнтудам- 2яйг ''з (кх-=~ й!з ) Скх (10) то векторный потенциал и полная энергия преобразуктся к виду 1 кз Н 2 К ! ДЫ (С Хсхт + Сэьсщ )' (12) )г, Х Вычисление полного импульса поля с использованием выражения для вектора Пойвтнига приводит к выражению 1 Р= —, д, йй (СктСкх+ СкехСкх), !ч х Из (!2) н (13) следует, что импульс и энергия поля излучения вырюкаются в виде суммы независимых членов, каждый из которых соответствует плоской волне с волновым вектором й и поляризацией екх.
Г!ерейдем теперь к описанию электромагнятвого поля в кванговой электродиизмике. При квапгованин электромагнитного поля прииимаетщц что амплитуды Скх явлвются не обычными числами, а оператораг.и, которые удовлетворщот следующим перестановочным соотиоше- пням: (14) (19) Р=- У', Гьйл„. к,х вь(е, 3О,=лтя Скате, Ка УЛ тн + ~+1 КХ' (16) д©9 с с'.,— с+,, кд к ь — Ск ь Скь бэк,баха СкхСк.ь, — Ск,ь,с, х 0 СкхСк х, — С„.д, С„, = О, Электромагнитное поле в квантовой элект о инам ляется заданием чисел фотонов, нах родинамике опреде.
фотонов, находящихся в определенных 3ях, например в состояниях с определенным волновым нектарам Й и определенной поляризацией Х, Эти чи обозначаются че ез и т а,' р „ь и называются числами заполнения. Э. р магнитное поле описывается волновой ф нкцией я, лек- зависит м . Оп~~м~~~ С С" й 3ЯГ р „ь, „2 действуют на волновую функшпо '!' согласно приведенным ниже правилам.
Пусть имеем электромагнит ое о н пале с заданнь333и апределе33" 3слами п„ь, ледовательно, соответствУющне опеРато ы и нме ют собственные значения, равные ераторы пах. Выясним физический смысл оператора С С+ в аь и ах в представле- нии, когда диагональна матрица оператора й = Со С вЂ” кх хд, т. е. и катка =- С+кхСкдЧгщ =пкхткх (15) где лк †собственн значения оператора л Ч' кд' кд — сабствевные функции, соответствующие вектору й и поляризации екь.
Умнажим уравнение (16) слева на функ цию т'„, с+„. с„„т „= (с„т„д)+ (с„т„) При этом предполагаем функции тхх ортонормиронанным . О лн. тсюда Сделаем следующее важное предположение: с е и 3 б С,ел ....: реди наб~р с~мий 3,2, есть функция Ч'о, такая, что с„т,=о. (16) Состояние, соответствующее Ч'о, назовем вакуумом, Пост довательность функций у м, остронм после- 1 Ч'я кь= —,— -(Си+3)ито 23=-3),1,2... Л Из коммутационных соотношений (14) н нз о~ределе еленин оператора ьу вытека3от следу3ащие уравнения: Выражения для полной энергии поля (12) н полного импульса поля (!3) с помощью опеРатоРа лкх эаписываютсн следУющнм обгазом: Из первого уравнения (!8) и (19) следует, что оператор 23ьх обло.
дает всеми свойствами оператора числа фотонан с импульсом йй И ПОЛярнэацнсй ЕКЬ. При ЗтОМ та Кх ОПИСЫВаЕт СаетаяаНЕ СнетЕМЫ, состоящей из л фотонов даяиой моды (3,).. Оператор Сью дейстйуя на п-фотонное состояние, уменьшает число фотонов па единицу, а оператор С+„х увеличивает число фотонов на единицу. Поэтому Скь называют оператором поглощения (илн уничтожения), а С,+ь— оператором излучевия (или рождении) фотона й,д.
Гамильтониан взаимодействия двухуровневых атомов с электромагнитным полем. Рассмотрим взаимодейстапе электромагнитного поля с совокупностью одинаковых атомов. Мы ограничимся рассмотрением двухуровневых атомов. Резонансная частота ыо счи~ается одинаковой у всех атомов. Будем пренебрегать в дальнейшем сдвигом линий за счет движения атомов, эффектом Штарка в кристаллическом поле ре3петки, релаксациои. нымн потерями, а также влиянием накачки, считая распределение атомов по уровням в начальный момент фиксированным (Ж2,!в полное число атомов в верхнем и нижнем уровнях соответственно, У =- У3 + Нэ — полное число атомов, Ло == (Нз — Н3)1=-о— начальная перенаселенность, Л вЂ” в го:ледующем изложении означает полную перенаселе33ность).
В такой постановке будем рассматривать задачу о взаимолейстаии поля излучения с системой двухуровневых атомов внутри ограииченнога объема Р с идеально отражающими стенками. Лля построения гамильтониана такой системы рассмотрим сначала взаимодействие одного одноэлектроннаго атома с полем излучения. Обозначим иоординату центра тнжестн атома через х, расстояние электрона от ядра атома — через х, а волновые функции возбужденного и основного состояний с энергиями Еэ и Е,— через Ч.'3 (х ) и Ч',(х,) соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
