Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Эти функции выбираем без временной зависимости, они удовлетворяют уравнению Натт3,. == Е3, 2Ч"1, з, (20) где Н. — гамильтаннаи изолированного атома. Если выбрать начало отсчета энергии равным (Е39 Ез)!2, то уравнение (20) преобразуется к виду "3ео Наг !2, 1=* — Ча, 3. 2 (2 1) П Голвую >иергио системы, состоящей нз атома н поля из. представим а ш>дш Н-)(ю.+Н„.п,а, „ Н...::. ~', Д,кс;лск, ь,л (22) Нэа. — -- — — д (х — х.) р, тг е е где Н,з — энергия взаимодействия атомного электрона с полем излу'>ения (сливовые взаимодействия опускаем только ради и >оВе кторный потенциал имеет вяд (! !). При написании Нвв пренебрегаем квадратичными по полю членаии ввиду их малости, Систему будем описывать волновой функцией '!", ко~арпа по атом- ным переменным задается в обьшном копфигурапиониом х-про- странстве, а по переменным поля излучения — в представлении вто- рн июго квантования.
Представим Ч' в виде 1 .--О> (Г) Р>-7 а» (Г) 1» (23) геЧ" (х,) Ч" д, ( е) н Ч, (х,) характеризуют волновые функции электрона в атоме, а> (Г) описывает волновое поле, когда атом находите Основном состоянии, и> (г) соо>ветстиует волково>>у полю, когда атом возбужден. Подставим (23) и уравнение Шредингера дЧ" >Ь вЂ”=.- НЧ', (24) у>пюжпм иа Ч'", н проинтегрируем по координвтаи электрона хс да ( йа>о + Ние») ">з > пз 3! Ч>НваЧ" с!хе+ а> ~ '! >"гувзЧ > дне* —; — а, >Г Ч»»На 'т'> дх В уравнси>шх (25) магри'шыс эле>сенты типа ~ Ч';На Ч'; с!к, поло жнм в дальнейшем рашиги>и нуюо, считая, что атом в состояниях Ч', не обладает моментом. 1>посмотрим более подробно натри'шый элемент перехода > -.— (---)' тг( Г к,л Х ~ >у>е (Хе> Е'Ь"'реЧ' (Х„) С!Хе 7- СК»ЛЕ М ~ Ч'", (хе) е ск>»Р»Ч> (хе) дхе ) .
360 Второе слагаел>ое имеет резонаиснь>й характер и соответствует излучени>о фотона с одновременным перехс>лом атома с верхнего уровня на нижний. Первое слагаемое не имеет резонансного характера и описывает поглощение фотона с одновременным переходом атома на нижний уровень. Это слагаемое приводит к несохранеиию числа частиц в элементарном акте взаимодействкя (число возбужденных атомов .
число фотонов), и в дальнейшем такие переходы не будут учитываться. Ба первый взгляд кажется, что эти переходы в силу закона сохранения энершп> долгины автоматически обращатьси в нуль. Однако поскольку процесс лазерного излучения длится в течение определенного промежутна времени порядка т, то из-за соотношения неопределенности энергия тако~о состояния будет иметь неточность порядка й/т. Следовательно, отброшенные члены будут иметь порядок сот С !. Виедем ог>означеиие где Ьсое, тс> Н ..
„„., ~, Г, кС„.,Скл,) ~~'. 5(Склй,;: Сьзйьк); к. >. к. л — Псх ь;„.-: ]Гк,с Ькл»е ркле' а». (3!) (32) 361 (25) т 1!сй) Величина ]) кг, связана с матричным элементом М ( — К) ]см. ]У1,155 н (УГ,!5)] введенным в гл. У!, соотношением (25') Тогда уравнения (25) для амплитуд а,л примут вид уй = —,. ( — '-'+ ~~. ДыкС» С.
) Оз->-( ~~~~ йСкл])келе>кх) ои к, л к, л ,(27) ой>с ! Ьшо, зс>, 1 1 ~>,. г->кх1 ий — = ( — — +2 Дюкс„'лск,) а> ( > йсьь])кле' ) а. к,л к,л Уравнения (27) можно объединить в одно уравнение Шредингера для фуикцн~ Ч --.(,"Я), (28) Используя матрицы Паули аз:-(О -!): а„=(ОО)' -=(! О) (22) которые обладаки следу>оишми коимутаикоиньцп> соотношениями: а>а — а аз» --2а, а.а — а а» -.. О>, аза„.— а аз=.
2а„ уравнения (27) можно переписать следующим Образом: >'Д вЂ”.— =: НЧ', дЧ' 1 д»Г (ЗО) Для рсшепня уравнения (30) с гампльтоннаном (3!) нсобходямо знать начальное значенке функция ?У(0) прн 3=0, Пусть в начальный момент квантов нет. Тогда для возбужденного атома 'Р(О)=Х( — ) Ч?, Х( — ) — ( ), (33) а для атома а основном состоянии ' (0)=-Х ( — ) Ч'в ( — — )=..( ), (34) где Ч"о †волнов функцня фотонного вакуума, определяемая согласно (!6). Гал>пльто>33(зн (3!) легко обобщается на случай снстемы нз Ф атомов. Для этого снабднм все атоиныс операторы нндексом атома !' и просуммпруем по всем /.
Тогда полный гампльтоннан прнмет внд ?> 3 > (- Скл кл) 33, Л 33, Ь где -шк (>] Ьк,=- ч~',))кл! йка — ~д.'3 ()кл>в и+ + т ч (кз) (>) Ч'(0).=.Х>( 2 ) Хмл( 2 ) Хмр+! ( 2 ) Км ( 2 ) ?рз (35) Выяснпм физический смысл операторов Паули в даннол( Прсдотазде внн. Посколькг озХ(гй 2)=.=?К(.=.— ), о,К( — )-.-О, п,Х( —,)--К( —,), (37) '(2) ( 2)' ( 2) та пз соответствует оператору перенаселеппостя атома, а„ переводит атом с ннжнсго уровня на верхннй, а действие оператора о обратное. Поэтому оператор полной перенаселенности можно представить в виде А ~» пН) (38) > Дополннтельная завнснмость от атомного помора ! у л(атрнчных элементов появляется только в том случае, когда атомные состояння вырождены нлн атомы разлпчным образом орнентнрованы в пространстве.
Предположим, что в начальный момент квантов нет, первые 7 = Жз атоиов возбуждены„а остальные У> атомов занимают ннжннй энсргетнческнй уровснь. Тогда начальное состоянне системы можно выбрать в анде Нвтруд>>о убедиться, что оператор (3-'г 2 й = ~3 О(>)+ 2 Х ск>лск> коммутпрует с гамнльтоннзном н поэтому сохрааяется. Собственные значения этого сохраняющегося оператора равны д (3)+2п(()=.Л +2лв, (40) где ло†полное чнсло фотонов в начальный момент временн.
3(вантовоэлектродннамнческне уравнения теории генврацнн н нх квазнкласснчсскнй предел. В данном разделе будет установлена связь между уравненнямн квантовой электрод>33>ал(нк>3 я квазякласснческпмп уравпеннямн (273). Для этого удобнее перейтн от шредннгсровского представленвя к гейзен. берговскому опнсаяпю системы. В шреднпгсровсном првсштавленнн нзмененне спстемы во времспн опнсывается волновой функцнсй снстемы ?Р (3), на которую действуют незавнсящне от времени операторы СКЛ, Скь, о к т.
д. Развитие снстсиы во врем?нп можно перенестн на операторы, а волновую функцшо считать постоянвой. Такое опнсанне снстемы соответствует гейзенберговскому представленню, Оператор А (() в гейзепберговском представленкя получается нз оператора А в шредннгеровском представленнн с помощью формулы А(3)=-ехр ( — „' Н() Аехр ( — — Н() . (4Ц Днфференцнрованне выражения (41) по времени приводит к уравненню, которое определяет нзиевення гейзенберговскнх операторов — = — (НА). 3(( Ь (42) Исходя нз гамнльтоннана (35) н используя уравнение (42), получим снстеиу квантовых уравненнй для операторов С ((), Скл> (3), и (3), ол ((), пз (В. Цель настошцего раздела не только выписать соответствующне квантовые уравнення, но н получить предельный псрехол к квазпкласснческнм уравненням, Для больц?ей общностн дополннм гамнльтоннан (35) членами, которые нв уч>шывалнсь прн рассмотренна выражения (25), а также добавнм член, пропорцнональный Аз.
Тогда гамнльтоннан (35) можно представать в виде (370) Н=» — ?, оз + ~ й(о>,Ск>С>,.>+ ~ ЬСкх (()к>:о> ймо ~~ Н) ~3 л 'К» ь (>) 3?, Ь к,л,! + () 3,> а(>)) Е(~к)+ ~ АС»КЛ (П(!)))К), + а~~~()~ ЛХ>) Е к, ь, ! о>? — — ' А (й) А (- й). (43) Зпс Компонента Фурье А (й) оператора векторного потенциала определяется следующими формулами: Ач (х, 1)= — ~», Аи ()г) е~к», (44) к 12лйс»т "т ж» Д()Г).=( ~ (Скьвкз+С" кхв к1).
(45) х Величина 4плоез (46) ги где па†плотность электронов, Величина ()кх определяется выражением (26), причем значение „.. получается из ))кь изменением знака экспоненты в интеграле выражения (26). Исходя »1» уравнения (42) н используя правила кои- мутации для операторов Скх и для матриц Паули пп получим сле- дую!цую систему квантовых уранненнй: о В+1ыап'1! =.
—, ~~ Ап (й) М„" ( — )г) е уа»(1), (47) сй у'1» к,а о» == т, »~, Аи (й) ( и — Ма (й)'" и ~ '»!» ( )»))е 1 (48) сй)А1»» к,и Аа (й)+(ык * гэг) Аа (й) = ы с~ (бай — — "з — ) гс ) Р М (п~РМ'(й) ' и!1)д(р( — й)) е 1. (49) Уравнения (47) — (49) представляют систему связанных нелиней- ных дифференциальных операторных уравненвй. При квантовом рассмотрении вопроса обычно для правильного учета спонтанных процессов исходят из соответствуюп!их уравнений, составленных для билинейных комбинаций операторов Сят, т. е.
выписывают уравнения непосредственно для оператора плотности фотонов "кх =- СкьСкю ййы не будем здесь останавливаться на результатах и анализе соот- ветствующих работ ()69 — )72), поснольку практически кнтерсс- ные результаты можно получить после введения соответствующих релаксацноивых членов.
Рассмотрим квазиклассический предел уравнений (47) — (49). Выберем бесконечно малый но сравнению с Х» физический объем ).*, содержащий тем не менее много активных атомов, Суммирование по индексу атомов 1 заменим на интегрирование по координатам центров ато»юв, т. е. перейдем к непрерывному распределению атомов. Замена производится по формуле т, гр (х)) = ~ л(г) ф (г) НГ', (50) где и (г) — плотность антнвных атомов.
364 Уравнения (47) и (48) записаны для отдельного !'-го атома. Соответствующие уравнения для суммарного»макроскопического» оператора ~; о!В получатся простым суммированием уравнений для отдельных атомов, находящихся в бесконечно малом физическом объема У. Теперь перейдем к квазикласспческим уравнениям. Для этого уравнения (47) — (49) усредвим по основиоьу квантово. механическому состоянию. [Усредненные величины будем обозначать с помощью уголковых скобок). Попросту говоря, это усреднение сводится к замене всех операторов на обы и!ые числа. Если ввести обозначения: — ~ п(1) —..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
