Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. в состоянии с определенной энергией. Под действием возмущения сйстема может совершить индуцированный переход в другое стационарное состояние. Требуется вычислить вероятность этого перехода. Основное допущение теории возмущений состоит в том, что полный гамильтоннан системы Н можно представить как сумму иевозмущенного гамильтониана Н, я возмущения Н'. Н== На РП', (1.29) причем Н' < Н„ т.
е, энергия взаимодействия мала по сравнению с полной энергией невозмущенной системы. Пред- ' Читатели, иитересукиписся технической стороной вопроса, ири чтеиии й 3 и 4 без ущерба для поиимаиия мокнут опустить математические выкладки. 20 положим, что решение уравнения 111редингера ьмр !й — ) — -- НЧ' (1л30) :, ': Система собственных функций и„является ортопормированйюй, т. е.
Разложим искомую волновую функцию уравнения (1.30) с гамильтонианом (1.29) по собственным функциям невоз,: '. мущенной системы. Коэффициенты разложения, очевидно, будут зависеть от времени Ч'-"= ~ аа(!) иие (!.'!4) , ': Подставляя это соотношение в (1.30), нетрудно получить (см., например, (2, 3!) а»,=-- — „~ Не ало "" (й=-!, 2, 3, ...), (1.36) !.'», — г;„ очач — = В Н„в=- ~ иар!'иле(!». Ч (1.
37) Величина Неа определяет вероятность перехода из со"Фтойяйя а в состояние л и называется матричным элементом ,4щехода. с иевозмущенным гамильтониапом (Н == Н,) известно. (Через й обозначена величина !г)2п.) Это значит, что найдена система волновых функций Ч"„и собственные значения энергии Ев. Волновые функции имеют внд —. -„Е„» Ч"„=- м„с (1.31) .р ' где функции и„зависят только от пространственных координат и удовлетворяют стационарному уравненгпо Шредингера Немо = слив. (1.32) Система уравнений (1.35), рассматриваемая для всех значений !", полностью эквивалентна исходному уравнению Шредингера (1.30), Роль неизвестной функции <Р играет теперь совокупность коэффициентов разложения а, (г). Предположим, что до того, как начало действовать возмущение, система находилась в некотором стационарном состоянии ш с энергией Е,„„т.
е. для Г =- 0 о<'>==0 прн и р-ш, а>>».=- ! при и:-- т. (1,38) Точное решение системы (1.35) с начальными условиями (1.38) обычно связано с большимн математическими трудностями. Однако достаточно просто можно полую>ть первое приближение, если в правую часть уравнений (1.35) подставить начальные условия (1.38), рассматриваемые как нулевое приближение. Система (1.35) распадается при этом на й независимых уравнешш, которыелегко интегрируются: а'„'>(!) -- -„- ~ Ц„, (Е) е'"х„'Л'. (1.39) о Постоянная интегрирования положена равной нулю, чтобы коэффициент а<о> был равен нулю при ! =-: О.
Применим теперь формулу (1.39) для вычисления вероятностей вынужденного излучения и поглощения. Уравнение Шредингера для частицы с массой т н зарядом е, движущейся в электромагнитном поле с потенциалами А и <р и стационарном поле с потенциалом )>, имеет вид '57-""' =- Ж ---о")'- " '1' (1.40) где р =- — <У<'9' — оператор импульса. Спнновое взаимодействие ради простоты изложения здесь опускаем. Гамильтониан Н, стоящий в правой части уравнения (!.40), преобразуется следующим образом: '>со >><с ' 2мо 2>аоз (1.41) С помощью градиентного преобразоваьшя можно выбрать потенциал электромагнитного поля в отсутствие зарядов таким образом, что <!!ч А --= 0 и <г =- О.
Тогда уравнение (1. 40) принимает впд Часть гамильтоииаиа„зависяпгую от А, будем считать возмущением, вызыва>ощим переходы между стационарными состояниями частицы в поле !<. В первом приближении тсо- 2 рии возмущений чле»ом; — —. А можно пренебречь по срав2жо< нению с членом -- — Ар.
Таким образом, мы можем запи<оо сать Из формулы (1.46) следует, что вероятность обнаружения системы в состоянии й имеет заметную величину только в том случае, когда о>х„~ о>. Другими словамн, электромагнитное излучение астоть>о> вызывает переходи между такими стационарными состояниями, энергии которых удовлетворяют соотношению Е>< — Ет — в<он,т = + Ьо. (1.
47) В том случае, когда Ех ~ Е„,„в формуле (!.48) существенным является первый член (при <о„,„е ы), который выражает вероятность перехода в более высокое энергетическос состояние с поглощением кванта света. Второй член, отличный от нуля при о>юо — о>, описывает процессы излуче- ;,'$х (1. 43) И' — -~ Ар. (!А1) Будем предполагать, что электромагнитное поле имеет вид мопохроматнческой волны с волновым вектором й А (г !), А<е< > "< -«<> -, А~>с--< >"< — <><> (1 45) Подставляя тогда (1.44) и (1.45) в выражение для вероятности перехода (1.39), получим > <,< >ох„< " <о < а>," (!) — -- — ' А, ! ен"р) ' — -- — — — — - + ь«< (<'>о< « '>) ,< >ем„.>.
<н) ) ния света, т. е. переходы в состояние с меньшей энергией (Еь .,Е ). Вероятность обнарумгения системы в момент времени ! в й-м энергетическом состоянии равна 1 а)н(г) 1'. В случае поглощения, учитывая в (1.46) только первое слагаемое, получим 1 !оь (1) 5,, =- ., „, ! А, !х[е "р,($„, (1. 48) Через р,, обозначена проекция р на направление А„.
При больших 1 стоящая здесь функция пропорциональна времени ! только при условии резонанса. Это легко видеть, если воспользоваться следуя>щей формулой для б-функции: (!,49) С учетом этой формулы, а также принимая во внимание, что ! б (ах) = — б (х), преобразуем выражение (1.48) при больших 1 к виду ( п)п(1) ф~,„= ~ — „) ) А, )'!е'"'р„)„'„,2л[б(м — ац„,). (1.
50) Появление б-функции в (1.50) выражает закон сохранения энергии. Вероятность процесса поглощения (или излучения) становится бесконечной при ы =- гад,„, в противном случае вероятность процесса равна нулю. При учете и~принц.линии индуцирующего излучения (или ширины линий ,атбмных уровней) поперечники излучения и поглощенна при выполнении условия резонанса остаются конечными, хотя й большими. Разделив !а'„н(1) !х на 1, получим вероятноеть перехода в единицу времени '1ль (0 ~йот1, У 5 зз е;~,~ и — = ~ — — „-) ! А,!'[е'"'р„~,',„,2лб(сэ — ым„). (1.51) Совершенно аналогично вычисляется вероятность перехода с излучением кванта йга: ! ах~" 0) !„',„ (1.52) Заметим, что величина гэх„, входящая в формулу (1.52), отрицательна, поскольку для случая излучения Е„Е„,.
Входящее в формулу выражение[А, 1э может быть выражено через абсолютную величину вектора потока энергии 5 с помощью соотношения Ь' —,— !Е!' =: — ~ — — — ~ = — )А,<' з!и (йг — со!--, 'а), г э с! ! дАП ея чи ап~ с Ш~ (1.58) где Š— вектор электрического поля волны. Усредняя по периоду колебаний 2п[га, получим 2*тс ~ (1.54) Лля определения эффективных поперечников поглощения и вынужденно~о излучения разделим (1.5!) н (1.52) на плотность потока фотонов,7 =- 5,'а<о: ! чь' 00 ! ям 4яхеэ где е = [ гэь ! — гэ.
Верхний знак в показателе экспоненты относится к случаю поглощения кванта, нижний— к случаю излучения. В действительности внешнее электромагнитное излучение никогда не бывает строго монохроматическим, а занимает некоторый интервал частот. В этом случае можно положить ! А, ~'- — '-5 =- — '„" Е(ы) Лм, (1. 56) где Е (ы) — сгектральная плотность интенсивности излучения. Таким образом„ вероятность перехода в единицу временп под действием излучения в полосе частот Йа равна дКм„---= ~ . --- ) ! еэ'"ср„~- '„— '-- б (е) 5 (ы) г[еь (1.,57) Проинтегрируем (1.57) по узкому спектру частот. Прн этом полагаем, что различные компоненты Фурье ннтенсишюстн некогерентны между собой, т.
е. фазовые соотношешгн между ними отсутствуют, и поэтому вклады различных интервалов частот в вероятность перехода можно считать аддитнвнымн (в противном случае в выражении (1.55) присутствовали бы члены, пропорциональные произведе- нию амплитуд, соответствующих различным частотам) !Гд„; —. ~ — ->1 ! еэ'""ре ~д,„-"— „— 5 (ые„,). (!.о6) "'"Й~п величина йг мала по сравнению с единицей.
Поэтому с хорошей точностью можно заменить е*"" на единицу. При этом нетрудно показать, что выражение ! е"'-"'"ре)1е, (после усреднения по направлениям) в дипольном приближении приводится к виду липе),„ 3 *'" ! !'. Подставляя (1.60) в (1.58), получим !я>ее В'>,е, =-- — „3 (м>,„,) ! гх„, )е. (1. 60) (1.61) Выражая величину Б (ь>) через спектральную плотность энергии внешнего излучения (3 (ы) =- и 5 (у) '-= — „Р.) ! е имеем 2лее В'х„-=--;,„—,) г>, !'р,.
(1. 62) Сравнивая (1.62) с формулой (1.!О), получаем выражение для коэффициента Эйнштейна В„„в дипольпом приблн- Здесь мы пользуемся следу>о>цим приближением: считаем линии поглощения бесконечно узкими (пренебрегая шириной уровней) п в то же время принимаем во внимание немонохроматнчность све~а. Это означает. что интенсивность света мало меняется на интервале частот порядка ширины линии. В действительности лазерное излучение обладает высокой степенью монохроматичности, н поэтому при взаимодействии его с атомами мы фактически имеем дело с противоположным случаем, т. е.
можно считать свет идеально монохроматнческпм, но учитывать ширину линии поглощения и излучения (см. 4 4). В большинстве практически интересных случаев длина волны электромагнитного излучения значительно превьш>ает размеры атомной системы. Это означает, что в пределах области, в которой функции ие и и,„дают заметный вклад в матричные элементы (еэ"'"р, !е == ~ ихе-''"'репе, е(!>, (1. 59) р женин (вырожденно состояний в настоящем рассмотрении ие учитывается) 2пее Вм„..- . .—; ! ге,е !Я . (1 63) Выражение В„„для произвольного перехода сводится к замене дипольного матричного элемента на матричный элемент типа (1.59).
Переходы, вероятность которых определяется формулой (1.61), носят название электрических дипольных переходов. '~м~" ;:,;„~~";,'.," Это связано с тем, что Ке зависит только от матричного элемента дипольного момента частишя ег. Если для некоторых состояний й и т матричный элемент ге„, равен пулю, то мы должны использовать следующие члень> в разложс- ! е'ы =.= 1 4- йг -- — - (йг)э 2 В результате можно вычислить вероятность магнитных дипольных, электрических квадрупольных и других пере";!!,':-", ходов более высокого порядка. Вероятность квадрупольпого перехода, например, отличается от вероятности диполь- ного перехода множителем (ай)', где а — линейный размер области, в которой волновая функция частицы заметно отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
