Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Переходы„для которых дипольный матричный элемент равен нулю, называются запрещенными переходамн, так как вероятность их значительно меньше вероятности днпольных переходов (ей «!) Существование неисчезающего днпольного перехода .накладывает некоторые ограничения на волновые функции и>, и и,„. Это приводит к так называемым правилам отбора. Правила отбора наиболее легко формулируются, когда ' 'потенциал Р, входящий в невозмущениый гамильтоннан (1.43), является сферически симметричным. При этом легко ': .
показать, что дипольные электрические переходы происхо- Дят только между такими состоянпми, для которых орби''-,': тальное квантовое число ! меняется на единицу, т. е, й! ==- = ~ 1. В действительности, однако, правила отбора :,::: не являются совершешю строгими, поэтому переход, запре' '':,'' щенный в днпольном приближении, бывает разрешенным в более высоком порядке.
Таким образом, па самом деле -запрещенные переходы имеют место, хотя вероятность их :":,:,мала по сравнению с вероятностью разрешенных перехо,;.';дбв Состояния, из которых переходы на более низкие уров- ни запрещены, обладают большим временем жвзни и называются метастабнльными. Изложенная теория не позволяет получить выражение для вероятности спонтанного излучения. Чтобы вычислить эту вероятность, перепишем классическую формулу для энергии дипольного излучения в терминах квантовой теории.
Полная энергия излучения диполя в единицу времени определяется, как известно, выражением (7 — ).1 Р, 4Дд (1. 64) где 3 — вектор полного электрического тока. Необходимо найти квантовый аналог вектора тока 1 и связать излучаемую энергию с вероятностью перехода между состояниями излучающей частицы. Спонтанное излучение обусловлено переходами частицы нз верхнего состояния ид в нижнее состояние и»,. Естественно заменить вектор плотности электрического тока плотностью тока, связанного с этим переходом. Плотность тока есть произведение плотности зарядов на скорость ыд 1 (г) — д — — и,еЧ" ид. ж (1.
65) Интегрируя (1,65) по координатам и используя соотноше- Н$Ю ! д д — рд,е==.—, гд„, .: (еад,„гд,„, получим полный вектор тока 3 =- — — '- ) и Чгиде1)':= --(едьед 1 ие,гидМ=-. гев Г гч В стационарном состоянии плотность зарядов равна заряду частицы, умноженному на плотность вероятности а) %' !'. Так как нас интересуют переходы между различными состояниями, то заменим последнее выражение на еи'„ид. Итак, получаем величину, заменяющую классическую плотность ,тока: н ;~',,;.':„;: Энергию спонтанного излучения можно найти, подстав-',!.''.
ляя (1.66) в формулу (1.64). Рассматривая получаюпдееся ..;.', выражение как произведение вероятности спонтанных пере:„:.:!'-'!: ходов в единицу времени Лд на энергию кванта Ь»де,-- 4е'~41,е (1.67) ,„'!,"...' 'Ъ!тобы оценить матРичный элемент гд,„, пРиРавнаем веРоятность спонтанного перехода величине 1 т, где т — время жизни атома в возбужденном состоянии. При этом получим Здее 4едед1„,т ' (1.68) , 'эг:",',Заметндь что выражения (1.63) и (!.67) удовлетворяют соотношению (1.20), полученному ранее из термодинамических ""-, '!-', соображений.
Нужно отметить, что в полуклассической теории поглощения и излучения спонтанное излучение вводится несколько искусственным способом. Г1равда, при этом получаются соотношения Эйнштейна, что указывает йа правильность такого приема. В квантовой электро- динамике, в которой и атомы, н электромагнитное поле рассматриваются единым образом (кваитуются), естестёеино, возникает как индуцнрованное, так и спонтанное ,-- излучение.
Последовательное рассмотрение процессов взаимодействия атомных систем с электромагнитным полем в квантовой электродинамике приводит к следуюпдим выражениям. Вероятность излучения в единицу времени 'равна ~ ад (Г) 1езл 4иеед и ил-1 — ""- = — '.,— (е — ""р ~е б (е) —" (1.69) где е =- ! ыде» и — полное число квантов в рассматриваемом объеме :";'.ед* той же частоты, поляризации и направления распростра'"; ' пения, что и излучаемые кванты. Ясно, что и = у*к'1с.
Аналогичное выражение получается '.,еддля вероятности поглощения кванта в единицу времени нд (е) 1йоел дидее , е л "" — '=- — ' — !е'д" р ~' Ь(е) —. (1.70) апдм ' ' ь» 'е' ' ,',:;,,',-':;:.:,:::Отличие формулы для излучения от формулы для погло- 1'::"',.':!;-': щения заключается в замене и ! 1 иа и, Это отличие имеет 29 глубокий смысл: оно показывает, что излучение существует и при л ==- О. Это есть спонтанное излучение.
Для тога «>тобы вычислить полн) ю вероятность спонтщ!- ных переходов в единицу времени, нуж>п> проинтегрировать соответствующую часть выражения (1.69) по всем возможным конечным состояниям электромагнитного поля. При этом необходимо учесть, что излученпый фотон может попасть в большое число возможных конечных состояний, отличаю>цихся друг от друга направлением распространения, поляризацией н частотой.
Число состояний электромагнитного поля (в объеме 1') с определенной поляризацией и волновыми векторами в интервале й«, й«+ г(>г«, (г,, ли + г!(г, и 1г«, л, + г(!г» определяется выражением (2л)а (2л)а Вводя это выражение в формулу (1.69) (при и =- 0), интегрируяя по всем направлениям и частотам излучения и суммируя по поляризациям, получим полную вероятность излучения. При этом в дипольном приблн>кенни снова приходим к формуле (1.67).
В настоящем разделе поперечные сечения излучения и поглощении вьщислены в предположении, что энерг.тические уровня атомов строго фиксированы, а внешнее поле некогерентно и занимает некоторую область частот ЛФ. В действительности уровни энергии имеют определен!у>о конечную ширину, и поперечные сечения должны быть соответствующим образам видоизменевы. 4. ЗАВИСИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДА ОТ ЧАСТОТЫ. ФОРМА ЛИНИИ Как уже указывалось, энергия атомных состояний не является строго фиксированной, а занимает некоторую область ЛЕ. Это приводит к определенному распределенн>о интенсивностей поглощения или излучения света по частоте, которое характеризует форму линии поглощения или излучения. Типичная форма лш!ии излучения показана на рис.
1.3. Наиболее простой характеристикой формы линии является «ширина линии». Обычно ширина линии определяется и>первалом частот Ло> около центра линии, на краях которого интенсивность поглоще- ния (пли излучения) падает в два раза по сравнсншо с центром линии. Ширина линии может быть обусловлена различнымн ';«';:",'«причинамп. Одна из них связана со спонтанным радиационным распадом системы, т, е. конечностью времени жизни атома в возбужденном состоянии. Если время жизни Рис, Пгк Форма линии и»ау«енин, атома на каком-либо энергетическом уровне составляет величину т, то согласно соотношению неопределенностей ширина этого уровня (!.71) ЛŠ—— ъ„:,"«Ширина линии, определяемая спонтанным временем жизни атомных состояний, называется радиашюпной или естественной шнринои.
Помимо спонтанного распада может происходить «высвечивание» атомов, например, в результате столкновений, когда энергия их непосредственно переходит в кинетическую энергию движения. Этот механизм также приводит к уширению линии Для того чтобы приближенно учесть влияние ширнны уровней иа процессы поглощения и испускания, введем в уравнение 1Вредингера мнимый потенциал 1> )г; У~' (1.72) Введение мнимого потенциала соответствует замене ;-,;"'" ввергни п-го атомного состояния Е„на Еи — г т",> ' и появлс':„.';,,'нию затухания В волновой ф>ункцни -.',!': ти (1,73) 31 Функции и„норх!и рованы в объеме !С т. е. ~ ! и„!' с(!х = ! .
Следовательно, вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией Е„затухает как е ~', т. е. система распадается. Если с учетом (1.73) повторить вывод формулы (!.39), то нетрудно получить Ф ае" (1) =- —. с) Н»т(1') ехр ~(ых:1' — — — — ' — 1 ) а!' ев 3 о (!.74) где Нхт (() по-прежнему определяется выражением (1.37). Электромагнитное поле зададим векторным потенциалом А =- А, (г. Г) с' ("'- '> '; — А'", (г. 1) с-' ("'-'"'), (1.75) где амплитуда А, (г, 1) — медленно меняющаяся функция координат и времени по сравнению с экспонентой.
Это означает, что мы имеем не полностью мопохроматичный сигнал. Подставляя в (!.74) соотношения (1.44) и (!.75), получим а)," (!) — - — —.' ~ ~) ехр ~1 М» — ы) 1 евтс е Х (А,е""'р)хт; ехр ) !'(тхт -;'. т)1'.— У'-' — '-М Г'~ Х М (А~!е. 'хсР)хт) !(!'. (!.76) Сделаем теперь предположение, что функция А, (г, 1) менявгвяе настолько медленно, что ее можно вынести за знак интеграла.
С учетом ширины уровня у это означает, что А, (г, 1) медленно меняется не только по сравнению с быстроосциллирующими функциями, но и мало меняется на ширине'линии. Следовательно, разложение А, (г, !) по времени будет содержать в основном только частоты, значительно меньшие у. Поэтому рост А! (г, 1) ограничен времепамп «,ф Э вЂ”.
Если имеет место обратное неравенство, т. е. 1 еф 1, р;< —, что означает быстрое изменение А, (г, 1), то 1 еф '. в этом случае нужно пренебречь шириной линии, поскольку учет временной зависимости амплитуды под знаком интег- рада более существен. При этом процессы, связанные с изМснснием А, (г, 1), идут значительно быстрее спонтанных, 11, следовательно, спектр А, (г, !) значительно пп!ре, чем ширина линии. Это соответствует случаю очень быстрых "-";", изменений А, (г, 1), который здесь рассматриваться нс бу'дет, Вынося А, за знак интеграла, находим ехр ~ т(тхт — и) ! — —,— ( ~ — ! )ы+ Ух ах!х~ (Г) .
'с А, (еотР), тсз (тхт — т) — — "' '— ехр ( Г(тхт- се) ! — — '1~ — 1 Ут + —,А! (е '"'р)т тсд '" . Ут+ Ух Г (ихт+т) — ™ ~— 2 (1.77) При у- 0 это выражение совпадает с (1.46), 2 Считая ! > —,—, получим следующее выражение для Ут )тх' вероятности перехода: ~ахо'!'=- — „'.эхе~А )х)е~'""Р..!1т, —,, (1.78) Ут+ Ух где е = ! тхт ! — се, верхний знак в показателе экспонен- 3 ты относится к случаю поглощения кванта, нижний — излу- чениЯ.
ЗаменЯЯ пРи йг сй 1 величинУ ! е*'х"Рс !х на тхехь —" ! гхт (х подобно тому, как это было сделано выше .в формуле (1.6!), и выражая ! А! !' через среднюю нлотйость потока мощности К приводим (1.78) к виду Из формулы (1,79) следует, что линии поглощения и из':::. лучения имеют одинаковую форму, причем ширина лини ' равна Ут "' '!'А (1.80) 2 каким образом, гпщ~-т линии определяется суммарной шйрииой (или вероятностью распада) уровней, между кото- З-ез ! 33 рыми происходит переход. Этот результат не является очевидным, поскольку в классической электродинамике интенсивность излучения, отнесенная к единичному интервалу частот, также аказь)вается пропорциональной величине ! ' а где под у понимается коэффициент затухания осциллятора и нижний уровень перехода во внимание не принимается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
