Бондаренко В.Н., Тяпкин В.Н., Дмитриев Д.Д. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.Н.Бондаренко (2013) (1095885), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Основы теории линейных непрерывных автоматических системЕсли среди корней характеристического уравнения есть хотя бы однапара чисто мнимых, то появится составляющая свободного движения в виде незатухающего колебательного процесса (система находится на границеустойчивости и неустойчивости). Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости системы является соблюдение того, чтобывсе корни лежали в левой полуплоскости (рис. 1.36).Imα2 + jβ2α1α30Reα2 – jβ2Рис. 1.36При этом можно не вычислять корни характеристического уравнения, надо лишь выяснить, все ли корни расположены слева от мнимой оси.Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения или какие-либофункции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой, называется критерием устойчивости.Критерии устойчивости делят на алгебраические и частотные.Они позволяют выяснить, все ли корни характеристического уравнениязамкнутой системы находятся в левой полуплоскости без решения этогоуравнения.1.4.2.

Алгебраические критерии устойчивостиАлгебраические критерии устойчивости позволяют по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы определить, все ликорни находятся в левой полуплоскости, не решая этого уравнения. Наибольшее применение в радиоавтоматике находит критерий Гурвица, который формулируется с использованием определителей. При этом определители Гурвица составляются по коэффициентам характеристическогоуравнения (1.52). Используя коэффициенты этого уравнения, составляютглавный определитель Гурвица. Для этого все коэффициенты, начиная1.4.

Устойчивость автоматических систем49с коэффициента при (n–1)-й производной, выписывают последовательнодо свободного члена по главной диагонали. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами с убывающими индексами. Места, которые должны быть заняты коэффициентами с индексом выше n и ниже 0,заполняют нулями.Для уравнения n-й степени главный определитель Гурвицаa1a3a5 ... ......0a0a0a2a1... ...

...a3 ... .........00............... ... ... ...... ... ... an1000...... ... ...an....(1.55)Для того чтобы характеристическое уравнение (1.52) имело все корни с отрицательной частью, главный определитель (1.55), а также все егодиагональные миноры 1, 2, … должны быть положительными. Номердиагонального минора определяется номером коэффициента по диагонали,до которого составляется данный минор:a2  1a0a1a3,  3  a0a20a3a2a1a5a4 и т. д.a3(1.56)Последний столбец главного определителя содержит только одинкоэффициент an , отличный от нуля, поэтому n   n-1an .Для положительных коэффициентов уравнения (необходимое условие устойчивости) an > 0, следовательно, n > 0, если n – 1 > 0.

Таким образом, следует вычислять миноры 2, 3, …, n – 1.Если все миноры, кроме предпоследнего, положительны, а минорn – 1 равен нулю, то система находится на границе устойчивости. Полагаявсе параметры системы, кроме одного (обычно это общее усиление системы), известными, можно определить критическое значение этого параметра, при котором система находится на границе устойчивости.Поскольку характеристическое уравнение замкнутой системы определяется знаменателем передаточной функции, а все передаточные функ-501. Основы теории линейных непрерывных автоматических системции (независимо от входа и выхода) имеют один и тот же знаменатель (см.п. 1.3.3), то при анализе устойчивости системы используют ту передаточную функцию, которая имеет наиболее простой вид (простой числитель).П р и м е р 1.8.

Провести анализ устойчивости замкнутой системы,состоящей из последовательно соединенных типовых звеньев: безынерционного (с коэффициентом усиления K1), интегрирующего (с коэффициентом передачи K2), форсирующего и инерционного (коэффициенты передачи последних полагаются равными единице, а постоянные времени –соответственно Т1 и Т2).Р е ш е н и е. Передаточная функция рассматриваемой разомкнутой(по цепи обратной связи) системы имеет видK р ( p) K (1  T1 p),p (1  T2 p)(1.57)где K = K1·K2 – общее усиление разомкнутой системы.Для анализа воспользуемся выражением (1.45) для передаточнойфункции замкнутой системы:K xe ( p ) 1.1  K p ( p)(1.58)Подставив равенство (1.57) в (1.58), после несложных преобразований получимK р ( p) p(1  T2 p)B( p).p(1  T2 p)  K (1  T1 p) A( p)(1.59)Полином А(р) в выражении (1.59) определяет характеристическоеуравнение системыA( p)  T2 p2  (1  KT1 ) p  K  0,с коэффициентами a0  T2 , a1  1  KT1 , a2  K .Положительность коэффициентов а0, a1 и a2 (необходимое условиеустойчивости) обусловлена тем, что постоянные времени Т1 и T2, а такжекоэффициенты усиления K1 и K2 не могут быть отрицательными (илиравными нулю) по своему физическому смыслу.

Положительность коэффициентов характеристического уравнения определяет также и достаточное условие устойчивости, так как порядок уравнения равен двум,1.4. Устойчивость автоматических систем51а минор с максимальным индексом, который необходимо вычислить, –это 1 = a1 > 0.Таким образом, рассмотренная замкнутая система устойчива прилюбых значениях параметров K1, K2, T1 и Т2.

Системы такого вида называют абсолютно устойчивыми.П р и м е р 1.9. Провести анализ устойчивости замкнутой системы,отличающейся от рассмотренной в примере 1.8 лишь тем, что она содержит не один, а два интегратора с общим коэффициентом усиления K.Р е ш е н и е. В этом случае передаточная функция разомкнутой системыK р ( p) K (1  T1 p).p 2 (1  T2 p)(1.60)Для передаточной функции замкнутой системы в соответствии с выражением (1.44) можем записатьK з ( p) K р ( p)1  K р ( p)K (1  T1 p ).p (1  T2 p )  K (1  T1 p)2(1.61)Отсюда находим характеристическое уравнениеT2p3 + p2 + KT1p + K = 0,(1.62)коэффициенты которогоa0 = T2, a1 = 1, a2 = KT1, a3 = K.(1.63)Необходимое условие устойчивости выполняется при любыхзначениях параметров (по физическому смыслу все параметры положительны).Достаточное условие устойчивости сводится к проверке неравенства2 a1a3a0a2 a1a2  a0 a3  0,(1.64)так как условие 1 = а1 > 0 выполняется автоматически.Подставив в выражение (1.64) выражение (1.63) для коэффициентовуравнения, находим, что для устойчивой системы необходимо выполнениеусловия Т1 > Т2 (при этом коэффициент усиления K может быть любым).521.

Основы теории линейных непрерывных автоматических системРавенство постоянных времени форсирующего и инерционного звеньевсоответствует системе, находящейся на границе устойчивости (такаясистема эквивалентна системе, состоящей из безынерционного звена идвух интеграторов, так как общий коэффициент передачи форсирующего иинерционного звеньев равен единице на всех частотах от нуля добесконечности).П р и м е р 1.10. Определить критический коэффициент усилениядля системы, содержащей безынерционное звено и три инерционных звенас постоянными времени Т1, Т2 ,Т3.Р е ш е н и е.

Характеристическое уравнение замкнутой системы вданном случае имеет видa0 p3  a1 p2  a2 p  a3  0,(1.65)гдеa0  T1T2T3 ,a1  T1T2  T1T3  T2T3 , a3  1  K ,a2  T1  T2  T3 ,(1.66)где K – общее усиление разомкнутой системы.Критическое значение коэффициента усиления можно определить наосновании критерия Гурвица, полагая2 a1a3a0a2 a1a2  a0 a3  0.(1.67)Подставив в уравнение (1.67) значения коэффициентов (1.66), получим(TT1 2  TT1 3  T2T3 )(T1  T2  T3 )  TT1 2T3 (1  Kкр )  0.После алгебраических преобразований (раскрывая скобки и поделивна значение a0) запишемK кр  2 Т 2 Т 3 Т1 Т 3 Т1 Т 2   .Т1 Т1 Т 2 Т 2 Т 3 Т 3(1.68)Из уравнения (1.68) можно сделать весьма важный практический вывод: критический коэффициент усиления является функцией отношенияпостоянных времени.

Изменяя это отношение, можно в достаточно широких приделах получать значения Kкр. Например, при Т1 = Т2 = Т3 = Т имеемKкр = 8 независимо от величины 0 < T <  (заметим, что системы, не содержащие интегрирующих звеньев, называются статическими).1.4. Устойчивость автоматических систем531.4.3. Частотные критерии устойчивостиЧастотные критерии позволяют судить об устойчивости замкнутыхАС по частотным характеристикам условно разомкнутых систем без определения корней характеристического уравнения замкнутой системы.Частотные критерии являются графоаналитическими и обеспечивают наглядность инженерных расчётов.

Они позволяют определить устойчивость замкнутой системы на основе экспериментально полученных частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ) звеньев и разомкнутой системыв целом (т. е. в том случае, когда передаточные функции системы неизвестны).В радиоавтоматике наибольшее применение находит критерий Найквиста, основанный на анализе амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФХ) разомкнутой системы.

Под АФХ понимают кривую на комплексной плоскости, представляющую геометрическое место конца векторакомплексного коэффициента передачи Kр(j) при изменении частоты от нулядо бесконечности (данную кривую называют также годографом).Условие устойчивости по критерию Найквиста формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутойсистемы для 0     не охватывает точку с координатами (–1, j0).Если система является астатической, т. е. содержит хотя бы одноинтегрирующее звено, то для применимости критерия Найквиста необходимо дополнять АФХ дугой бесконечно большого радиуса и определять еёрасположение относительно точки (–1, j0).

Характеристики

Список файлов книги