Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 24
Текст из файла (страница 24)
То же самое, естественно, относится и к диагональной матрице, которая является частным случаем треугольной. Отметим некоторые свойства собственных значений для частных типов исходной матрицы. 1. Все собственные значения симметрической матрицы действительны. 2. Если собственные значения матрицы действительны и различны, то соответствующие им собственные векторы ортогопальны и образуют базис рассматриваемого пространства. Следовательно, любой вектор в данном пространстве можно выразить через совокупность линейно независимых собственных векторов. 3. Если две матрицы А и В подобны, т. е. они связаны соотношением 5 а, зАдАчи нА совствепные знАчения Некоторые типы Матриц удается привести к треугольному виду с помощью преобразования подобия.
В частности, симметрическую матрицу можно привести к дпагональпому виду. На практике часто используется приведение симметрической матрицы к трехдиагональному виду. Процедура вычисления собственных значений для полученной матрицы значительно упрощается по сравнению с задачей для исходной матрицы. Существует ряд методов, основанных на использовании преобразования подобия, позволяющего привести исходную матрицу к более простой структуре.
Мы рассмотрим ниже один из них — метод вращений. 2. Метод вращений. Одним из эффективных методов, позволяющих привести исходную симметричную матрицу и-го порядка к трехдиагональному виду, является метод вращений, Он основан на специально подбираемом вращении системы координат в и-мерном пространстве. Поскольку любое вращение можно заменить последовательностью элементарных (плоских) вращений, то решение задачи можно разбить на ряд шагов, на каждом из которых осуществляется плоское вращение.
Таким образом, на каждом шаге выбираются две оси — ~-я и )-я, и поворот производится в плоскости, проходящей через эти оси; остальные оси координат иа данном шаге неподвижны, Матрица вращения при этом имеет вид (4.40) р,, = рв = р, рв = — р;; = д, р = соз ~, д = — з1п ~р. Здесь мы рассматриваем матрицы с вещественными элементами. В случае комплексных векторов для использования этого метода нужно изменить формулы (4.40).
Для осуществления преобразования подобия (4.37) -1 необходимо найти обратную матрицу Рц .. Можно показать, что она равна в рассматриваемом случае транспо- 1 нированной матрице Р;;; т. е, для получения обратноп матрицы достаточно провести зеркальное отражение всех элементов исходной матрицы относительно ее диагонали. 10 л. и.
турчак 148 Гл. 4, системы линейных уРАВнений Другими словами, нужно поменять местами строки и столбцы исходной матрицы; элементы рэ и рв при этом поменяются местамп. Угол поворота о) на каждом шаге выбирается таким, чтобы в преобразованной матрице обратился в нуль один элемент (в симметрической матрице — два). Процесс пре образования исходной матрицы путем элементарного вращения на любом й-м шаге можно представить в виде рекуррентных соотношений А„= Р~~А„,Рц, й = 1,2, ... (4.41) Рассмотрим первый шаг преобразования. Сначала вы- числяется произведение матриц 8 = А,РВ (здесь А,— исходная матрица А). В полученной матрице отличными от исходных являются элементы, стоящие в 1-м и )-м столбцах; остальные элементы совпадают с элементами матрицы А„т, е, ЬА; — — а)„р + ащ д, Ь~; — — — а„; д + ао, р, <о) <о ) Со) (о) (4,42) Ьи~ = а3~, 1Ф~,~,.
А = 1,2...;, и. Г Затем находится преобразованная матрица А; = Рпо. Элементы полученной матрицы отличаются от элементов матрицы В только ~-й и )-й строками. Они связаны соотношениями а,), = Ь)),р+ Ь,),д, а,~ — — Ь,ир+ Ь,~д,, й =1,2...-., и,, (1) <1) (4,43) аво) =Ьм, йФе',у; Е=1,2,, ° °,и, Таким образом, преобразованная матрица А, отличается от А, элементами строк и столбцов с номерами ~ и ). Эти элементы пересчитываются по формулам (4.42), (4,43).
В данных формулах пока не определенными остались параметры р, д; при этом лишь один из них свободный, поскольку они подчиняются то~кдеству р +~ Недостающее одно уравнение для определения этих параметров получается из условия обращения в нуль некоторого элемента новой матрицы А,. В зависимости от выбора этого элемента строятся различные алгоритмы метода вращений. и л, злдлчи нл совствнннын знлчения 147 Одним из таких' алгоритмов является последовательное обращение в нуль всех ненулевых элементов, лежащих вне трех диагопалсй исходной симметрической матр(щы.
Это так называемый прямой метод вращений. Б соответствии с этим методом обращение в нуль элементов матрицы производится последовательно, начиная С элементов первой строки (и первого столбца, так как матрица симметрическая). Рассмотрим сначала первый шаг данного метода, состоящий в обращении в нуль элементов, стоящих на местах элементов а„, а„. Для этого умпожим матрицу А, справа на матрицу вращения Рзз и слева на транспонированную матрицу Рзз Получим новые значения элементов матрицы, которые вычисляются по формулам (4.42), (4.43). Полагая в них й = 1, ~ 2, у = 3, находим а1з = 61з = — а1зд + а1зр = О.Учитывая тождество (4.44), (1) получаем систему уравнений для определепця параметров р, (7: а1зр а1з(1' = О~ р'+ о' = 1. Решая зту систему, находим Р= '1З+ а1З а'з 1 з з ".+".' Учитывая найденные значения параметров р, д, можно по формулам (4.42), (4.43) найти элементы преобразованной матрицы.
Процесс вычислений объясним с ис- 10' Используя эти параметры р, д, можно по формулам (4.42), (4.43) вычислить значения элементов, стоящих в строках и столбцах с номерами 8 - 2, 3, 7' - 2, 3 (остальные элементы исходной матрицы не изменплись). Аналогично можпо добиться нулевого значения любо(л) го элемента (зз 1,, на )(-м шаге. В этом случае строится матрица вращения Ре, параметры которой вычисляются по формулам, полученным из условия равенства нулю элемента а1 1,) и (4.44). Эти формулы имеют вид (з) ' р-и а(~ 1-1,1 1 — 1,1 ~~/ (а( )) + (а( )) 1/ (а(з 1))з + (а(~ 1))з (4.45) 148 Гл 4 системы линейнъ|х уРлвнений пользованием схематического изображения матрицы (рпс. 21).
Точками отмечены элементы матрицы. Вертикальными линиями показаны столбцы с номерами горизонтальными — строки с теми же номерами. Наклонные линии указывают три диагонали матрицы, элементы на которых после окончания расчета отличны от нуля; все остальные — нули. На рассматриваемом шаге матрица преобразуется таким образом, чтобы отмеченные крестиками элементы обратились в нуль, Рис. 21. Алгоритм решения задачи нужно построить таким' образом, чтобы все элементы --по одну сторону от трех диагоналей обратились в нуль; тогда симметрично расположенные элементы также станут нулевыми. Преобразование подобия на каждом шаге требует пересчета всех элементов отмеченных столбцов и строк.
Учитывая симметрию, можно вычислить лишь все элементы столбцов, а элементы строк получаются из условий симметрии. Нсключение составляют лишь элементы, расположенные на пересечениях этих строк и столбцов. Они изменяются на каждом из двух этапов выполняемого шага. Таким образом, на каждом шаге преобразования симметрической матрицы для вычисления элементов столбцов используются формулы (4.42), а элементы, находящиеся на пересечениях изменяемых строк и столбцов, 5 4 ЗЛДЛ'1И Е1Л СОВС7ВЕННЫИ ЗЕ1АЧИНПЯ пересчитываются еще по .формулам (4.43).
При этом полученные ранее нулевые элементы не изменяются. Блок-схема приведения симметрической матрицы к трехдиагональному виду с помощью прямого метода вращений представлена на рис. 22. Собственные значения полученной трехдиагональпой матрицы будут также собственными значениями исходной матрицы. Собственные векторы Х, исходной матрицы не равны непосредственно собственным векторам У; трехдиагональпой матрицы, а вычисляются с помощью соотношений ~( Р23Р24 ° ° Рп — Ь п~ 1 (4.46) 3.
Трехдиагональиые матрицы. Как было показано в п, 2, симметрическую матрицу можно привести с помощью преобразований подобия к трехднагопальпому виду. Кроме того, трехдиагональные матрицы представляют самостоятельный интерес, поскольку они встречаются в вычислительной практике, и нередко требуется находить их собст- Рис. 22. Блок-схегиа метода вращений Ь с 1 1 с„ бп С О (4.47) О а 6 с и — 1 п — т и — 1 а„ Ь„ венные значения и собственные векторы.
Рассмотрим трехдиагональную матрицу вида 150 Гл. 4. системы линеиных уРАВнениЙ Здесь элементы Ь„Ь2, ..., Ь„расположены вдоль главной диагонали, с„сд, ..., с„, — над ней; а„а....,. а.„— нод ней. Для нахождения собственных значений нужно приравнять нулю определитель Й„(Л) = Йе$(А — ЛЕ), или Ь вЂ” Л с. д д а Ь вЂ” Л с 2 2 а Р„(Л) = д Ь~ д Л с„ д а Ьа (4 4д8) 0„(Л) =(܄— Л) 0„-, (Л) — а„ЯХ,,(Л), Ь вЂ” Л с 1 д О а Ь, — Л с а а 2 ЛХ„д (Л) = а и — д с а — д Поскольку минор Ж.,(Л) содержит в последнем столбце лишь один элемент с. „то, разлагая его по элементам этого столбца, получаем М., (л) = с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
