Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 28
Текст из файла (страница 28)
дГ. дà — ' Лх + —.' Лх. + ... + —.. ' Лхи = — Г б» 2 п бГ2 о'Г „ бГ, —,. "- Лх, + —.'-' Лхг + ... + — '-' Лхи = — Г2, »и дГи дГ„ дГ„ —" Лх + —." Лх. + ... + =," Лх = — Г о», г ' д» и и' 1 2 и Значения ÄÄ..., Р„н пх производные вычпсляются ГРП Х~ = ао Хг = аг~ ° ° .~ Хп = ал ° Определителем системы (5,1'1) является яяобпан дР д» '1 дР, ог бГ, д», о1'и д» бГ„, д»и Для существованпя ед1гнственного решеппя системы (5,11) оп должен быть отличным от пуля па каждой птерации, Таким образом, итерационный процесс решения снстемы уравненпй (5.8) методом Ньютона состоит в определенпн прпращенпй Лх„Лх„..., Лх„к значениям непзвестных на каждой итерации. Счет прекращается, еслп все приращения становятся малымп по абсолютной велп- 4 3. системы уРлвнений чине: птах ~ Лх; ~ ( е.
В методе Пыотона таки е важен удачнып выбор начального приолиженпя для обеспечения хорошей сходпмости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Гпо. 28. 1~зон схема метода Пыотопа дзя дпгх спстем урааиеппй Б качество примера рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений Г,(х, у) =О, (5.12) Г~(х, у) = О. Пусть прпблпжепиые значения неизвестных равны и, Ь.
Предположим, что якобпаи системы (5.12) при х = а, ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 168 у = Ь отличен от нуля, т. е. дР' дх дГ дх дР ду ор ду 4=0, Тогда следующие приолижения неизвестных можно за« иисать в виде ( дГ дГ т = а — — ~Р— ' — Š— '~ ду ду 1: 1 ( дРи з 1 ~р и р з1 .l ~, ' дх а дх /' Упражнения 1. Ыетодом деления отрезка пополам найтп с погрешностью 10-' хотя бы один корень уравыеыий: а) 2е" =5х', б) х'со52х = = — 1.
2. Составить блок-схему решепии уравнения методом хорд. 3. 11айти с погрешностью 10-' методом хорд хотя бы один корепь ураввений: а) 2х — 1е'х — 7 = 0; б) сфх — 0.1 = О. 4. Построить блок-схему решения уравнения методом Ньютона. 5. Используя метод Ньютона, найти с погрешностью 10-' хотя бы один корень уравнений: а) 1п 10,55х+ 01) = х', б) х' — 0.2х'-1- + 0.5х + 1.5 = О. 6, С помощью метода простой итерации найти с погрешностью 10 ~ хотя бы один корень уравнений: а) 5х — 81пх = 8; б) х' = = 310 х. 7.
Определить глубину погружения дерсвяпыого шара радиуса 20 см, плавающего в воде. Плотность дерева 0.75 г/см'. 8. Найти процентное содержание углекислого газа в реакции 2СО + 02 — — 2СО2, которое определяется уравнением (р/И вЂ” 1) х' + + Зх — 2 = О, где р — давление, й — постоянная равновесия. Принять р = 1, й = 1.648, Величины, стоящие в правой части, вычисляются при а=а, у=Ь. Блок-схема метода Ньютона для решения системы двух уравнений изображена на рпс. 28.
В качестве исходных данных задаются начальные приолижения неизвестных а, Ь, погрешность е и допустимое число итераций яХ. Если итерации сойдутся, то выводятся значения к, у; в противном случае происходит вывод х, у, М. гллвл е МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 5 $. Основные понятия 1. Определения. Под оптимизацией понимают процесс выоора наилучшего варианта из всех возможных.
С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выорать . наилучший вариант конструкции, наплуч шее распределепие ресурсов и т. и. В процессе решения задачи оптимизации обычно необ ходпмо найти оптимальные значения некоторых парамет ров, определяющих данную задачу. При решении ипже ыерных задач пх принято называть проектными парамвтрами, а в экономических задачах их обычно называют параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть, в частности, значения линейных размеров объекта, массы, температуры и т.
п. Число к проектных параметров х~, х2, ..., х„характеризует размерность (и степень сложности) задачи оптимизации. Выбор оптимального решения или сравнение двух аль тернатнвных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (илп максимум). Таким ооразом, целевая функция — это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи.
Целевую функцию можно записать в виде и=~(х„х....., х.). (6.1) Прпмерамп целевой функции, встречающимися в инженерных и экономических расчетах, являются прочность пли масса конструкции, мощность установки, объем выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т. и. Гл О. мГтоды опт1!мпзхц1тп В случае одного проектного параметра (и= — 1) целевая функция (6.1) является функцией одной переменной, и ее график — некоторая кривая на плоскости.
При и = 2 целевая функция является функцией двух переыенных, и ее графикоы является поверхность. Следует отметить, что целевая функция не ~~езда может быть представлена в аиде формулы. Иногда она мо;кет принимать только некоторые дискретные значения, задаваться в виде таолпцы и т. и. Во всех случаях она должна быть однозначной функцией проектных параметров. Целевых функций может быть несколько. Например, прп проектировании изделий машиностроения одновременно требуется ооеспечпть максимальную надежность, минимальную материалоемкость, максимальный полезный объем (пли грузоподъемность).
Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимымп. В таких случаях пеооходимо вводить приоритет той илп иной целевой функции. 2. Задачи оптимизации. Можпо выделить два типа задач оптимизации — оезусловные и условные.' Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции (6.1) от и действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве и и-мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ниы легко сводятся и задачи на поиск максиыума путем замены знака целевой функции на противоположный.
Условные задачи. оптимизации, пли задачи с ограничениями,— зто такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве о. Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций„ удовлетворяющих уравнениям илп неравенствам. Ограничения-равенства выражают зависимость между проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении регпепия. Этп ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые трвбовапия и т, и. В результате ограничений область проектирования и, определяемая всеми и проектными параыетрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи.
Число т ограничений-расеыств ыож*ет быть произвольныы. Их ыожпо записать 5 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 171 в виде д~ (х„х.',, х,) = О, д:(х„х, ..., х„)=0, (6.2) дп~ (хо х2~ ° ~ хп) О. Б ряде случаев пз этих соотиошеп1111 можно выраз1ггь одни проектные параметры через другие. Это позволяет исключить некоторые параметры из процесса оптимизации, что приводит к уменьшению размерности задачи и облегчает ее решение. Лналогичпо могут вводиться также ограничения-неравенства, имеющие вид а~ — ср,(х„х....., х„) ~ 6„ а2 $2 (г» х21 ~ хи) ' ~лу (6.3) ° ° ° ° ° ° ° ° а~ < 1р„(х„хг, ..., х„) ~ ьи, (6.4) Следует отметить особенность в отысканпп решения при наличии ограничений.
Оптимальное решение здесь может соответствовать либо локальному экстремуму (максимуму плп минимуму) внутри ооластп проектирования, либо значени1о целевой функции на границе области. Если же ограничения отсутствуют, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т. е. глобальный экстремум. Теория и методы решения задач оптимизации прп налп1шп ограп11чеппй составляют предмет исследования одного из важных разделов прикладной математики — лател1атического прозри.из1ироваиил, некоторые элементы которого будут рассмотрены в ~ 4.
3. Пример постановки задачи. Пусть требуется спроектировать контейнер в форме прямоугольного параллелепипеда объемом Г = 1 м', причем желательно израсходовать на его изготовление как можно меньше материала. При постоянной толщине стенок последнее условие означает, что площадь полной поверхности контейнера О' должна быть минимальной. Если обозначить через х~, х„ х, длины ребер контейнера, то задача сведется к минимизации функции 5 ':= 2 (х1хх + хгхз + х1х~) Гл. а.
методы оптимизАпии Эта функция в данном случае является целевой, а условие Г = 1 — ограничением-равенством, которое позволяет исключить один параметр„ Г=ххт =1 х=— 1 2'3 1 3 ~~ Х 1 2 х,х2 + ~ + (6.5) $2. Одномерная оптимизация 1. Задачи на экстремум.
Одномерная задача оптимггзагггги в общем случае формулируется следующим образом. Найти наименьшее (нли напоольшее) .значение целевой функции у ~(х), заданной на множестве о, и определить значение проектного параметра хе:-о, при котором целевая функция принимает экстремальное значение. Существование решения поставленной задачи вытекает пз следующей теоремы. Теорема Ве Йерштр асс а. Всякая функция ~(х), непрерывная на отрезке ~а., Ь~, принизгает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, т. е, на отрезке [а, Ь1 сугггествгггот такие точки х, и х„что для лгобоео х ~ 1а, Ь~ имегот згесто неравенства ~(х,) М ~(х) ~ ~(хг). Задача свелась к минимизации функции двух переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
