Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 25
Текст из файла (страница 25)
10,,(Л). Подставляя это выражение в формулу (4.49), получаем рекуррентные соотношения, выражающие минор высшего порядка через миноры двух низших порядков: В. (Л) = (Ь. — Л) 0„, (Л) — а„с„,й„, (Л). (4,50) Положим Р,(Л) = 1. д11пддор первого порядка равен элементу а~~ определителя, т. е.
в данном случае Е),(Л)=- = Ь, — Л. Проверим, с учетом значений Р, (Л), Б, (Л), правильность формулы (4.50) при и = 2: В,(Л) =(Ьд — Л) 0,(Л) — а,с,0,(Л) =(Ь, — Л) (Ь, — Л) — а,с,. (4.51) Ььдчисляя минор второго порядка определителя (4.48), убеждаемся в справедливости выражения (4.51). Такидд Произвольный определитель и-го порядка можно выразить через и миноров и — 1-го порядка путем разложения его по элементам любой строки или любого столбца. Разложим определитель (4.48) по элементам послед-. ней строки, в которой всего два ненулевых элемента. Получим (4.49) 2 4.
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 151 О Ь вЂ” Л с 2 2 ° ° ° ° ° ° ° О а., Ь„,— Л с„, = с,с,... с„, ~ О. (4.54) Следовательно, все строки с. первой по и — 1-ю линейно независимы. Отбрасывая последнее уравнение системы (4.53), записываем ее в виде с,х, = — (Ь, — Л)х~, (Ь2 — Л)х,+ с,х, = — ах„ В ° ° ' ° ° ° ° Ф Ф а„,х„2+ (Ь„~ — Л) х„., + с„,х„= О. (4.55) образом, используя рекуррентные соотношения (4.50), можно найти выражение для характеристического много- члена й (Л). Вычисляя корни этого многочлена, получаем собственные значения Л„Л„..., Л„трехдиагональпой матрицы (4.47). Будем считать, что собственные значения Л„Л„..., Л„ матрицы (4.47) вычислены, Найдем соответствующие им собственные векторы.
В соответствии с определенпем - (4.36) собственный вектор для любого собственного значения Л находится из системы уравнений АХ = ЛХ, или (А — ЛЕ)Х = О. (4.52) Перейдем от матричной формы записи этой системы к развернутой (А — матрица вида (4.47), Х = (х„х„... ..., х)): (Ь! — Л)Х1+ С~Х2 =О, а,х,+(Ь,— Л)х,+ с,х, =О, ° ° ° а Ф В 1 ° ° ° ° ° е ° В ° 4 ° Ф ! ° ° а„,х„, +(Ь„, — Л)х ~+ с„,х„= О, а„х, + (Ь вЂ” Л)х„= О. (4.53) Матрица системы (4.53) вырожденная, поскольку ее определитель (4.48) равен нулю. Можно показать, что последнее уравнение системы (4.53) является следствием остальных уравнений, если с; ~~ О (~ = 1, 2, ..., и — $ ) . Действительно, если отбросить первый столбец и последнюю строку в матрице А, то вместо (4.48) получится определитель вида Г.'1, +.
системы линеие1ых уРАВнениЙ Полагая компоненту х, равной любому ненулевому значению, можно из системы (4.55) найти последовательно все остальные компоненты: из первого уравнения легко вычислить х„из второго х, и т. д., из последнего х,. Поскольку определитель (4.54) этой системы отличен от нуля, то она имеет единственное решение. Описанным способом могут быть найдены собственные векторы, соответствующие ьсем собственным значениям А,, Х,~, ..., Х трехдиагональпой матрицы (4.47) АХ = ЛХ. (4.56) Используем метод простой итерации. Пусть Х'" — начальное приближение собственного вектора Х, причем собственные векторы на ка,"кдой итерации нормированы, Если трехдиагональная матрица получена в результате последовательности пресбразовап11й подобия исходной симметричной матрицы, то, как уже отмечалось, все собственные значения трехдпагональной матрицы являются одновременно собственными значениями исходной матрицы, а собственные векторы пересчитываются по формулам (4.46).
При этом вычислять произведения матриц Р„, Р„, ..., Р„, „на сооственные векторы трехдиагональной .матрлцы нецелесообразно, поскольку прп умножении матрицы Р„на вектор Х изменяются только две его компоненты: хь х;. Поэтому в качестве этих компонент берем значения рх, — дх, и цх, + рх„что сокращает объем вычислений по сравнению с умпшкепием матрицы Р,, на вектор Х. 4.
Частичная проблема собственных значений. г1асто в практических вычислениях бывают нужны пе все собствеппые значения, а лишь некоторые из пих. Б этих случаях нецелесообразно решать полную проблему собственных значений. Для решения частичной проблеиы собственных значений', состоящей в определении одного или нескольких собственных значений и соответа ву ющих им собственн-, ыхх векторов, обычно используются итерационные мето- * ды. Строится такой итерациош1ый процесс, который сходится к одному собственному значению и собственному вектору, причем используемые алгоритмы обычно весьма экономичны. Итерационный процесс строится на основании применения методов итераций к решению системы уравнений 3 4. зАДА'1и НА совственные 311Ачнния Итерационный процесс запишется в виде Х()'+1)Х()'+1) = ЛХи) 1 (4.57) АА-'Х = А 'АХ.
Отсюда, деля обе части этого равенства на Х и учитывая, что А 'Л = Е, получаем — Х=А 'Х. (4.58) Эта задача отличается от ранее рассматриваемой тем, что здесь будет вычисляться наибольшее собстгенное зпачепие 1/Х, что будет достигнуто при наименьшем Л. Следовательно, рассмотренный выше итерационный процесс может быть использован также для нахождения наименьшего собственного значения обратной матрицы (собственные значения матриц А и А ' обратны друг другу). Подставляя в правую часть этой систлп1 гектор Х'", получаем после его умножения слева на матрицу Л некоторый вектор У"). После нормировки этого вектора он представится в видо У(" = Х("Х"), где А(" — постоянная, Х"' — нормированный вектор.
Теперь нужно Х'" снова подставить в правую часть (4.57) .и найти новью приближения А") и Х'". Итерационный гроцесс гродолжается до установления постоянных значений ) и Х. Прп этом найденное число Х вЂ” наибольшее по модулю собственное значение данной матрицы Л, а Х вЂ” соответствующий ему собственный вектор, Скорость сходимости этого итерационного процесса зависит от удачного выбора начальпого приближения. Ксли начальный вектор близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся быстро. Для решения системы (4.56) можно использовать п другие итерационные методы. В частности,х(етод Ньютона дает лучп1ую сходпмость, если удачно выбрано начальное приближение Х"'. В этом случае бывает достаточно нескольких итераций.
В некоторых задачах нужно искать не наибольшее, а наименьшее собственное значение матрицы А. В этом случае можно умножить систему (4.56) на обратную матрицу Л 154 ГЛ. 4, СИСТЕЫЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ Упражнения 1. Провести геометрический анализ единственности решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в зави- симости от значения определителя. 2. Элементы треугольной матрицы вводятся построчно в па- мять машины. Составить блок-схему вычисления определителя данной матрицы.
3. Используя метод Гаусса, решить следующие системы урав- нений с погрешностью 10-4: а) 1 17х~ + 0.53хз — 0.84хз = 1.15, 0.64х1 — 0.72хз — 0.43хз = 0 15, 0.32х1 + 0,43хз — 0.03хз = — 0.48; б) 1.20х~ — 0.20х, + 0.30хз — — 0,60, — 0.20х1 + 1.60хз — 0.10хз = 0.30, — О.ЗОх1 + 0.10хз — 1.50х, = 0.40. 4.
Составить блок-схему вычисления обратной матрицы по ме- тоду Гаусса. Блок прямого хода монино считать заданным (см. рис. 16). 5. С помощью метода прогонки решить систему уравнений 2х~ + 2хз =1, — х1+ хз — О 5хз = О, хз — Зхз — х4 = 2, хз + 2х, = 2. 1 — 1 0 А=,. В= — 1 2 2 0- 2 3 8. Составить алгоритм приведения матрицы четвертого порядка к трехдиагональному виду и решения полной проблемы собственных значений. 9. Составить блок-схему вычисления наибольшего собственного значения с помощью итерационного метода. 6.
Решить методом Гаусса — Зейделя с погрешностью 10 з си- стемы уравнений: а) 5.6х1+ 2.7хз — 1.7хз = 1.0, 3.4х1 — 3.6хз — 6.7хз = — 2.4, 08х1+ 13хг+ 3-7хз = 12; б) 7.1х1+ 6.8хз + 6.1хз = 7.0, 5.0х1 + 4.8хз + 5.3хз = 6 1, 8.2х~ + 7.8хз + 7.1хз = 5.8. 7. Найти собственные значения и собственные векторы матриц ГЛЛВА 5 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Уравнения с одним неизвестным 1. Вводные замечания. Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида Р(х) = О (5Л) встречается в различных областях научных исследований (здесь Р (х) — некоторая непрерывная функция.) Нелинейные уравнения можно разделить на два класса — алгебраические и трансцендентные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
