Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Домашнее задание

по дисциплине

“Основы автоматизированного проектирования”

Вариант 6

Выполнил:

гр. СМ1

Проверил: Сдобников А.Н.

Москва

Содержание:

Исходные данные: 3

1. Формулировка краевой задачи. 4

2. Построение точного решения краевой задачи 9

3. Преобразование краевой задачи в вариационную. 10

4. Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации. 14

5. Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями. 19

6. Решение задачи методом конечных элементов 21

7. Компьютерное моделирование растяжения стержня. 25

Исходные данные:

Требуется исследовать решение задачи о продольной деформации прямолинейного стержня, закрепленного на пружине, с приложенными по его длине распределенными нагрузками и сосредоточенными силами.

Рисунок 1. Условие задачи.

1. Формулировка краевой задачи.

Запишем дифференциальные уравнения равновесия для каждого участка прямолинейного стержня

Рисунок 2. Система сил, действующих на стержень

Т.к. после приложения сил стержень займет новое положение равновесия, то каждое сечение стержня также будет находиться в равновесии.

Участок I

Участок II

Участок III

Запишем граничные условия и условия стыковки для каждого участка

Сечение А

(граничное условие)

Сечение B

(условие стыковки)

С ечение C

(условие стыковки)

Сечение D

(граничное условие)

Также для сечений В и С нужно добавить условия стыковки для перемещений:

Тогда искомая система будет выглядеть следующим образом:

После некоторых преобразований, проведенных с учетом того, что а также того, что , получаем

Или

Проинтегрируем первые три уравнения системы (1) чтобы найти функции перемещений точек стержня:

Производные этих перемещений

Используя уравнения (1а) – (1е) найдем константы системы (2):

из (1а):

из (1б):

из (1в):

из (1г):

из (1д):

из (1е):

Т.о.

С учетом найденных констант, окончательное решение для функций перемещений точек стержня будет выглядеть следующим образом:

Для графического отображения этого решения целесообразно перейти к безразмерным величинам:

Определение внутренних усилий в стержне:

В безразмерном виде

1. Построение точного решения краевой задачи

Графическая интерпретация решений полученных для перемещений (рис. 3) и внутренних усилий (рис. 4)

Рисунок 3. График перемещений.

Рисунок 4. График внутренних усилий.

1. Преобразование краевой задачи в вариационную.

Запишем условие аннулирование невязки для трёх участков, используя сильное вариационное уравнение:

Возьмем по частям первые три интеграла:

Подставим выражения (а), (б) и (в) в уравнение (1’)

Из кинематических условий на границах участков следует

На основании выражений (3) и силовых условий на границах участков можно записать

Подставляя выражения (г) – (ж) в уравнение (2), получим

Принимая во внимания равенства (3) можно заметить, что в уравнении (2) некоторые слагаемые взаимно уничтожаются. Тогда, после некоторых преобразований, получим

Уравнение (4) также называется слабым вариационным уравнением, которое, по сути, выражает принцип возможных перемещений.

Используя правила вариационного исчисления, запишем

Подставляя выражения (з) – (н) в уравнение (4) получаем

И, наконец, используя свойство линейности оператора вариации, окончательно запишем

Выражение, стоящее под знаком вариации в уравнении (5), представляет собой функционал полной потенциальной энергии :

Таким образом, краевая задача была сведена к вариационной, которая выражается вариационным уравнением

и формулируется следующим образом: Из всего множества функций , принадлежащих области определения оператора краевой задачи, выбрать такие, которые бы обеспечивали минимум функционала полной потенциальной энергии (6).

Уравнение (7) представляет собой слабый вариационный принцип (принцип Лагранжа), который можно сформулировать так: для системы, находящейся в равновесии под действием внешних сил, функционал полной потенциальной энергии системы принимает стационарное значение. Можно показать, что для данной задачи это стационарное значение есть минимум.

Механический смысл слабого вариационного уравнения (4) есть выражение принципа возможных перемещений, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма работ всех внешних сил и внутренних усилий на возможных перемещениях системы, находящейся в равновесии, и совместных со связями, равна нулю.

1. Энергетический метод на кусочно-линейной аппроксимации.

Выберем для участков стержня линейно аппроксимированные функции и с учётом кинематических условий

Подставив выражения для функций перемещений (8) в выражение для функционала полной потенциальной энергии (6) и проведя интегрирование, получим

или после приведения подобных

Таким образом, функционал полной потенциальной энергии при аргументах вида (8), вырождается в функцию вида

Для обеспечения минимума функции достаточно потребовать выполнения следующих равенств:

или после проведения операции дифференцирования

Систему линейных алгебраических уравнений (10) представим в виде

Согласно заданным соотношениям между силовыми, геометрическими и упругими характеристиками системы система (11) примет в вид

Разрешим систему (12) относительно неизвестных :

Тогда аппроксимированные функции перемещений примут вид:

Представим выражения для функций перемещений в безразмерном виде:

На рисунке 5 представлены точное решение для относительных перемещения сечений стержня (красная сплошная линия) и линейно аппроксимированные относительные перемещения, определённые энергетическим методом (синяя пунктирная линия).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы