Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рисунок 5. Относительные перемещения, определённые точным

и энергетическим методами.

Определим выражения для внутренних усилий при линейной аппроксимации функций перемещений. На основании выражений (13)

или в безразмерном виде

На рисунке 6 представлены относительные внутренние усилия в сечениях стержня, определённые при решении точной краевой задачи (красная сплошная линия) и на основе энергетического метода (синяя пунктирная линия).

Рисунок 6. Относительные внутренние усилия, определённые точным

и энергетическим методами.

1. Анализ полученных результатов

1) Как видно из рисунка 5, узловые перемещения на границах участков, определённые энергетическим и точным методами, совпадают. И полностью совпадают решения на втором участке. Исключение составляет первый и третий участок, на которых точное решение представляет собой квадратичную функцию, в то время как приближенное-прямую.

2) Из рис. 6 видно, что внутренние усилия, определённые энергетическим методом, остаются постоянными в пределах каждого участка, что не соответствует действительности. Это объясняется выбором в качестве функций перемещений линейных функций, производная от которых даёт постоянную величину в пределах каждого участка.

2. Достоинства и недостатки энергетического метода на кусочно-линейных аппроксимациях

Замена гладкой кривой функции перемещений некоторой ломаной функцией считается вполне допустимой с инженерной точки зрения. Таким образов, задавая некоторую кусочно-линейно аппроксимирующую функцию, мы понижаем порядок диф. уравнений, необходимых для решения задачи. В сложных задачах использование точного метода остается менее рациональным, чем использование приближенных.

Использование метода кусочно-линейных аппроксимаций приводит к хорошим результатам с низкой погрешностью по энергии (в нашем случае 0,166% см. 5 пункт). Но при этом функции внутренних усилий получаются разными, а силовые граничные условия выполняются лишь асимптотически. В связи с тем, что функция перемещений аппроксимируется прямыми на отдельных участках, полученное приближенное решение будет совпадать с точным на тех участках, где перемещения линейные (т.е. нет распределенной нагрузки).

Таким образом, энергетический метод на кусочно – линейных аппроксимациях может применяться в сложных задачах для оценки результата. При этом, выбирая более сложные функции для аппроксимации и увеличивая число участков разбиения, можно уточнить значения в некоторых интересующих нас точках.

1. Оценка погрешности по энергии между точным и приближенным решениями.

В пункте 3 нами был получен функционал полной потенциальной энергии (6)

Чтобы дать оценку погрешности по энергии, необходимо подставить в него функции точного и приближенного решений, а затем сравнить полученные результаты.

Согласно (3) функции перемещений для точного решения выглядят следующим образом:

Подставляя (3) в (6), после несложных преобразований получаем

А для приближенного решения

Подставим (13) в (6) и получим

В процентном соотношении погрешность будет равна

Очевидно, что данная величина погрешности допустима для расчетов, следовательно, можно утверждать, что энергетический метод реализует достаточно высокую точность в сочетании со своей технической простотой.

1. Решение задачи методом конечных элементов

Рисунок 7. Континуальная схема нагруженного стержня.

Элемент (1) - пружина с жёсткостью

Матрица жесткости этой пружины

По условию жёсткость пружины равна . Тогда матрица жёсткости первого конечного элемента примет вид

Второй, третий и четвёртый конечные элементы имеют одинаковые матрицы жёсткости

Приведём внешние силы, действующие на стержень, к узлам конечных элементов.

Первый конечный элемент:

Левый торец: неизвестная реакция опоры

Правый торец: нет приложенных внешних сил

Второй конечный элемент:

Левый торец: узловая сила от распределенной нагрузки

Правый торец: узловая сила от распределенной нагрузки

Третий конечный элемент:

Левый торец: внешняя сила

Правый торец: нет приложенных внешних сил

Четвертый конечный элемент:

Левый торец: внешняя сила и узловая сила от распределенной нагрузки

Правый торец: внешняя сила и узловая сила от распределенной нагрузки

Примечание: сосредоточенная сила на стыке двух конечных элементов принадлежит правому конечному элементу.

Тогда глобальная матрица жёсткости для системы, состоящей из четырёх конечных элементов, имеет вид

Или, с учетом выражений для

Вектор внешних узловых сил для системы, состоящей из четырёх конечных элементов, имеет вид

Учитывая выражения (19)-(22),

По условию:

В таком случае вектор узловых сил примет окончательный вид

где

Вектор узловых перемещений имеет вид

где , т.к., согласно условию закрепления системы, левый конец первого конечного элемента, соответствующего правому концу пружины, закреплён консольно.

Система уравнений, описывающая конечноэлементную модель стержня, имеет вид

или, в соответствии с (23) – (25),

Полученная система уравнений распадается на две части, решаемые последовательно. Вначале решим последние четыре уравнения относительно неизвестных узловых перемещений , затем решается первое уравнение и находится неизвестная реакция опоры :

Таким образом, узловые перемещения составляют

что полностью совпадает с результатами, полученными в результате решения задачи энергетическим методом (рис. 4).

Для определения напряжений в элементах бруса воспользуемся формулой

Согласно данной формуле,

Нетрудно заметить, что при решении задачи двумя разными способами: энергетическим методом и методом конечных элементов, результаты расчета внутренних усилий (напряжений), действующих в сечениях стержня, полностью совпадают. Разумеется, с учетом того, что

1. Компьютерное моделирование растяжения стержня

Решение данной задачи в пакете Patran – Nastran.

Исходные данные:

Требуется исследовать решение задачи о продольной деформации прямолинейного стержня, закрепленного на пружине, с приложенными по его длине распределенными нагрузками и сосредоточенными силами.

Последовательность выполнения задания в программном комплексе MSC Patran/Nastran 2016 Student Edition

СОЗДАНИЕ НОВОЙ БАЗЫ ДАННЫХ

СОЗДАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БАЛКИ

Характеристики

Список файлов курсовой работы