Галкин С.В. Матрицы,определители,решение систем (1988) (1095462), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пример: рр (!Оу г 3 ! арро Д Аз Ы)=1АО лудз2 ООК Ф» »УО! (".4 и ш а у. =0; о1Н =0 >Л~У»«'-~, 4',~Д =~. уг' УР Метод элементарных преобразомний основан нв приведении метрици к ступенчатоиу виду элементарными преобразованиями отрок. Лечма 2.1, Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк Доказательство, Пусть в матрица ступенчатого вида Г нгнулезых строк.
Тогда з кей столько же ступенек. Рассиотрпи инн ~р"и', содержаз»кл ненулевые строки и те столбцы, в которых с ат первые (по возрастанию индекса столбца) ненулеэыс элементы строк, образуюл»ие ступвньху. Например„ для ыатрицы Лемма 2.2. Максимальное количеотво ЛН строк ступенчатой матрицы равно количеству ее ненулввьш строк. доказатель2тЛол Н ненулевых строках ступенчатой матрицы разное количество нвнулввых злементов, следовательно, они ЛН (з лакейноя комбинации ненулевых строк, равной нулю, придетсл приравнивать нулю всв коэффициенты, начиная с первого). убедитесь в отои, рассмотрев несколько примеров.
р иври,э р р м ррр и количеству ве линвяно независмиых строк. Доказательство следует из леем 2.1, 2.2. И И~~ и и. и гг строк матрицм ье ивнлется при элементарных преобразованиях строк. Замечание: теорема зерна и дяя стоябцов, доказывается аналогично. Доказательство, 1. Очевидно, что при перестановка строк максимальное количество ЛН строк нв меняется.
Переставим все ЛН строки (пусть их й штук) на первые места. Пусть а....,.,а. - ЛН строки, а строки а , а, через них линейно выражаются. 2. Пусть, йвйримзр, строка а умножается нв число„хх ° то да строки ххаша , а„- вновь ЛН, а все строки а , , О„, будут через нйх линейно выраяаться (изменится только коэффициенты з линейнмх комбинациях пря ау ) 3. Складываются дзе строки: а) пусть они обе из числа ЛН, например, а„ и а,, Тогда Л О,2~О гСЛ»,Р.Л )О.
с, Р.ЛтО "0 =э и СЛВДОВатЕЛЫЮ, СТРОКИ аг, Ол, а „„„, а Лнйэйис Нээазионми. Любая строка а, 0шр г) лйнвйно вырезается через строки а га,, а„,, а р так как строка а, - линейно выражается через б) пусть одна строка ЛН„вторая с номерои, болыэии х, наприиер ау, эаиенявтся суммойа ра гр1 Если От, линейно вырвжается через а,, О ГО, =ир Оэ то ЛР(ОРРОг, )РЛ,О,,", УЛ а Р»рк»~Р»+" и,и»Р)О С,+ГР» "иг,» )а РО ~Л/=0, А, иуду=о..., »тг и. Лушо=з»/=О» - О,...Л„,ио. Следовательно, стропи а~ а,, ар,, а. линейно независимы.
Любая строка а .От> с) лийеяно вырезается через строки ВОЛИ О, НЕ Знр<хзаэтая Лнивйиа Чвраэо,,„ч О. таог От„,а акр/ ЛН отроки, Причоис|, =„с<,а,, „,р<с с|г(ц, ьб>, иначе ог,~ |'р у Лнпвйпа ВЫРажаатак ЧЕРЭЗ С<я..., О.. ° СОГЛД<)Р -' ..<г;..." .~~~С<э ч— <;,ОЭ„Р и любая строка с| .<ж» ар,Д линейно выражие|оя чареэар О с тэк как с! линейно выраваетоя через О„, О, а с|х - через ж С<р,..., с7г„у ° Уапаюениее. Докажите оамоотоятельно возможность замены отроки О, ,СЯ » Г> ОУММОй О»т С<у И ОУМНОй О„,О,:(С г> '!ео><ана а2,7, Ранг матрицы не манлетоя при элементарных преобразованиях строк, Наметим, что теорема опраэадлнва и длл отолбцов, доказызаатоя аналогично Дока" <тельстаол 1.
При перестановке отрок ранг не иэменитоя. )Нли оав отроки входят з бвзноный минор, то он при переотаковке отрок ливи изменит знак, если обв строки не входят - знак ке изменится. Коли одна отрока входит в базисный минор, а вторая нот, то либо минор, полученный после порео<ановии отрок,отлкчен от нуля, тогда он бзэионый, либо он равен нулю. В последнем олучав, замоняя новую отроку минора той, которая о ней быяа переставлена, получаем базисный пипар. 2. При умножении строки на число „А; О минор либо не нзманитоя (еоли о~рока не входи| з н«нор), либо умножитоя на Л . Во вояком случае, ненулевой минор не отанет нулевыи и наоборот. 3, Рассмотрю нииар сгрс>-го порядка утг, .
Он равен нулю, воли ранг мвтрицы »< равен г , Паоле оложейия строк иэ > получим вновь минор суй> -го порядка. Представин его э виде оуммы миноров. Первое олагаезэе еоть исходный минор уг У> -го порядка, равный пулю. Второе олагаамов - минор о разными отрокамн, если обе от!эки входят в минор, либо минор сгру> -го порядка. Следозат<лько„ .<торов слагаемое равно нулю. Таким образом, сложение строк не <ожет увеличить ранг.
Оно на может н уменьиить ранг, так как иначе при вычитании отрок;т.е. при словении, ведь умножение на число ранга не меняет) ранг увеличивая бы. Теором« 2.7 олужкт занозой применения метода элементарных преобразокзпий длк нахождения ранга натрицы. В свмом деле, но|о|о припасти иатркцу к отупанчатому виду (по теорвме 2.7 ранг при этан нв хэнонитоя), а затон подсчитать количество ненулевых строк ыатрнцы ступенчатого энда, которое по лемме 2, 1 равно рангу ступенчатой матрицы и по теорема 2,7 рано рангу исходной матрицы.
;»'» Паин ад. Руд = э УОЗФОБ УОЗ+ ОБ ОЗ+ б б УОУЧ О :„Оа(,~ /оу-з-у а у~ у~~. у-Ба у~,уб.-~у, Зуб' Ч> О О»'-.У-у "-Уар ООО О -3-уб Оопу.».у Г<р БУУсч У У/О б ьэ -Б-3Б5 -рчБ О О О О -Л .УО О 0 д УО.З/»'О О~ОООУ/ ~9~ 3 Ч (> д ОО ОУУ-,Г Рб ОС)б О ->М уб.чбу >5ОР О Г ОБ уУ-Уу (<О )) О О 2.7. Тео еиа о ге ыат и тео а о базисном м<и<о е и<с~»,ц,р р р р ю независимых отрок (отолбцоз) матрицы, Доиазательотвол 1. Приведем натрнцу 4 к ступенчатому виду зле- ментврнюи преобраэованииии строк. Зто возможно <теорема 2А), прн этом ранг матрицы не <сэманитоя (по теорема 2.7), Следователь- но, ранг матрицы равен макоюальному количеству ЛН отрок ступен- чатой матрицы (теорема 2нб) и ыакоимальному количеотзу ЛН строк матрицы л (теореиа 2А).
2. Транопонируен исходную матрицу. Не ранг при этом не изменится (овойотво определителя). Ранг трано- покнрозанной иатрицн равен маков|вязкому иоличеотзу эе ЛН о~рок, оледовательно раввн макоимельноыу количеству ЛН столбцов исход- ной матрицы. Значит ранг матрицы равен маконмаяьному количеотву ев ЛН столбцов. р дуд 2,» р ~ -р <-. б < р р наь комбинацией строк (отолбцов), в которых раоположен базмонмй минор. ДОЛаэатаЛЬОтВОж ПУСТЬ О вЂ” СтРОКа бВЗИОНОГО МИНОРа, тОГДа Оиа прецотавляет побой линейную конбинацию отрок о коэффициентом 1 при а„ и нулянн прн потехиных отроках.
Пусть а„. не входит в баэиойый минор. Тогда оиотеиа отрок баэионого ыинора и О„. - лн- нейно эаэиоюа. Линейная неэавионнооть этой оиотены оэначалз бы, что ранг матрицы больже г , что невозможно. Тогда в линейной .йонбинации а к отрок базисного минора коэффициент при а„, нену- левой, иначе отроки баэионого минора линвйно завиоимм, что навоз- %хна. Следовательно, О линейно вырвяаетоя через отроки базио- <Пго ыинора 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕИ ЛИНКВНЫХ АЛГЯВРАИ<(ВСКИХ уРАВНЕ)!ИЛ Сиотема линейных влгебраичеояих уравнений отнооительно нвиз- )отных,ж „,,ж может быть эапиовна в виде а .Х», »О д- иб а,у.х;»... а,,х. - Б Орчрр.жф+...
»<Э ь<.Х. ч«э натйичнои л е лл,В В, если 6 = () — ОДНО- днородная сися ема, е цв системы, матрице /)//) = ~1 х ° ~~шь.ф нзнпвется расширенной магрицей и ей системы. вектор., Который при под становке рньоасм системы называется вектор ..т-, н сй если оо(шжаст в ш ° ...., .Ес, естной„если она не имеет оиа имеет хотя бы одно решение,и несовместно „ решений.
3.1. Крите ий анке -Капелли совмес тнссти системы р ь и-к ). а совместна, необходимо )(хя т Д ого чтосы неоднородная систеиа била и смиренной мелрицы к .Мстатсчнс, чтобы ранги матра(ы системы и ра системы были Рана: «ООА /фх)//), а тан как имеет нулВВОВ 3аметим„что однородная система совместн раиение. ' а ...,гт ", ~ столбцы Доказательство (первый способ). Обозначая а „' а, ,гт , рашвиренной матрицы, запшвем (1) в виде н, ах гхх -... а .2' =/э, 1.Пусть сястеив СОЯИВСТЧВ,тОГДа набора~, ,Х„ уа о .Явствует и стоя- т -..., ст ~ .
Сла- бец /3 линейно вырвжавтоя чераз стопбцы гт, гт; ..., довательно, /ф з -" ф:)///, 2. Пусть А~у Ч -' фу/д, тогда добавление столбца /) к системе столбцов д ', д не ув "не увеличит ве ранга, следовательно, /1 линей о выр ж гся через а,, а'гс Опр деланная енными коэбьрь хионтаыи ог „., Х,чс.орые и составляет решение. Система совместна тогда и толью тогда, когда вентьэ правых частей системы принадлежит линейному пространству, натянутому на столбцы матрицы системы. Докайатвльство (второй способ).
Приведем матрицу А//у к ступам чатсму виду олементврньми преобразованиями строк. При этом равносильность системы не наррвится, так как те же преобраэаваьпн проводятся над уравнениями системы, а сложение н умноженно на число не нарушает рввюсильность уравнений. Перазумеруем переменные столбцы) твк, ~~~бы ступенчатая матрица приобрела вид а,/ а/2... а/г а / „... а /„ () Й//... й ьт /), . „,... г),,„ (2) '~гг "1г/ ' х)г,т с'» Р О б ьр .
О г',.,ч Здесь новые элементы й после преобразований Осозмачены твк же с/ КВЯ И СТВРЫЕ1 г)// а(), Ы ф/) ° СИОТЕМВ ДЮВНЕННЯ; 1) чоиьо„ днтся к виду (~ г /-гг,~'...Та/т ~. г г*'/ ги/'... а, юу О = 6'', 1 Пусть систеиВ совиВстив тогдвб~„ матрицы А и л/// содеркат равное количество ненулевых строк, следовательно, /ф,( =ф/(///У (лемма 2. 1), 2. Пусть ф/( = ф/)//8 , тогда б „ = = д, (лхрвзим ж из г -го уравнения черве .х подстаиа .ж'.г в 1 г./1-е УРавкение, ИМРВВИИ иэ иегс,м.;г) /д' т/ г/,г./х н т.д. наконец, ио первого уравнения найдем ж/уа а,о).
набор л/ .И~,... апг,Х' Т - РЕШВННЕ. СЛЕДОВатЕЛЬНО, Систвмв СОВМВСтиа. Звыечаннвз выпишем яВКО формулм, ОО которым .х/.,... ж. ВЫИВЯВштсн через .''С „„, -'С„; гх -дг- — (б' — 2, а, х" аг.г г гш Х ~ (3) / о=г'/ Полн, приводя матрицу к ступвйчатомУ виду, элементарными преоб- РВЗОВВНИЯМИ СТРОК Добиться ТОРО, Чтобы матрица, СОдервзщая пврВЫВ г столбпов и г строк, была едикичной, то решение определяется по более прсстьм Сориулеи,„ Х' =' шг —,С. с)г,„-~у, /г= б/,, г / (4) .т -л у г-аг Ш'ВЧЬЬХ Ь "/~-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
