Галкин С.В. Матрицы,определители,решение систем (1988) (1095462), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассмотрим свойства ЛН и УЗ виотти зекто в. 1. Ясли подоистема вехторов ЛЗ, то вол сиотема векторов ЛЗ. Пусть есть две оистемы векторов: ) пх.„ „,,л„-,..., .х;,); Ю 'Гл л ) .Я.)у (". ьн). Покааем, что если о '- ЛЗ, то,) - ЛЗ. ДоЛаэатальстЛол Ясли Я '- ЛЗ, тод,,г .„(,.~-,„ Тогда.7,"(;: ".Л,.х' ; Л -.х;,~.').х; ° .ох:ч)-нулевая"зиявшая коэ- ' бкнацвя~ э которой,д, 4 (2 ° поэтому г ЛЗ (' Л, Ясли оиотема векторов ЛН, то любая ее подокотаьа ЛН, Явли подсиотгма ЛЗ, то и система по первому оэойотву ЛЗ, это противоречие линейной неэазисиноотн оиотемы. Следотвия этих свойотз( аист(зьа, опдгриэщая нулевой вектор, равнме векторы, пропорциональные (козлик(нар((мг) ияи комплеиарннэ векторы, линейно эавиоима.
Слелоэа- тельно, критерий коллинаарноотк двух векторов, крнтврий компла- нарности трех векторов — их линейная зависимость. Рангом системы зехтоЛов называется максимальное количество ЛН векторов в ней. Р м Р» "д Р " Р мхами линейного и ст яства((((лбназываетон максимальный ранг систем векторов линейного прострекотав, или максимальное количество ЛН векторов линейного пространства. Ызисом линейного пространства называется система ЛИ векторов максимального ранга (ев р (г равен размерности пространотва) . /7 Мокко доказать, что с((л)А) л, Разложить вектор .х по некоторому базису - означает представить этот вектор в виде линейной комбинации базисных эехтороо. КощЩир „б„„,,х мьь н, тора в данном базисе.
В каждом базисе вектор имеет свои коорди- наты. хмм ььал 5 р й ~ ь Р ловить по баэиоу единотзенным образом. ДокаэвтвльетаоЛ ооРазУем сиотемУ вектоРов Ь'( 6,„ фл, „ , гл ..х Зта система линейно зависима, так как в ней л ' вектор, а раз- мерность проотранстьа - (т . То( да в нулввой линейной комбинации ((Щ а„,ь ((л6' ((( , .х () одни из коэфриционтов не равен нулю. Люли„((л, =(), то в нУлеэой линейной конбинаЦ((и базисных вектзРов какой-то йз коэЗЛициентов отличен от нуля, следовательно энн ЛЗ„ что пеэозыоинэ. Поэтому(((( „ м б). Теперь, деля обэ чэоти па а( м~р получим ~(У ((л х~л ь ~ ~(л(ь Зто и есть 'разлокение вектора .х по базису ~~, дл, Деканам единственность разлокения. Пуоть есть два рвэломения: .х=(х б* ь, ьо( б( н .х',(~~У)( ',, г (лД Вычитая одно из другого, побучкм () = П)( -(),)(ь ь ь,о( - и )() В сияу линейной неэаэисиности базисных векторов эта линвй(((ая йом- би(п(ция тривиальна, т.е, с(,„.
,Ф,, г- у Г,..., л , следовательно, раэлокенке единственно. ~ 4 и' 'ими ИзоморЯмыь отобракениеи двух инокеств наэмваетсв их взаимно- однознвчное отобрвкенне. При таком отображении дяя кандого элемен- та одного ннокеотза найдется прообраз в другом мноиестве, а раз- ным прообразам соответствуют и разные обраэм. Справедлива теор((ьа( 7 отображение 2Ргхммеет обратное тогда и только тогда, когда оно- ИЗОМОР(2ИЗМ.
ППнииееВ, Отобрзлзние~- ~'-э-) — (-с', с! - Нэоморфиэм, ~-ф,Я сс 2 ~- 2 у) — не иэоморфизм, тек какуе'~-у-у1 нв имеет прообраза ( .х' - действительное число),(амт)хса)-(ау ) из изоморфизм, тек как для любсгоуь(г))( найдутся два прообраза. Изомо измом алгеб ических ст кт называется кх изоморфное отображение, сохраняющее систему аксиом алгебраических структур. В частности, при иэоморфизме линейных пространств сумма прообразов переводится в сумму образов, а произведение прообраза на число - в произведение образа на число (то же число):(!сх,.х;,б~; с' /' 3з ° ~г у ~х''-х — су ~~, "сг ф Легко показать, что при изоморфизма линейных пространств сохраняется линейная зависимость и линейная независнсость.
В семом дела, пусть .х~,...,л",2ббс - ЛЭ, векторы, тогда .Ул; (сс РГ) с.л,л. с слд. л" л' ...РЛ -т„РО В ~, Прн ОтОбражвннн (Сс Х вЂ” ~сС, ),.т —.Л.с~,О-б2 22 Л" х С2С С С СС2С доказывается от противного. Справедлива теореиа: дза любых;2 -мерных линейных прострснства! ~ лс и г. Рс - изоморфны. В частности, нзоморфнн пространства ~.сси г ср'ч, поэтому можно переходить от операций над векторами к операциям над их координатами и обратно, В этом основа метода координат, который применяется везде: з математика, физике, технике я т.д. 2.
МАТРИЦЫ И ОПРЛПЕУИТКЛИ 2.1. Мат опе и на мат и ами МурииПей »размерности лг2. л называется таблица чисел (влсвсентов матрицы), содерквзйсл ст2 строк и л, столбцов: ; ада~~„. а „ 4 га..) ~ агфа:г" а.ьт ,у (, ,а а,,а у квадратной матрицы гл22- э ) порядка ст выдекяпт главную ,С„,.Р„2 С~ С ~ МС .~ДЬ2 наэывзыетсл матрица, эсе элементы которой, не стоящие на главной диагонали, разны нуля! ЛЛ)щнчно» - диагональная, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единице.
Нулевой ма- 6 трицей называется истрица, эсе элеыенты которой равны О. Матрицы называются равными, если они одной размерности и их соотзетству- кщие элементы равны. Сумы©й »матриц называется матрица той же раз- мерности, что и слвгапсые, все элементы которой есть суммы соот- эетствУкщих элемонтов матРиц-слагаеиыхс ! а . О РЩ ) = Га л „ П язве ануем числа на мат ис называется Ыстрицвс той к1 рвзсссер- ности, зсе элемщсты которой равны соответствувщим элементам мат- рицы Га ), уыссокеннсвс нв д упйаасенйз.
!(Оказать, что матрицы размерности сстсссобразу,2т линей- ное пространство, найти его размерность и один иэ базисов. Легко 'заметить, что матрица образована ст ЗвктОрамн-СтолОцами! "-('":: ~ "-((":) - "-('-') 2222 а лс2Г а22Р2 ИЛИ Л22 ВЕКтОРВМИ-СтРОКЗМИ: а Г'а а, ) а . Га а а, гг!.~.~. а„с„,,а „, Матрица размерности 222л 22 называется мвтрицсй-столбцом, матри- Ца РаэМЕРНОСтн Улст МатРИЦЕ»-СтРОКО» (ИЛИ ВЕКТОР-СтОЛбЦОМ И ЗЕК- тор-строкой). Т)2ансп2псиЛоэаниеи матрицы называется операция за- мены а," на а , , т.е. столбцов на строки, в строк на ссолбцм с теми 1е номе~зми.
ППимад. ЛЕГКО Псхаэатз, Что Гл Г) Г ! Гл Г) Г Р,с Г Матрица называется синметрической„если 4',ч . Оссеви)эсо, что симмэтрическнчи могут быть Лкэь квадратные матрицы. СР~УСВЮ слс РС Ю~ Л1 СС С элементы которой вычисляютск следующим обраэомс 22 Г" = Е а .8,ла. д .Ра. Д' .А„да. 8,, С' Р.Я..., 2,„2'л(, сы лл ст ~~' сГ у " Гт сс~' Коли количество столбцов первого сомножителя не совпадает с коли- чеством строк второго сомнолителя, то тикне матрицы перемножать нельзя. ПркмеВ.
Тг,)!фу~ °, д умножение матриц ассоциативно л(Ы(") Гл),9)Г' (если все произведе- ния имеет смысл)2 нс з Общем случае нвкомм~юю.'изнО Гол) сс сст)2 ('Ж~'г)) = (' "'3 (.' ОМа) = Ы'Й П .рзвдз, есть матрицы, которые мокыо умнокеть в любом порцдкез ~:Р!" Й-6Й, Р-',~Й)- ~:Й. ~й"~ 2.2. ОЕМ ~ ьь " И~~яд ~Ы ЬММММ~ ~ ~ О,„р „„„, д зывзется злгебрзическал сумме и l всевоэмомных произведений элементов матрицы, взятых по одному из кеядой строки . кэлдого столбца. Произведение берэтсл со знаком плюс, если первые индексы элементов в произведении упорядочены, з вторые обрззуют четную подстановку; со энзком минус, если первмв индексы упорядочены, э вторые образуют нечетную подстановку: и г„ю их~ гол" ал.х„ где , /~х " „ю )равно количеству инверсий в подстановка вторых индексов. ~ Ппуеп, Найти знвк при члене определителя а~ -а а ,и гт уу ю .5 ь з определителе пятого порядка. Поскольку подстановка вторьпс йндексоз нечетка (9 инверсий), знак при члене определителя - минус.
уппзх~ениа. Проверить формулу для определителя второго порядке цуу сЪ1 ц д. д „~ уу ~у Ф сзуусз.~у проверить формулу для определитеяя третьего порядка ! ""ю ~.гг югу г- гу =амаМ» ааагуоууа:газгаи а. а а ~а майюю сз~~й уу ~'У .Ф~::з тх 32 дг * -аз~а,Ф ° Постараемся выяснить геометрический смысл определителя,' ибйойьзовав известные результаты из векторной алгебры. Рассмотрим определитель второго порядка ~пи Йг,~ й Обозначим векторы-столбцы о = ~д 1 о -"~д у, Мокко сййтать, что они лскят в плоскости дау, а -. а Если ввести систему координат стл">' " , то в ней 8 /~юю' 1, бг '" Гд "" 1, Рассмотрим векторное произведение: ь озк8 Гбуб~с7» /)л~ст~г4 +Г1 „~) =~э~ йГьф( 1"~~~~4р~ ЖЯ1= "Ю,ойгл гз,р„иг )гс' !41 т. Известно, что модуль векторного произведения векторов равен площзди пераллелогрзыма, построенного на этих векторзх:~ Жт"~ Уз~ =ю'. Поэтоиу определитель рзвен площади, если векторы составляют правую "двойку", и ревем площади со знакам минус, если двойка левая, Если поменять местзын столбцы в определителе, то он изменит знак, но меняя местами столбщ~-векторы, первнумаровывая их, мы меняем 10 о иентацию двойки векторов.
В зтоы смысле полно считзть спрсдолнр тель ориентировзннсй площадью или ориентированным двумерным объемом. Рассмотрим определитель третьего порядке. с'ю 'зг с~~~ А= 'тг, а„.. д,. т ".Х ау, С1.„, Введем в рассмотрение векторы-стойб с1,~ О' Игл Б = а~л В этом случае определитель равен смешанному произведению зекто- роз-столбцов или, учитывая свойство смевзнного произведения, ра- вен ориентированному объему парзллелепипздз, построенного на этих векторах. Ясно, что объем становится равным нулю, если векторы- столбцы комплзнарнм, т.е. линейно зависимы.
В общем'случае мокно считать, что определитель имеет смысл л -мерного ориентироззн- ного объеме, только понятие ориентации в л -мерном пространстве нущцается в уточнении. Рзссмотриы свойстве оп елитеяя. 1. При трзнспоннровзнии матрицы определитель не меняется. Позто- ыу всз сформулировзнные нике свойства относительно строк опреде- лителя звтоматичесхи переносятся и нз вго столбцы. Ориентирозвн- ный объем токе ыокно строить кзк нз столбцах, тзк и нз строкзх опредвлмтеля, 2. Если хотя бм одна строка матрицы нулевая, то ее определитель равен нулю. 3. Определитель меняет знак при перестановке двух строк.
4. Если две строки мзтрицы равны, то ее опрецелитель ранен нулю. б. Жели элементы строки матрицы умнокить на число, то определи- тель умнокится нз это число анокитель из строки полно вынести за определитель). б. Если дзе строки матрицы пропорциональны, та ее определитель 1авен нулю, 7. Если все элемзнтм строки предстзвить в виде суммы двух слагз- зыых, то определитель равен сумме определителей, а которых зта строка заменена нз отроки иэ первых и вторых слагаемых. н. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией ос- тальных, то определитель матрицы равен нулю. 9. Опрецелигель матрицы не изменится, если к любой строке матри- цы прибавить линейную комбинацию остальных ее строк.
И 10. Определитель диагональной катрины равен произведению зе дка гональных злеиентоз, з чаотноогя, определитель единичной матрицы равен единице. 11. Свойства 2,3,4,В,Ы,9 ясны из геоиетричеокого еиысла: если ои отема векторов ЛЗ, то л -мерный ориентированный объеи равен нулю (езойства 2,4,6,8,9), в осли изменить ориентацию одного вектора, то ыеняется ориентация и знак объеме (озойство 3). Свойства 1,3, 6,7, 10 нетрудно доказать непосредственно из опредь. ения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
